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2017年高三数学二轮专题复习专题6解析几何第12讲直线与圆的方程、简单线性规划课件文_图文

第 12 讲

直线与圆的方程、简单线性规划

【命题趋势】 1.直线与圆、 圆与圆的位置关系、 简单线性规划一 直是高考考查的重点内容之一,主要考查: (1) 方程中含有参数的直线与圆的位置关系的判 断; (2)利用相切或相交的条件确定参数的值或取值范 围; (3)利用相切或相交求圆的切线方程或弦长; (4)给出线性约束条件求目标函数的最大值和最小 值、面积及求参数取值问题.

2.本部分在高考试题中多为选择题、填空题,有时 在解答题中综合考查直线与圆、直线与圆锥曲线的位 置关系. 3.预计在今年的高考中,本节知识仍是考查的重点, 主要考查直线与圆的位置关系的确定,利用直线与圆的 位置关系求参数、求弦长、求面积、求切线方程以及 相关的最值问题.圆与圆锥曲线的综合问题值得特别关 注.题型以选择题、 填空题为主,分值 5 分左右,难度中等 偏下.

【备考建议】 1.本节内容应结合平面几何知识,从“形”的角度 把握直线和圆的位置关系,重点解决直线与圆、圆与圆 的位置关系以及圆的综合问题. 2.复习简单线性规划问题时,要重视数形结合思想 的运用 , 同时因为最优解是通过图形观察的 , 所以作图 要精确,否则可能导致结果有误.

探究一 直线方程和两条直线的位置关系 例 1(1)已知点 A(1,3),B(-2,-1).若直线 l:y=k(x -2)+1 与线段 AB 相交,则 k 的取值范围是( ) ?1 ? A.?2,+∞? ? ? B.(-∞,-2] ?1 ? C.(-∞,-2]∪?2,+∞? ? ? ? 1? D.?-2,2? ? ?

【解析】选 D 由题意知直线 l 恒过定点 P(2,1),如下图.若 l 与线 段 AB 相交,则 kPA≤k≤kPB.

1 ∵kPA=-2,kPB= , 2 1 ∴-2≤k≤ . 2

(2)设 a,b,c 分别是△ABC 中角 A,B,C 所对的边,则 直线 xsin A+ay+c=0 与 bx-ysin B+sin C=0 的位 置关系是( ) A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直

【解析】选 C 由已知得 a≠0,sin B≠0,所以两直线的斜率分别 sin A b 为 k1 =- ,k2 = , 由正弦定理得 k1 · k2 =- a sin B sin A b · =-1,所以两条直线垂直. a sin B

探究二 圆的方程及直线与圆的位置关系 例 2(1)已知点 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 外,则直 线 ax+by=1 与圆 O 的位置关系是( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定

【解析】选 B 由题意,点 M(a,b)在圆 x2+y2=1 外,则满足 a2+ 1 2 b >1,则圆心 O 到直线 ax+by=1 的距离 d= 2 a +b2 <1, 故直线 ax+by=1 与圆 O 相交.

(2)直线 y=2x+3 被圆 x2+y2-6x-8y=0 所截得 的弦长等于________.

【解析】4 5 ∵圆的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=25, 故所截得的弦长为 ? |2×3-4+3| ? ?2 |AB|=2 25-? ? 22+(-1)2? =4 5. ? ?

探究三 对称问题 例 3 在直角坐标系中,A(4,0),B(0,4),从点 P(2,0)射 出的光线经直线 AB 反射后,再射到直线 OB 上,最后经 直线 OB 反射后又回到 P 点,则光线所经过的路程是 ( ) A.2 10 B.6 C.3 3 D.2 5

【解析】选 A 如图,设点 P 关于直线 AB,y 轴的对称点分别为 D,C,

易求得 D(4,2),C(-2,0),由对称性知,D,M,N,C 共线,则△PMN 的周长=|PM|+|MN|+|PN|=|DM|+ |MN|+|NC|=|CD|= 40=2 10,即为光线所经过的路 程.

