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线面、面面关系的判定与性质


线面、面面关系的判定与性质
一、线面关系的转换网络图 (2) (4) (11) (12) (7) 线线垂直 (9) 1﹒线线平行: (1)平行公理:平行于同一直线的两直线平行(线线平行的传递性)﹒ (4)线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么 这条直线和交线平行(线面平行→线线平行)﹒ (6)面面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行(面面平行 →线线平行)﹒ (12)线面垂直的性质定理:垂直于同一平面的两直线平行﹒ 2﹒线线垂直: (9)线面垂直的性质:一直线垂直于一平面,这条直线垂直于平面内所有直线(线面垂直→线线垂直) 其它判定方法:利用平面几何中证明线线垂直的方法(如勾股定理,等腰直角三角形底边上的高,正方 形(菱形)的对角线等)﹒ 3﹒线面平行: (2)线面平行的判定定理:如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面 平行(线线平行→线面平行)﹒ (5)面面平行的性质定理:两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面(面面平行→线 面平行)﹒ 4﹒线面垂直: (7)线面垂直的判定定理:如果一直线和平面内的两相交直线垂直,这条直线就垂直于这个平面(线线 垂直→线面垂直)﹒ (11)线面垂直的判定定理推论:如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个 平面﹒ (14)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,则它也垂直于另一个平面﹒ 线面垂直 (6) 线面平行 (5) (13) (14) (8) (10) 面面垂直 (3) 面面平行

公理 4

(1)

线线平行

(10)面面垂直的性质定理:如果两个平面垂直,那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个 平面(面面垂直→则线面垂直)﹒ 5﹒面面平行: (4)面面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面,这两个平面平行(线面 平行→面面平行)﹒ (13)定理:垂直于同一条直线的两个平面平行﹒ 6﹒面面垂直: (8)面面垂直的判定定理:如果一条直线与一个平面垂直,另一个平面过这条线,则这两个平面垂直 (面面垂直→则线面垂直)﹒ 7.直线与平面所成的角 (1)定义:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角. 这个角的范围为 [0 0 ,900 ] . (2)斜线与平面成角计算一般步骤: ①找过斜线上一点与平面垂直的直线; ②连结垂足和斜足,得出斜线在平面的射影,确定出所求的角; ③把这个角放在三角形中计算. 注:斜线 PA 与平面 ? 所成的角为 ?PAB ,其中 PB ? 平面? . 二、典型例题
0 例 1:三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面ABC , ?BAC ? 90 ,证明: BA ? 平面PAC .

P

?

A

B

(判定定理、定义)

P

A

C

B 0 变式 1:三棱锥 P ? ABC 中, PA ? AC , ?ABC 满足 ?BAC ? 90 , PA ? AC ,D 是边 PC 的中点, P 证明: PC ? 平面DAB . (判定定理、定义、等腰三角形的高) D

A B

C

变式 2:三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面ABC , PA ? AC ? AB ? 4 , BD ? 2 2 , PC ? AB ,D 是 边 PC 的中点,证明: BD ? 平面PAC . (判定定理、定义、勾股定理) D P

A B

C

变式 3 :三棱锥 P ? ABC 中, PA ? AC ,满足 BC ? PC ? PB ? 2 PA ? 4 , D 是边 PC 的中点,

平面PAD ? 平面ABD .证明: BD ? 平面PAC .
(判定定理、定义、面面垂直性质定理) P D

A B

C

例 2: 【信宜市 2015 届高三 10 月统测】如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱

PD ? 底面ABCD , PD ? DC , E 是 PC 的中点,作 EF ? PB ,交 PB 于点 F.
(1)证明: PA // 平面EDB ; (2)若 PD ? DC ? 2 ,求三棱锥 A ? BDE 的体积; (3)证明: PB ? 平面EFD . P E F D C

A

B

三、巩固训练、能力提升 1. 【 2014 高 考 北 京 卷 节 选 】 如 图 , 在 三 棱 柱 ABC? A 1 B 1 C 1 中 , 侧 棱 垂 直 于 底 面 , AB ? BC,

ABE ? 平面 B1BCC1 . AA1 ? AC ? 2 , E 、 F 分别为 AC 1 1 、 BC 的中点.求证:平面

2.【2014 高考江苏卷 节选】如图在三棱锥 P-ABC 中, D, E, F 分别为棱 PC , AC , AB 的中点,已知

PA ? AC, PA ? 6, BC ? 8, DF ? 5 .证明:平面 BDE ? 平面 ABC .

