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双曲线的简单几何性质(二)


双曲线的简单几何性质(二)

1

x2 y2 一、研究双曲线 a 2 ? b2 ? 1(a ? 0, b ? 0)

的简单几何性质
y (x,y)

1、范围
x2 2 2 ? 2 ≥ 1, 即x ≥ a a ? x ≥ a , x ≤ ?a
(-x,y) -a

o a (x,-y)

x

x2 y2 另外, 2 ? 2 ? 0 可知并夹在两 (-x,-y) a b 相交直线之间.(如图)

2、对称性 关于x轴、y轴和原点都是对称. x轴、y轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心, 又叫做双曲线的中心.
2

(下一页)顶点

3、顶点
(1)双曲线与对称轴的交点,叫做双曲线的顶点

顶点是 A1 (?a,0)、A2 (a,0)
如图,线段 A1A2 叫做双曲线 (2) 的实轴,它的长为2a,a叫做 B 实半轴长;线段 B1 2 叫做双 曲线的虚轴,它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长.
b

y

B2
o a A2

A1 -a

x

-b B 1

(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线. x 2 ? y 2 ? m(m ? 0)
3

(下一页)渐近线

4、渐近线

动画演示点在双曲线上情况

x2 y2 b ⑴双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的渐近线为 y ? ? x a a b y

如何记忆双曲线的渐近线方程?
2 2

注:等轴双曲线 x ? y ? m(m ? 0) 的渐近线为 y ? ? x

b

B2

A1
o

A2
a

(2)利用渐近线可以较准确的画出 双曲线的草图

x

B1

(3)渐近线对双曲线的开口的影响
(动画演示情况)

b y?? x a

b y? x a

双曲线上的点与这两 直线有什么位置关系呢?
4

(下一页)离心率

⑵ e 的范围: ? c>a>0 ? e >1 ⑶ e 的含义: 同样可以形象地理解焦点离开中心的程度.
另外

c ⑴定义:双曲线的焦距与实轴长的比 e ? ,叫做双曲线的离心率. a
b c2 ? a2 c 2 ? ? ( ) ? 1 ? e2 ? 1 a a a

5、离心率

b b ∴当 e ? (1, ??) 时, ? (0, ?? ) ,且 e 增大, 也增大. a a

(动画演示) e是表示双曲线开口大小的一个量,e 越大开口越大 (4)等轴双曲线的离心率e= ? , 反过来也成立. 2 c e ⑸在 a 、b 、 、 四个参数中,知二求二.

? e 增大时,渐近线与实轴的夹角增大.

c e? , a 2 ? b2 ? c 2 ∵ a

5

例1 求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、 焦点坐标、离心率、渐进线方程.

y x ? ?1 解:把方程化为标准方程 16 9
可得实半轴长a=4,虚半轴长b=3 焦点坐标为(0,-5)、(0,5)

2

2

c 5 离心率e ? ? a 4

4 渐进线方程为y ? ? x 3

6

(学习课本例 4)
例2双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线 的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的 最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径 为25m,高55m.选择适当的坐标系,求出此 双曲线的方程(精确到1m).
C′ A′ 0 y 13 C 12 A x

B′

25

B
7

B2

. .
A2 B2

图形

. .
F1

y

y
F2

F2(0,c)
B1

A1 A2
O

F2

x

F1(-c,0) 方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐进线
2 2

B1 F2(c,0)

A1 O F1

x F1(0,-c)

x y ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) a2 b

x ≥ a 或 x ≤ ?a,y ? R
关于x轴、y轴、原点对称
A1(- a,0),A2(a,0)

y ≥ a 或 y ≤ ?a,x ? R

y2 x2 ? 2 ? 1 (a ? 0 ,b ? 0 ) 2 a b

关于x轴、y轴、原点对称
A1(0,-a),A2(0,a)

c e? a

(e ? 1)

c e? a

(e ? 1)
8

b y?? x a

a y?? x b

(学习课本例 4)
例2双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线 的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的 最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径 为25m,高55m.选择适当的坐标系,求出此 双曲线的方程(精确到1m).
C′ A′ 0 y 13 C 12 A x

