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2019年版高中全程复习方略配套课件:21函数及其表示(北师大版·数学理)语文_图文

第一节 函数及其表示

三年9考 高考指数:★★★ 1.了解构成函数的要素,了解映射的概念; 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如列表法、 图像法、解析法)表示函数; 3.了解简单的分段函数,并能简单地应用.

1.函数的概念、定义域及表示法(特别是分段函数)是近几年高 考命题的热点. 2.常和对数、指数、函数的性质等相结合考查,有时也会命制 新定义问题. 3.题型主要以选择、填空题为主,属中低档题.

1.函数的概念

条件 结论

①给定两个非空数集A和B; ②按照某个对应关系f; ③集合A中任何一个数x,在集合B中都存在唯 一确定的数f(x)与之对应.
对应关系f叫作定义在集合A上的函数

记法 自变量 与函数值

f:A→B,或y=f(x),x∈A 自变量是x.当x=a时,则用f(a)表示函数y=f(x) 的函数值.

【即时应用】 (1)思考:函数定义中对集合A中的元素有什么要求? 提示:①全部参与对应;②在集合B中对应元素存在且唯一确定.

(2)判断下列对应关系f是否是从A到B的函数.(请在括号中填

“是”或“否”)

①A=R,B={x|x>0},f:x→|x|;

()

②A=R,B=R,f:x→x2;

()

③A=Z,B=R,f:x→ x; ④A=Z,B=Z,f:x→x2-3.

() ()

【解析】①否,因为A中的元素0在B中没有对应元素; ③否,因为A中的元素为负整数时在B中没有对应元素; ②④是,满足函数的定义,是从A到B的函数. 答案:①否 ②是 ③否 ④是

2.函数的构成要素 函数由_定__义__域__、_值__域__、_对__应__关__系__三个要素构成,对函数 y=f(x),x∈A,其中, (1)定义域:自变量x的_集__合__A_. (2)值域:函数值的集合{_f_(_x_)_|_x_∈__A_}_.

【即时应用】

(1)判断下列各组函数中,是否是同一函数.(请在括号中填

“是”或“否”)

①f(x)=x与g(x)=( x )2

()

②f(x)=|x|与g(x)= 3 x3

()

③ ④ff((xx))==x|xx2 |?与1 与g(gx()t=)?????=?xt2x+21(txx≠><001)

() ()

x ?1

(2)函数y=x2-2x的定义域为{0,1,2,3},那么其值域为______.

(3)设集合A={x|y= x ? 2 },集合B={y|y=x2,x∈R},则A∩B=____.

【解析】(1)①否,函数f(x)与g(x)的定义域不同; ②否,函数f(x)与g(x)的对应关系不同; ③否,函数f(x)与g(x)的定义域不同; ④是,函数f(x)= x2 ?1 =x+1(x≠1)与g(t)=t+1(t≠1)是同一
x ?1
函数. (2)当x取0,1,2,3时,对应的y的值依次为0,-1,0,3,所以其值 域为{-1,0,3}. (3)已知A={x|x-2≥0}={x|x≥2},B={y|y≥0}, ∴A∩B={x|x≥2}.

答案:(1)①否 ②否 ③否 ④是 (2){-1,0,3} (3){x|x≥2}

3.函数的表示方法 表示函数常用的方法有:_列__表__法___、_图__像__法___和_解__析__法___.

【即时应用】
(1)下列四个图像是函数f(x)=x+ x 的图像的是______.
x

(2)若f( x +1)=x+ 2 x,则f(x)的解析式为_______.

【解析】(1)∵f(x)=

?x ??x

? 1, ?1,

xx<>00,? ①是.

(2)方法一:令t= x +1,则x=(t-1)2,t≥1,

代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,

∴f(x)=x2-1(x≥1).

方法二:∵x+ 2 x =( x +1)2-1, ∴f( x +1)=( x +1)2-1. 又 x +1≥1, ∴f(x)=x2-1(x≥1).

答案:(1)① (2)f(x)=x2-1(x≥1)

4.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上,因_对__应__关__系___不同而分别用 几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.

【即时应用】

(1)已知函数f(x)=

?x ?1, x ???x ? 3,

? 1 ,则f x>1

(f

(

5 2

))

?

______ .

??x ? 2, x ? ?1
(2)设 f ?x? ? ??x2, ?1<x<2 , 若f(x)=3,则x=______.
??2x, x ? 2

【解析】(1) f (5) ? ? 5 ? 3 ? 1 ,
22 2

?f (f ( 5)) ? f (1) ? 1 ?1 ? 3 .