线性目标函数的最值及取值范围 ?y≤3x-2, ? 例 4 设变量 x,y 满足约束条件?x-2y+1≤0,则 ?2x+y≤8, ? lg(y+1)-lg x 的取值范围是( ) ? 5? A.[0,1-2lg 2] B.?1,2? ? ? ?1 ? C.?2,lg 2? D.[-lg 2,1-2lg2 ] ? ?

探究四

【解析】选 A ?y≤3x-2, ? 如图 , 作出不等式组 ?x-2y+1≤0, 确定的可行 ? ?2x+y≤8 域,

y+1 y+1 因为 lg(y+1)-lg x=lg , 设 t= , x x

显然,t 的几何意义是可行域内的点 P(x,y)与定点 E(0,-1)连线的斜率. 由图可知,P 点与 B 点重合时,t 取得最小值,P 点 与 C 点重合时,t 取得最大值. ? ? ?x-2y+1=0, ?x=3, 由? 解得? 即 B(3,2); ? ? ?2x+y=8, ?y=2, ? ?y=3x-2, 由? ? ?2x+y=8, ? ?x=2, 解得? 即 C(2,4). ? ?y=4, 2-(-1) 故 t 的最小值为 kBE= =1, 3 ? 4-(-1) 5 5? t 的最大值为 kCE= = ,所以 t∈?1,2?. 2 2 ? ?

又函数 y=lg x 为(0,+∞)上的增函数, ? 5? 所以 lg t∈?0,lg2?, ? ? ? 5? 即 lg(y+1)-lg x 的取值范围为?0,lg2?. ? ? 5 而 lg =1-2lg 2, 2 所以 lg(y+1)-lg x 的取值范围为[0,1-2lg 2].

对称问题是近几年高考中的热点,它主要分为中心 对称和轴对称两种 . 解此类问题要把握对称的实质 , 掌 握其解题方法 , 提高解题准确性和解题的速度 . 常见的 对称问题有: (1)中心对称 ①若点 M(x1,y1)与点 N(x,y)关于点 P(a,b)对称,则由 ? ?x=2a-x1 中点坐标公式得? . ? ?y=2b-y1 ②直线关于点的对称,其主要方法是:在已知直线 上取两点,利用中点坐标公式分别求出它们关于已知点 对称的两点坐标 , 再由两点式求出直线方程 , 或者求出 一个对称点 , 再利用 l1 ∥ l2, 由点斜式得到所求直线方 程;或利用点 P 到直线 l1、l2 的距离相等求解.

(2)轴对称 ①点关于直线对称 若两点 P1(x1,y1)与点 P2(x2,y2)关于直线 l:Ax+By +C=0 对称,则线段 P1P2 的中点在对称轴 l 上,而且连 接 P1 、 P2 的 直 线 垂 直 于 对 称 轴 l, 由 方 程 组 y1 + y2 ? x1+x2 ?A· +B· +C=0 2 2 ? 可得到点 P1 关于 l 对称的 ? ?A(y1-y2)=B(x1-x2) 点 P2 的坐标(x2,y2)(其中 A≠0,x1≠x2).

②直线关于直线的对称 此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有 两种情况:一是已知直线与对称轴相交,可先求出已知 直线和对称轴的交点 A,然后再求出已知直线上任意一 点(A 点除外)关于对称轴的对称点 B,最后用两点式由 A、 B 两点求出对称直线; 二是已知直线与对称轴平行, 利用所求直线与已知直线平行 , 可先设出直线方程 , 再 利用两直线到对称轴的距离相等确定所求直线.

一、选择题 1.若 k,-1,b 三个数成等差数列,则直线 y=kx+b 必经过定点( ) A.(1,-2) B.(1,2) C.(-1,2) D.(-1,-2)

【解析】选 A 因为 k,-1,b 三个数成等差数列,所以 k+b=- 2,即 b=-2-k,于是直线方程化为 y=kx-k-2,即 y +2=k(x-1),故直线必过定点(1,-2).