B′

25

B
9

根据下列条件,求双曲线方程: x2 y2 ⑴与双曲线 ? ? 1 有共同渐近线,且过点 (?3, 2 3) ; 9 16 2 2 x y ? ? 1 有公共焦点,且过点 (3 2 , 2) ⑵与双曲线 16 4

分析:这里所求的双曲线方程易知是标准方程.

这里有两种方法来思考:
法一:直接设标准方程,运用待定系数法;

法二:巧设方程,运用待定系数法.
法二可能会比法一简洁,因为设方程思考了.
10

根据下列条件,求双曲线方程 : x2 y2 ? ? 1 有共同渐近线,且过点 ⑴与双曲线 9 16

(?3,2 3) ;

⑴法一: 直接设标准方程 ,运用待定系数法 考虑.(一般要分类讨论 ) x2 y2 4 解:双曲线 ? ? 1 的渐近线为 y ? ? x ,令 x=-3,y=±4, 因 2 3 ? 4 , 3 9 16 4 故点 (?3,2 3) 在射线 y ? ? x (x≤0)及 x 轴负半轴之间 , 3 x2 y2 ∴ 双曲线焦点在 x 轴上,∴设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0), a b ?b 4 ? 2 9 ? ?a 3 x2 y2 ?a ? ∴? 解之得 ? ? ?1 4 ,∴ 双曲线方程为 ? 9 2 2 4 ?b2 ? 4 ? ( ?3) ? (2 3) ? 1 ? 2 4 ? a2 b ?
11

根据下列条件,求双曲线方程: x2 y2 ? 1 有公共焦点,且过点 (3 2 , 2) . ⑵与双曲线 ? 16 4

法一:直接设标准方程,运用待定系数法 x2 y2 ⑵解:设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0) a b ? a 2 ? b 2 ? 20 ? a 2 ? 12 ? ? 则? 解之得 ? 2 2 2 (3 2 ) 2 ?b ? 8 ? ? 2 ?1 ? 2
? a b

x2 y2 ? ?1 ∴双曲线方程为 12 8
12

法二:巧设方程,运用待定系数法.

根据下列条件,求双曲线方程: 为什么可以这样设? x2 y2 ⑴与双曲线 ? ? 1 有共同渐近线,且过点 (?3, 2 3) ; 9 16 x2 y2 ? 1 有公共焦点,且过点 (3 2 , 2) . ⑵与双曲线 ? 16 4

x2 y2 ( ?3)2 (2 3)2 ? ? ? (? ? 0) ,∴ ⑴设双曲线方程为 ? ?? 9 16 9 16 1 x2 y2 ? ?1 ∴ ? ? ,∴ 双曲线方程为 9 4 4 4 x2 y2 ? ? 1 ?16 ? k ? 0且4 ? k ? 0? ⑵设双曲线方程为 16 ? k 4 ? k x2 y2 (3 2)2 22 ? ?1 ? ? 1 ,解之得 k=4,∴ 双曲线方程为 ∴ 12 8 16 ? k 4 ? k
13

b b 证明:直线 y ? x 与 y ? ? x 的交点为原点且它们关于 x 轴、 y 轴对称. a a

b 求证:渐近线方程为 y ? ? x 的双曲线的方程可写成 a x2 y2 ? 2 ? ? (? ? 0) 的形式. 2 a b

∴双曲线的方程可写成

∴双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上. x2 y2 ⑴当焦点在 x 轴上,则方程可设为 2 ? 2 ? 1 . m 2 n 2 n2 b2 2 2 ∴ 2 ? 2 ,令 m ? ??a (?? ? 0) ,则 n ? ??b m a x2 y2 x2 y2
??a
2