2

22 2

(2)当x≤-1时,-x+2=3,得x=-1,符合要求;

当-1<x<2时,x2=3,得x= ? 3,只有 3 符合要求; 当x≥2时,2x=3,得x= 3 ,不符合要求.
2
综上可知,x=-1或 3. 答案:(1) 3 (2)-1或 3
2

5.映射的概念

条件 ①两个非空集合A与B间存在着对应关系f; ②A中的_每__一__个__元素x,B中总有_唯__一___的一个元素y与它对应.

结论 __对__应__关__系__f___称为从A到B的映射

记法
像与 原像
一一 映射

f:A→B
__A_中__的__元__素__x___称为原像,_B_中__的__对__应__元__素__y_称为x的像, 记作f:__x_→__y__ ①A中每一个元素在B中都有__唯__一____的像与之对应; ②A中的不同元素的像_也__不__同___; ③B中的每一个元素都有_原__像____.

【即时应用】 (1)思考:设f:A→B是一个映射,则A中每一个元素都有像, 而B中的每一个元素都有原像吗? 提示:不一定.由映射的定义可知B中的每一个元素在A中不一 定有原像.

(2)设A={0,1,2,4},B={ 1 , 0,1,2,6,8},判断下列对应关系是
2
否是A到B的映射.(请在括号中填“是”或“否”)

①f:x→x3-1

()

②f:x→(x-1)2

()

③f:x→2x-1

()

④f:x→2x

()

【解析】①不是,当A中的x=0,2,4时在B中没有对应元素; ②不是,当A中的x=4时在B中没有对应元素; ③是,满足映射的定义,是从A到B的映射; ④不是,当A中的x=2时在B中没有对应元素. 答案:①否 ②否 ③是 ④否

求简单函数的定义域、值域 【方法点睛】1.求简单函数的定义域的方法 (1)若已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组) 求解. (2)实际问题:由实际意义及使解析式有意义的不等式(组)求 解.

(3)求抽象函数的定义域: ①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f(g(x))的 定义域由不等式a≤g(x)≤b求出. ②若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为 g(x)在x∈[a,b]时的值域.

2.求简单函数值域的方法 (1)观察法;(2)图像观察法;(3)单调性法;(4)分离常数法; (5)均值不等式法;(6)换元法.

【例1】(1)(2012·西安模拟)函数f(x)= 1 ? x2 ?1 的定义
2? x
域为________. (2)(2012·郑州模拟)已知函数f(2x)的定义域是[-1,1],求 f(x)的定义域; (3)求下列函数的值域. ①y=x2+2x,x∈[0,3];②y=log3x+logx3-1; ③ y ? 2x2 ?1.

【解题指南】(1)根据解析式求定义域,只需构建使解析式有 意义的不等式组求解即可; (2)求抽象函数的定义域,要明确2x与f(x)中x的含义; (3)根据解析式的特点,分别选用①图像观察法;②均值不等 式法;③单调性法求值域.

【规范解答】(1)要使该函数有意义,需要

?? x 2 ?

?1

?

0,

??2 ? x ? 0

则有:???xx

? ?

1或x ?2

?

?1,

解得:x<-2或-2<x≤-1或1≤x<2或x>2.

所以所求函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,-1]∪[1,2)

∪(2,+∞).

答案:(-∞,-2)∪(-2,-1]∪[1,2)∪(2,+∞) (2)∵f(2x)的定义域为[-1,1],即-1≤x≤1,

∴ 1 ? 2x ? 2,故f(x)的定义域为[ 1 , 2].

2

2

(3)①y=(x+1)2-1,在[0,3]上的图像如图所示, 由图像知:0≤y≤32+2×3=15,所以值域为[0,15].

②∵y=log3x+

1 log3x

-1,定义域为(0,1)∪(1,+∞),

当0<x<1时,y≤

?2

(?log3x)

(?

1 )
log3x

?1

?

?3,

当x>1时,y≥

2

log3x

1 log3x

?1 ? 1,

综上可知,值域为(-∞,-3]∪[1,+∞).

③∵x2-1≥-1,又y=2x在R上为增函数,

∴ y ? 2x2?1 ? 2?1 ? 1 , 故值域为[ 1 , +∞).

2

2

【反思·感悟】1.求函数的定义域,其实质就是以函数解析式 有意义为准则,列出不等式(组),从而求解. 2.f(g(x))的定义域为[a,b],指的是x的取值范围是[a,b], 而不是g(x)的取值范围是[a,b]. 3.求函数的值域时,若能画出图像,则用图像观察法求解;若 能判断单调性则用单调性法求解;若能满足均值不等式的条件, 则用均值不等式法求解.

分段函数及其应用 【方法点睛】分段函数求值、解不等式及求解析式的方法 处理分段函数的求值、解不等式及求解析式等相关问题时,首 先要确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应关系代入计 算求解,特别要注意分段区间端点的取舍,当自变量的值不确 定时,要分类讨论. 【提醒】分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.