2.直线 2x+11y+16=0 关于点 P(0,1)对称的直线 方程是( ) A.2x+11y+38=0 B.2x+11y-38=0 C.2x-11y-38=0 D.2x-11y+16=0
【解析】选 B 因为中心对称的两直线互相平行 , 并且对称中心 到两直线的距离相等,故可设所求直线的方程为 2x+ |0+11+16| 11y+C=0,由点到直线的距离公式可得 2 2 = 2 +11 |0+11+C| 2 2 ,解得 C=16(舍去)或 C=-38. 2 +11

3.若圆 x2+y2-2x+6y+5a=0 关于直线 y=x+2b 成轴对称图形,则 a-b 的取值范围是( ) A.(-∞,4) B.(-∞,0) C.(-4,+∞) D.(4,+∞)

【解析】选 A 将圆的方程变形为 (x - 1)2 + (y + 3)2 = 10 - 5a, 可 知圆心为(1,-3),且 10-5a>0,即 a<2.∵圆关于直线 y=x+2b 对称,∴圆心在直线 y=x+2b 上,即-3=1 +2b,解得 b=-2,∴a-b<4.

?y≤x, ? 4.若变量 x,y 满足约束条件?x+y≤1,且 z=2x+y ?y≥-1, ? 的最大值和最小值分别为 m 和 n,则 m-n=( ) A.5 B.6 C.7 D.8

【解析】选 B 用图解法求出线性目标函数的最大值和最小值 , 再作差求解. 画出可行域,如图阴影部分所示.

由 z=2x+y,得 y=-2x+z. ? ? ?y=x, ?x=-1, 由? 得? ∴A(-1,-1). ? ? ?y=-1, ?y=-1, ? ?x+y=1, ? ?x=2, 由? 得? ∴B(2,-1). ? ? y =- 1 , y =- 1 , ? ? 当直线 y=-2x+z 经过点 A 时, zmin=2×(-1)-1=-3=n. 当直线 y=-2x+z 经过点 B 时, zmax=2×2-1=3=m,故 m-n=6.

二、填空题 5.两条平行直线 l1:3x+4y-4=0 与 l2:ax+8y +2=0 之间的距离是________.
【解析】1 由直线 l1:3x+4y-4=0 与 l2:ax+8y+2=0 平 行可得 a=6,所以 l2 的方程为 3x+4y+1=0,故两条直 |-4-1| 线间的距离 d= 2 2 =1. 3 +4

6.直线 l 与圆 x2+y2+2x-4y+1=0 相交于 A,B 两 点,若弦 AB 的中点为抛物线 x2=4y 的焦点,则直线 l 的 方程为________.

【解析】x-y+1=0 抛物线 x2=4y 的焦点坐标为(0,1).根据圆的性质 可知 , 直线 l 垂直于点 (0,1) 与圆心 ( - 1,2) 的连线 , 点 (0,1)与点(-1,2)的连线的斜率为-1,所以直线 l 的斜 率为 1,又直线 l 过点(0,1),所以其方程为 y=x+1,即 x -y+1=0.

2 x 7.以双曲线 y2- =1 的上焦点为圆心,与该双曲 3 线的渐近线相切的圆的方程为________.

【解析】x2+(y-2)2=3 易知双曲线的上焦点坐标为(0,2),渐近线方程为 x 2 3 ± 3y=0.根据题意,所求圆的半径 r= = 3,故所 2 求圆的方程为 x2+(y-2)2=3.

三、解答题 8.已知点 E(-2,0),F(2,0),曲线 C 上的动点 M 满足 →· → =-3.定点 A(2,1),由曲线 C 外一点 P(a,b)向曲 EM FM 线 C 引切线 PQ,切点为 Q,且满足|PQ|=|PA|. (1)求曲线 C 的方程; (2)若以点 P 为圆心的圆和曲线 C 有公共点,求半径 取最小值时圆 P 的标准方程.

→ =(x+2,y), 【解析】(1)设 M(x,y),则EM → =(x-2,y), FM →· → =(x+2,y)· ∴ EM FM (x-2,y) =x2-4+y2=-3, 故曲线 C 的方程为 x2+y2=1. (2)∵Q 为切点,∴PQ⊥OQ. 由勾股定理,得|PQ|2=|OP|2-|OQ|2. 由|PQ|=|PA|,得(a2+b2)-1=(a-2)2+(b-1)2, 化简得 2a+b-3=0,即 b=-2a+3. 设圆 P 的半径为 R, ∵圆 P 与曲线 C 有公共点, ∴|R-1|≤|OP|≤R+1,

即 R≥||OP|-1|且 R≤|OP|+1. |OP|= a2+b2= a2+(-2a+3)2 ? 6?2 9 = 5?a-5? + , 5 ? ? 6 3 5 3 故当 a= 时,|OP|min= ,此时 b=-2a+3= , 5 5 5 3 5 Rmin= -1, 5 故所求圆 P 的标准方程为 ?2 ? 6?2 ? 3?2 ?3 5 ?x- ? +?y- ? =? ? . - 1 5? 5? ? ? ? 5 ?