?

y2 x2 ⑵当焦点在 y 轴上,则方程可设为 2 ? 2 ? 1 . m n 2 2 m b ∴ 2 ? 2 ,令 n2 ? ?2a 2 (?2 ? 0) ,则 m2 ? ?2b2 n a x2 y2 y2 x2 ∴双曲线的方程可写成 ? ? 1(?2 ? 0) 即 2 ? 2 ? ? ?2 ( ? ?2 ? 0) 的形式. 2 2 a b ?2b ?2a

?1b

2

? 1(?1 ? 0) 即

a

2

?

b

2

? ?? (?1 ? 0) 的形式.

综上所述,原命题成立.

14

课堂练习:
1. 过点(1,2),且渐近线为
2

16 y ? 的双曲线方程是________. 9 x
P( 1,-3 ) 且离心率为
2

3 y?? x 4 2

? 55

2.求中心在原点,对称轴为坐标轴,经过点

2的双曲线标准方程.
2

y x ? ?1 8 8
15

学习小结:
b 渐近线方程为 y ? ? x 的双曲线的方程可写 a 2 2 x y 成 2 ? 2 ? ? (? ? 0) 的形式. a b 巧设方程形式将使问题解决变得简洁.

16

x2 y2 椭圆有许多重要结论:(以椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 为例) a b x2 y2 1. P( x0 , y0 ) 是椭圆 2 ? 2 ? 1 上的任意一点,长轴两端点为 a b A1 (?a,0) 、 A2 (a,0) ,则两直线 PA1 、 PA2 的斜率之积 kPA1 ? kPA2
b2 ? 2 等于常数_____. 反过来,满足这一条件的点在椭圆上. a x2 y2 2. P( x0 , y0 ) 是椭圆 2 ? 2 ? 1 上的任意一点,左焦点 F左 (?c, 0) , a b a ? ex0 ? a ? ex , _____________ 右焦点 F (c, 0) ,则 PF ? a ? ex0 ? a ? ex0 , PF ? _____________ 0

左 右

由此可知, PF左 max ? a ? c , PF左 min ? a ? c x2 y2 3. P( x0 , y0 ) 是椭圆 2 ? 2 ? 1 上的任意一点到右焦点 F右 (c, 0) 的距 a b2 c a 常数 e ? 离和它到右准线 ? : x ? 的距离的比是__________,且反过来,满 a

c

足这一条件的点在椭圆上.

那么双曲线有没有类似结论呢?

17

x2 y2 双曲线的猜想:(以双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 为例) a b
x2 y2 1. P( x0 , y0 ) 是双曲线 2 ? 2 ? 1 上的任意一点,实轴两端点为 a b A1 (?a,0) 、 A2 (a,0) ,则两直线 PA1 、 PA2 的斜率之积 kPA1 ? kPA2 等 b2 于常数_____. 反过来,满足这一条件的点在双曲线上. a2 x2 y2 2. P( x0 , y0 ) 是双曲线 2 ? 2 ? 1 的任意一点,左焦点 F左 (?c, 0) , a b a ? ex0 a ? ex0 右焦点 F右 (c, 0) ,则 PF左 ? ___________ , PF右 ? _____________ ,

由此可知, PF右

x2 y2 3. P( x0 , y0 ) 是双曲线 2 ? 2 ? 1 上的任意一点到右焦点 F右 (c, 0) 的距 a b2 c

min

? c?a.

a 常数 e ? ? : x ? 的距离的比是__________. 离和它到定直线 a c

那么反过来满足这个条件的点的轨迹是什么呢? 18

反过来成立吗? 这其实就是课本例 6 的思考 动点 M ( x, y) 与定点 F (c,0)(c ? 0) 的距离和它到定直线 a2 c c ? : x ? 的距离的比是常数 ( ? 1) ,求点 M 的轨迹方程. c a a a2 a2 解:∵点 M ( x, y) 到定直线 ? : x ? 的距离 d ? x ? , c c