【例2】(1)(2012·南昌模拟)已知函数

f (x) ?

??x ?1 ???x ?1

(?1 ? x<0), (0<x ? 1)

则f(x)-f(-x)>-1的解集为( )

(A)(-∞,-1)∪(1,+∞) (B)[-1,? 1 )∪(0,1]
2
(C)(-∞,0)∪(1,+∞)
(D)[-1, ? 1 ]∪(0,1)
2

(2)已知函数y=f(x)的图像由图中的两条射线和抛物线的一部 分组成,求函数的解析式.

【解题指南】(1)求解关于分段函数的不等式,一般的思路是 根据每一段的解析式分类求解,再求其并集. (2)已知图像形状,求解析式,可用待定系数法.

【规范解答】(1)选B.①当-1≤x<0时,0<-x≤1,此时

f(x)=-x-1,f(-x)=-(-x)+1=x+1,

∴f(x)-f(-x)>-1化为-2x-2>-1,

得x< ? 1,则-1≤x< ? 1 .

2

2

②当0<x≤1时,-1≤-x<0,此时,f(x)=-x+1,f(-x)=

-(-x)-1=x-1,

∴f(x)-f(-x)>-1化为-x+1-(x-1)>-1,
解得x< 3,则0<x≤1.
2
故所求不等式的解集为[-1, ? 1 )∪(0,1].
2

(2)根据图像,设左侧的射线对应的解析式为y=kx+b (x≤1).

∵点(1,1),(0,2)在射线上,

?

?k ??b

? ?

b 2

?

1 ,

解得

?k ??b

? ?

?1 .
2

∴左侧射线对应函数的解析式为y=-x+2(x≤1);

同理,x≥3时,函数的解析式为y=x-2(x≥3).

再设抛物线对应的二次函数解析式为y=a(x-2)2+2(1≤x≤3,

a<0),

∵点(1,1)在抛物线上,
∴a+2=1,a=-1,
∴1≤x≤3时,函数的解析式为
y=-x2+4x-2(1≤x≤3),
??x ? 2, x<1
综上,函数的解析式为 y ? ???x2 ? 4x ? 2,1 ? x ? 3.
??x ? 2, x>3

【反思·感悟】当分段函数的自变量在不同的取值范围内取值 时,其对应关系也不同;其定义域是各段定义域的并集,值域 是各段值域的并集,解分段函数问题时要分段解决.

求函数值 【方法点睛】求函数值的类型及解法 (1)f(g(x))型:遵循先内后外的原则; (2)分段函数型:应根据自变量值所在区间对应求值,不确定 时要分类讨论; (3)含有函数性质型:对具有奇偶性、周期性、对称性的函数 求值,要用好其函数性质,将待求值调节到已知区间上求解; (4)抽象函数型:要用好抽象的函数关系,适当赋值,从而求 得待求函数值.

【例3】(2012·滁州模拟)已知定义域为R的函数f(x)对任意的 x,y∈R,f(x)≠0,且f(x+y)=f(x)f(y),则f(0)的值为_______. 【解题指南】根据f(x+y)=f(x)f(y)给x,y赋适当的值求解.

【规范解答】因为f(x)对任意的x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y), 则令x=y=0,得f(0)=f2(0), 又∵f(x)≠0,∴f(0)=1. 答案:1

【反思·感悟】对于这类给出函数所满足的抽象的性质,但不 知道函数解析式的求值问题,求解时应根据该抽象的函数关系 的结构特征,结合待求值的特点,给变量赋予特殊值,从而使 问题具体化、简单化,达到求出函数值的目的.

【创新探究】与函数有关的新定义问题
【典例】(2011·广东高考)设f(x),g(x),h(x)是R上的任意
实值函数,如下定义两个函数(f ? g)(x)和(f·g)(x):对任意 x∈R,(f ? g)(x)=f(g(x));(f·g)(x)=f(x)g(x).则下列等 式恒成立的是( )

(A)((f ? g)·h)(x)=((f·h) ? (g·h))(x) (B)((f·g) ? h)(x)=((f ? h)·(g ? h))(x) (C)((f ? g) ? h)(x)=((f ? h) ? (g ? h))(x) (D)((f·g)·h)(x)=((f·h)·(g·h))(x)
【解题指南】根据新的定义逐个选项验证其真伪,从而作出判
断.