9.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3),直线 l: y=2x-4.设圆 C 的半径为 1,圆心在 l 上. (1)若圆心 C 也在直线 y=x-1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M,使 MA=2MO(O 为坐标原 点),求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.

【解析】(1)由题设,圆心 C 是直线 y=2x-4 和 y =x-1 的交点,解得点 C(3,2),于是切线的斜率必存在. 设过 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 y=kx+3, |3k+1| 3 由题意,得 2 =1,解得 k=0 或- , 4 k +1 故所求切线方程为 y=3 或 3x+4y-12=0. (2)因为圆心在直线 y=2x-4 上,所以圆 C 的方程 为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1. 设点 M(x,y),因为 MA=2MO, 所以 x2+(y-3)2=2 x2+y2,化简得 x2+y2+ 2y-3=0,即 x2+(y+1)2=4,所以点 M 在以 D(0,-1) 为圆心,2 为半径的圆上.

由题意,点 M(x,y)在圆 C 上,所以圆 C 与圆 D 有公 共点,则|2-1|≤|CD|≤2+1,即 1≤ a2+(2a-3)2≤ 3. 由 5a2-12a+8≥0,得 a∈R; 12 由 5a2-12a≤0,得 0≤a≤ . 5 ? 12? 所以点 C 的横坐标 a 的取值范围为?0, 5 ?. ? ?

10.已知以点

? 2? C?t, t ?(t∈R,t≠0)为圆心的圆与 ? ?

x轴

交于点 O、A,与 y 轴交于点 O、B,其中 O 为原点. (1)求证:△AOB 的面积为定值; (2)设直线 2x+y-4=0 与圆 C 交于点 M、 N,若|OM| =|ON|,求圆 C 的方程.

【解析】(1)证明:由题设知,圆 C 的方程为 ? 2 ?2 2 4 2 (x-t) +?y- t ? =t + 2, t ? ? 4 化简得 x2-2tx+y2- t y=0, 当 y=0 时,x=0 或 2t,则 A(2t,0); ? 4? 4 当 x=0 时,y=0 或 ,则 B?0, t ?, t ? ? 1 所以 S△AOB= |OA|· |OB| 2 ?4? 1 ? ?=4 为定值. = |2t|· 2 ?t?

(2)∵|OM|=|ON|,则原点 O 在 MN 的中垂线上,设 MN 的中点为 H,则 CH⊥MN, ∴C、H、O 三点共线,则直线 OC 的斜率 2 t 2 1 k= = 2= ,∴t=2 或 t=-2. t t 2 ∴圆心为 C(2,1)或 C(-2,-1), ∴圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5 或(x+2)2+(y+1)2=5, 由于当圆方程为(x+2)2+(y+1)2=5 时,圆心到直 线 2x+y-4=0 的距离 d>r,此时不满足直线与圆相交, 故舍去, ∴圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.

一、选择题 1.直线 l1 的斜率为 2,l1∥l2,直线 l2 过点(-1,1)且与 y 轴交于点 P,则 P 点坐标为( ) A.(3,0) B.(-3,0) C.(0,-3) D.(0,3) 【解析】选 D ∵l1∥l2,且 l1 的斜率为 2,∴l2 的斜率为 2. 又 l2 过(-1,1),∴l2 的方程为 y-1=2(x+1), 整理得 y=2x+3.令 x=0,得 P(0,3).