3.【2013 年高考北京 节选】如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, AB / / CD , AB ? AD , CD ? 2 AB ,平面

PAD ? 底面 ABCD , PA ? AD , E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,求证:
(1) PA ? 底面 ABCD ;(2)平面 BEF ? 平面 PCD .

4.【肇庆市 2015 届高中毕业班第一次统一检测】如图,已知 PA?⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径, AB=2,C 是⊙O 上一点,且 AC=BC=PA,E 是 PC 的中点,F 是 PB 的中点. (1)求证:EF//平面 ABC; (2)求证:EF?平面 PAC; (3)求三棱锥 B—PAC 的体积.

P F E A O C B

5.【广东 2015 届高三第一次六校联考】直角梯形 ABCD 中 AB ∥ CD , AB ?

1 CD , AB ? BC ,平面 2 1 DC . 4

ABCD ? 平面 BCE , ?BCE 为等边三角形, M , F 分别是 BE, BC 的中点, DN ?
(1)证明: EF ? AD ; (2)证明: MN ∥ 平面 ADE ; (3)若 AB ? 1, BC ? 2 ,求几何体 ABCDE 的体积.

6.【广州六中 2015 届 9 月高三第二次月考】如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA 1 ⊥底面 ABC ,且

?ABC 为正三角形, AA1 ? AB ? 6 , D 为 AC 的中点.
(1)求证:直线 AB1 ∥平面 BC1 D ; (2)求证:平面 BC1 D ⊥平面 (3)求三棱锥 C ? BC1 D 的体积.
P F E A O C B



C1 A1 B1

C A D B

7.【广州市荔湾区 2015 届高三 11 月调研测试】如图所示,已知 PD 垂直以 AB 为直径的圆 O 所在平面, 点 D 在线段 AB 上,点 C 为圆 O 上一点,且 BD ? 3PD ? 3, AC ? 2 AD ? 2 . (1)求证: PA ⊥ CD ; (2)求点 B 到平面 PAC 的距离.

8. 【韶关市 2015 届高三模拟底考试】如图,长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的底面是正方形, AB ? 1 ,

AA1 ? 2 ,线段 B1D1 上有两个点 E , F .
(1)证明: AC ? B1D1 ; (2)证明: EF ∥ 平面ABCD ;
D1 A1 E F B1 C1

1 (3)若 E , F 是线段 B1D1 上的点,且 EF ? ,求三棱锥 E ? ABF 的体积. 2

D

C

A

B

9.【2015 届中山七校联考】如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 是菱形, 点 O 是对角线 AC 与 BD 的交点, M 是 PD 的中点, AB ? 2, ?BAD ? 60 . (1)求证: OM / / 平面 PAB ; (2)平面 PBD ? 平面 PAC ; (3)当四棱锥 P ? ABCD 的体积等于 3 时,求 PB 的长.

10.【2014 高考浙江卷】如图,四棱锥 A ? BCDE 中,平面 ABC ? 平面 BCDE , ?CDE ? ?BED ? 90? ,

AB ? CD ? 2 , DE ? BE ?1 , AC ? 2 .
(1)证明: AC ? 平面 BCDE ; (2)求直线 AE 与平面 ABC 所成的角的正切值.

A

D E B

C

11. 【 深 圳 市 2015 届 高 三 年 级 第 一 次 五 校 联 考 】 如 图 甲 , 在 平 面 四 边 形 ABCD 中 , 已 知

?A ? 45o , ?C ? 90o , ?ADC ? 105o , AB ? BD ,现将四边形 ABCD 沿 BD 折起,使平面 ABD ? 平
面 BDC(如图乙) ,设点 E、F 分别 为棱 AC、AD 的中点. (1)求证:DC ? 平面 ABC; (2)设 CD ? a ,求三棱锥 A-BFE 的体积.

A

F E

D C 乙

B


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