MF ? ( x ? c ) ? y ,
2 2

MF c ∴ ? , 依题意 d a

( x ? c )2 ? y 2 a2 x? c

c ? ①, a

令 c 2 ? a 2 ? b2 ,方程②化为

x2 y2 ? 1② 方程①两边平方化简整理得 2 ? 2 2 c ?a a 2 2

x y ? 2 ? 1 这就是所求的轨迹方程. 2 a b
19

∴点 M 的轨迹是实轴长为 2a、虚轴长为 2b 的双曲线.

a c c ? : x ? 的距离的比是常数 ( ? 1) ,则点 M 的轨迹 c a a 是一条双曲线.其中定点 F (c,0) 是双曲线的一个焦点, a2 定直线 ? : x ? 是对应于焦点 F (c,0) 的一条准线, c c 常数 是双曲线的离心率 e . a 这是双曲线的又一几何本质特征.
双曲线的方程 焦点 准线方程

点 M ( x, y) 与定点 F (c,0) (c ? 0) 的距离和它到定直线 2

F左 (?c,0) 、 F右 (c,0)
a 左准线: x ? ? c
2

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

a2 、右准线: x ? c
20

x2 y2 ? ? 1 的右焦点 (课本例 6)已知过双曲线 3 6 ? F2 ,倾斜角为 30 的直线交双曲线于 A, B 两点,
求 AB .

分析:求弦长问题有两种方法: 法一:如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公 式代入求弦长; 法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达 定理来处理.
21

课堂练习: 1.到定点的距离与到定直线的距离之比等于 log23 的点的轨迹是( C ) (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线 2.点 P 与两定点 F1(-a,0)、F2(a,0)(a>0)的 连线的斜率乘积为常数 k,当点 P 的轨迹是离心 率为 2 的双曲线时,k 的值为( A ) (A)3 ?(B) 3 (C)± 3 (D)4 x2 y2 ? ? 1 在第一象限上的一 3.已知 M 为双曲线 12 4 点, F1 、F2 分别为左、右焦点,若 MF1 : MF2 ? 3 ,

(6, 2 2) 则点 M 的坐标为________.

22

x2 y2 双曲线的几个结论:(以双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 为例) b 2 2a x y 1. P( x0 , y0 ) 是双曲线 2 ? 2 ? 1 上的任意一点, 实轴两 a b 端点为 A1 (?a,0) 、 A2 (a,0) ,则两直线 PA1 、 PA2 的斜率 b 2 反过来,满足这一条件的点在双曲线上. 之积 kPA1 ? kPA2 等于常数_____. 2
x y 2. P( x0 , y0 ) 是双曲线 2 ? 2 ? 1 的任意一点,左焦点 F左 (?c, 0) , a b a ? ex0 a ? ex0 右焦点 F右 (c, 0) ,则 PF左 ? ___________ , PF右 ? _____________ ,
2 2

a

由此可知, PF右

x2 y2 3. P( x0 , y0 ) 是双曲线 2 ? 2 ? 1 上的任意一点到右焦点 F右 (c, 0) 的距 a b2 c

min

? c?a.

a 常数 e ? ? : x ? 的距离的比是__________. 离和它到定直线 a c

23

课外作业:
x2 y2 ? ? 1 的左焦点 F1 作倾角为 的直线与双曲线 1.过双曲线 ? 9 16 4

交于 A、B 两点,则|AB|=

192 . 7

2.双曲线的两条渐进线方程为 x ? 2 y ? 0 ,且截直线 x ? y ? 3 ? 0

8 3 所得弦长为 ,则该双曲线的方程为(D ) 3 x2 y2 y2 x2 ? 1 (C) x 2 ? ? 1 (D) ? y 2 ? 1 (A) ? y 2 ? 1 (B) x 2 ? 2 4 2 4

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