2.圆 C 过坐标原点,在两坐标轴上截得的线段长相 等 ,且与直线 x+ y = 4 相切 ,则圆 C 的方程不可能 是 ... ( ) A.(x+1)2+(y+1)2=18 B.(x-2)2+(y+2)2=8 C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+2)2+(y-2)2=8

【解析】选 A 把坐标原点分别代入 A、B、C、D 四个圆的方程, 只有 A 不成立.∴圆 C 的方程不可能是 A.故选 A.

3.已知点 M 是直线 3x+4y-2=0 上的动点,点 N 为圆(x+1)2+(y+1)2=1 上的动点,则|MN|的最小值是 ( ) 9 4 13 A. B.1 C. D. 5 5 5
【解析】选 C 圆心(-1,-1)到点 M 的距离的最小值为点(-1, |-3-4-2| 9 -1)到直线的距离 d= = ,故点 N 到点 M 5 5 4 的距离的最小值为 d-1= . 5

?x+y-2≤0, ? 4.已知 x,y 满足约束条件?x-2y-2≤0,若 z=y- ? ?2x-y+2≥0. ax 取得最大值的最优解不唯一,则实数 a 的值为( ) 1 1 A. 或-1 B.2 或 2 2 C.2 或 1 D.2 或-1

【解析】选 D 作出约束条件满足的可行域,根据 z=y-ax 取得 最大值的最优解不唯一,通过数形结合分析求解.

如图,由 y=ax+z 知 z 的几何意义是直线在 y 轴上 的截距,故当 a>0 时,要使 z=y-ax 取得最大值的最优 解不唯一,则 a=2; 当 a<0 时,要使 z=y-ax 取得最大 值的最优解不唯一,则 a=-1.

5.若直线 l1:y=k(x-4)与直线 l2 关于点(2,1)对称, 则直线 l2 恒过定点( ) A.(0,4) B.(0,2) C.(-2,4) D.(4,-2)
【解析】选 B 由于直线 l1:y=k(x-4)恒过定点(4,0),其关于点 (2,1)对称的点为(0,2).又由于直线 l1:y=k(x-4)与直 线 l2 关于点(2,1)对称,故直线 l2 恒过定点(0,2).

6.已知点 A(1,-2),B(m,2),且线段 AB 的垂直平分 线的方程是 x+2y-2=0,则实数 m 的值是( ) A.-2 B.-7 C.3 D.1
【解析】选 C
?1+m ? ? ? 线段 AB 的中点? ,0?代入直线 x+2y-2=0 ? 2 ? ? 1? 中,得 m=3.此时,满足条 kAB·?-2?=-1. ? ?

二、填空题 7.已知直线 Ax+By+C=0 与圆 x2+y2=1 相交于 P,Q 两点,其中 A2,C2,B2 成等差数列,O 为坐标原点,则 →· → =________. OP PQ

【解析】-1 依题意知 A2+B2=2C2,所以圆 x2+y2=1 的圆心 |C| 2 到直线 Ax+By+C=0 的距离 d= 2 = .又圆 A +B2 2 →· → x2+y2=1 的半径为 1,所以∠POQ=90°,所以OP OQ →· → =OP →· → -OP → )=OP →· → -OP → 2 = 0- 1 =0,故OP PQ (OQ OQ =-1.

8.已知直线 x+y-1=0 与圆 x2+y2=a 交于 A,B → +OB → =OC → ,则 a 的 两点,O 是原点,C 是圆上一点.若OA 值为________.
【解析】2 → +OB → =OC → ,知四边形 由 A,B,C 均在圆上,且OA ? ? ? → OACB 为菱形.又?OC? ?= a,所以圆心到直线 x+y-1= a 1 a 0 的距离等于 ,即 = ,解得 a=2. 2 2 2

9.已知直线 x-y+a=0 与圆心为 C 的圆 x2+y2+ 2x-4y-4=0 相交于 A,B 两点,且 AC⊥BC,则实数 a 的 值为________.