【规范解答】选B.根据新函数的定义分析如下表,

选项

分析

((f ? g)·h)(x)=(f ? g)(x)h(x) =f(g(x))h(x);

A

((f·h) ? (g·h))(x) =(f·h)((g·h)(x))

=(f·h)(g(x)h(x))

=f(g(x)h(x))h(g(x)h(x));

((f·g) ? h)(x)=(f·g)(h(x)) =f(h(x))g(h(x));
B ((f ? h)·(g ? h))(x) =(f ? h)(x)(g ? h)(x) =f(h(x))g(h(x));

结论
等式 不恒成立
等式 恒成立

选项

分析

((f ? g) ? h)(x)=(f ? g)(h(x)) =f(g(h(x)));
C ((f ? h) ? (g ? h))(x) =(f ? h)((g ? h)(x)) =(f ? h)(g(h(x)))
=f(h(g(h(x))));

((f·g)·h)(x)=(f·g)(x)h(x) =f(x)g(x)h(x); D ((f·h)·(g·h))(x) =(f·h)(x)(g·h)(x) =f(x)h(x)g(x)h(x).

结论 等式 不恒成立
等式 不恒成立

【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究,可以得到以下创新点 拨和备考建议:
本题有以下创新点: 创 (1)本题为新定义问题,命题背景、题目设置新颖. 新 (2)考查内容创新:本题是将新定义的两个函数用于辨别 点 与之有关的等式是否恒成立问题,主要考查对新定义抽 拨 象函数的理解,需要考生有较强的理解能力、推理论证
能力和抽象概括能力.

对于这类与函数有关的新定义、新运算试题,我们在备 考2013年高考中,要高度关注以下几点: 备 (1)熟练掌握函数有关的概念、运算; 考 (2)强化对该类试题的训练,能正确理解所给的新定义、 建 新运算,会类比函数有关的定义、运算求解; 议 (3)平时的学习中要注重训练对所学数学知识的应用能力 及转化与化归能力的提高.

1.(2011·江西高考)若f(x)= 为( )

1

, 则f(x)的定义域

log1 ?2x ?1?

2

(A)(- 1 ,0)
2
(C)(- 1 ,+∞)
2

(B)(- 1 ,0]
2
(D)(0,+∞)

【解析】选A.由题意得: 得- 1 <x<0.

??2x ?1 ? 0

?log ??

1 2

?

2x

?

1?

?

0

2

2.(2011·北京高考)根据统计,一名工人组装第x件某产品所

用的时间(单位:分钟)为

?

f

(x)

?

?? ?

?

c ,x<A

x

(A,c为常数),

c ,x ? A

已知工人组装第4件产品用时30分??钟A,组装第A件产品用时15分

钟,那么c和A的值分别是( )

(A)75,25

(B)75,16

(C)60,25

(D)60,16

【解析】选D.当A>4时,????f

解得c=60,A=16;

?f ??

(4) ? c 2
(A) ?

? 30 c? A

, 15

当A≤4时,????f (4) ?
?f (4) ?

c ? 30
A ,无解.
c ? 15

??

A

3.(2012·淮南模拟)对定义域分别为D1,D2的函数y=f(x),
?f (x) g(x), x ? D1,且x ? D2
y=g(x),规定:函数h(x)= ??f (x), x ? D1且x ? D2,
??g(x), x ? D1且x ? D2
若f(x)=-2x+3(x≥1),g(x)=x-2(x≤2),则h(x)的解析式
h(x)=________.

【解析】根据规定:当x∈D1且x∈D2,即:x≥1且x≤2,也就是
1≤x≤2时,h(x)=f(x)·g(x)=(-2x+3)(x-2);
当x∈D1且x ?D2,即:x≥1且x>2,亦即x>2时,h(x)=f(x)=-2x+3, 当x ?D1且x∈D2,即x<1且x≤2,亦即x<1时,h(x)=g(x)=x-2.
?x ? 2, x ? 1
综上可知:h(x) ? ??(?2x ? 3)(x ? 2),1 ? x ? 2
???2x ? 3,x ? 2
答案:???(x??2x2,?x3?)(1x ? 2),1 ? x ? 2
???2x ? 3,x ? 2

4.(2011·湖南高考)给定k∈N*,设函数f:N*→N*满足:对于 任意大于k的正整数n,f(n)=n-k. (1)设k=1,则其中一个函数f在n=1处的函数值为_____; (2)设k=4,且当n≤4时,2≤f(n)≤3,则不同的函数f的个数为 _______.

【解析】(1)本题定义的函数有两个条件,一是定义域和值域都 是正整数,二是对于任意大于k的正整数n,f(n)=n-k.那么n=1时 只要满足函数值是正整数即可,所以答案是a(a为正整数). (2)∵k=4,∴n>4的正整数都一一对应,只要对n≤4的进行定义, 又∵f(n)=2或f(n)=3,∴f(1)=2或3,f(2)=2或3,f(3)=2或3, f(4)=2或3,所以f的个数为:2×2×2×2=16. 答案:(1)a(a为正整数) (2)16