【解析】0 或 6 先由圆的方程求出圆的圆心坐标和半径,再由 AC⊥BC 求得圆心到直线的距离,由点到直线的距离公 式求 a 的值. 由 x2+y2+2x-4y-4=0 得(x+1)2+(y-2)2=9, 所以圆 C 的圆心坐标为 C(-1,2),半径为 3,由 AC⊥BC 可知△ABC 是直角边长为 3 的等腰直角三角形,故可 3 2 得圆心 C 到直线 x-y+a=0 的距离为 ,由点到直线 2 |-1-2+a| 3 2 的距离公式可得 = ,解得 a=0 或 a=6. 2 2

10.设 m,n∈R,若直线 l:mx+ny-1=0 与 x 轴相 交于点 A,与 y 轴相交于点 B,且 l 与圆 x2+y2=4 相交所 得的弦长为 2,O 为坐标原点,则△AOB 面积的最小值为 ________.
【解析】3 利用半径、弦长的一半及弦心距的关系求解. ?1 ? ? 1? 由题意知,A?m,0?,B?0,n?,圆的半径为 2,且 l 与 ? ? ? ? 圆的相交弦长为 2,则圆心到弦所在直线的距离为 3, 1 1 2 2 即 2 2= 3?m +n =3, m +n 1? 1 ??1 ? ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? 且 S△AOB= m n = 2mn ≥ 2 2=3, 2? ?? ? ? ? m +n 即三角形面积的最小值为 3.

三、解答题 11. 已知以点 P 为圆心的圆经过点 A( - 1,0) 和 B(3,4),线段 AB 的垂直平分线交圆 P 于点 C 和 D,且|CD| =4 10. (1)求直线 CD 的方程; (2)求圆 P 的方程.
【解析】(1)直线 AB 的斜率 k=1, AB 的中点坐标为(1,2). 则直线 CD 的方程为 y-2=-(x-1),即 x+y-3 =0.

(2)设圆心 P(a,b), 则由 P 在 CD 上得 a+b-3=0.① 又∵直径|CD|=4 10, ∴|PA|=2 10, ∴(a+1)2+b2=40.② ? ?a=-3, ? ?a=5, 由①②解得? 或? ? ? ?b=6 ?b=-2. ∴圆心 P(-3,6)或 P(5,-2). ∴圆 P 的方程为(x+3)2+(y-6)2=40 或(x-5)2+(y+2)2=40.

12.已知关于 x,y 的方程 C:x2+y2-2x-4y+m= 0. (1)当 m 为何值时,方程 C 表示圆; (2)在(1)的条件下,若圆 C 与直线 l:x+2y-4=0 4 5 相交于 M、N 两点,且|MN|= ,求 m 的值. 5

【解析】(1)方程 C 可化为(x-1)2+(y-2)2=5- m, 显然只要 5-m>0,即 m<5 时方程 C 表示圆. (2)因为圆 C 的方程为(x-1)2+(y-2)2=5-m, 其中 m<5,所以圆心 C(1,2), 半径 r= 5-m, 则圆心 C(1,2)到直线 l:x+2y-4=0 的距离为 |1+2×2-4| 1 d= = , 2 2 5 1 +2 4 5 因为|MN|= , 5 ? 1 ?2 ?2 5?2 1 2 5 ? , 所以 |MN|= ,所以 5-m=? ? +? 2 5 5 5 ? ? ? ? 解得 m=4.

13.已知 m∈R,直线 l: mx-(m2+1)y=4m 和圆 C: x2+y2-8x+4y+16=0. (1)求直线 l 斜率的取值范围; 1 (2)直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为 的两段 2 圆弧?为什么? m 【解析】 (1) 直线 l 的方程可化为 y = 2 x- m +1 4m , m2 + 1 m 1 2 直线 l 的斜率 k= 2 ,因为|m|≤ (m +1), 2 m +1 |m| 1 所以|k|= 2 ≤ ,当且仅当|m|=1 时等号成立. m +1 2 ? 1 1? 所以,斜率 k 的取值范围是?-2,2?. ? ?

(2)不能. 1 由(1)知 l 的方程为 y=k(x-4),其中|k|≤ . 2 圆 C 的圆心为 C(4,-2),半径 r=2, 2 圆心 C 到直线 l 的距离 d= 2. 1+k 1 4 r 由|k|≤ ,得 d≥ >1,即 d> . 2 2 5 从而,若 l 与圆 C 相交,则圆 C 截直线 l 所得的弦 2π 所对的圆心角小于 . 3 1 所以 l 不能将圆 C 分割成弧长的比值为 的两段弧. 2