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【文库精品】高中数学 第四章4.2.3 直线与圆的方程的应用检测 新人教A版必修2

4.2.3

直线与圆的方程的应用

[A 级 基础巩固] 一、选择题 1.在平面直角坐标系 xOy 中,设点 P 为圆 C:(x-2) +y =5 上的任意一点,点 Q (2a,a +2),其中 a∈R,则线段 PQ 长度的最小值为( A. 5 5 3 5 5 B. 5 6 5 5 )
2 2

C.

D.

解析:设点 Q(x,y),则 x=2a,y=a+2,所以 x-2y+4=0,所以点 Q 在直线 x-2y+4= |2-0+4| 6 5 0 上.由于圆心(2,0)到直线 x-2y+4=0 的距离为 d= = ,所以 PQ 长度的最小值 5 1+4 6 5 5 为 d- 5= - 5= .故选 A. 5 5 答案:A 2.圆 C1:x +y +4x-4y+7=0 和圆 C2:x +y -4x-10y+13=0 的公切线有( A.2 条 C.4 条
2 2 2 2 2 2

)

B.3 条 D.1 条

解析:因为 C1:(x+2) +(y-2) =1,

C2:(x-2)2+(y-5)2=16,
所以|C1C2|= (2+2) +(5-2) =5, 又 r1+r2=5,所以|C1C2|=r1+r2, 所以两圆外切,故公切线的条数为 3. 答案:B 3.圆 x +y -2x-5=0 和圆 x +y +2x-4y-4=0 的交点为 A,B,则线段 AB 的垂直平分线 的方程为( ) B.2x-y+1=0 D.x-y+1=0
2 2 2 2 2 2 2 2

A.x+y-1=0 C. x-2y+1=0
2 2

解析:x +y -2x-5=0 化为标准方程是(x-1) +y =6,其圆心是(1,0).两圆的方程相减 得公共弦 AB 所在直线方程为 4x-4y+1=0.又线段 AB 的垂直平分线就是过两圆圆心的直线,则 其斜率为-1,故所求直线方程为 y-0=-(x-1),即 x+y-1=0. 答案:A

-1-

4.已知方程 x +y +4x-2y-4=0,则 x +y 的最大值是( A.9 C.14-6 5
2 2

2

2

2

2

)

B.14 D.14+6 5

解析:方程化为(x+2) +(y-1) =9,所以圆心为(-2,1),

r=3,而 x2+y2=( (x-0)2+(y-0)2)2.
所以 x +y 的最大值为( (-2-0) +(1-0) +3) =14+6 5. 答案:D 5. (2016·山东卷)已知圆 M: x +y -2ay=0(a>0)截直线 x+y=0 所得线段的长度是 2 2, 则圆 M 与圆 N:(x-1) +(y-1) =1 的位置关系是( A.内切 C.外切
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

B.相交 D.相离
2 2 2

解析:圆 M:x +y -2ay=0(a>0)可化为:x +(y-a) =a ,由题意,d=
2 2 2

a
2

,所以有 a =

2

a2
2

+2,解得 a=2.所以圆 M:x +(y-2) =2 ,圆心距= 2,半径和=3,半径差=1,所以二者相 交. 答案:B 二、填空题 6.已知圆 C1:(x-1) +(y-2) =4,圆 C2:(x+2) +(y+2) =9,则两圆的位置关系是 ________. 解析:C1(1,2),r1=2,C2(-2,-2),r2=3, |C1C2|=5,r1+r2=5, 因此两圆外切. 答案:外切 7.两圆相交于两点 A(1,3)和 B(m,-1),两圆圆心都在直线 x-y+c=0 上,则 m+c 的值 为________. 解析:由题意得 3-(-1) k = =-1, ? ? 1-m ?m+1 3-1 ? ? 2 - 2 +c=0,
AB
2 2 2 2

得?

? ?m=5, ? ?c=-2.

所以 m+c=5-2=3. 答案:3 8.过两圆 x +y -x-y-2=0 与 x +y +4x-4y-8=0 的交点和点(3,1)的圆的方程是
-22 2 2 2

____________________________________. 解析:设所求圆方程为(x +y -x-y-2)+λ (x +y +4x-4y-8)=0,将(3,1)代入得 λ 2 13 2 2 =- .故所求圆的方程为 x +y - x+y+2=0. 5 3 13 2 2 答案:x +y - x+y+2=0 3 三、解答题 9.已知圆 C1:x +y +2x+2y-8=0 与圆 C2:x +y -2x+10y-24=0 相交于 A、B 两点. (1)求公共弦 AB 所在的直线方程; (2)求圆心在直线 AB 上,且经过 A,B 两点的圆的方程; (3)求经过 A,B 两点且面积最小的圆的方程. 解:(1)圆 C1:x +y +2x+2y-8=0 与圆 C2:x +y -2x+10y-24=0 的公共弦所在直线方 程为 x +y +2x+2y-8-(x +y -2x+10y-24)=0,即 x-2y+4=0.
? ?x +y +2x+2y-8=0, (2)由? 2 2 ?x +y -2x+10y-24=0, ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

解得?

? ?x=-4, ? ?y=0

或?

? ?x=0, ? ?y=2.

所以 A,B 两点的坐标分别为 (-4,0),(0,2), 中点坐标为(-2,1), 则|AB|= (-4) +(-2) =2 5, 故所求圆的圆心为(-2,1),半径为 5, 所以圆的方程为(x+2) +(y-1) =5,即 x +y +4x-2y=0. (3)经过 A,B 两点且面积最小的圆即为以 AB 为直径的圆,与(2)的圆是相同的.则所求圆的 方程为 x +y +4x-2y=0. 10.为了适应市场需要,某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图),它的附近有一条公路, 从基地中心 O 处向东走 1 km 是储备基地的边界上的点 A,接着向东再走 7 km 到达公路上的点 B; 从基地中心 O 向正北走 8 km 到达公路的另一点 C.现准备在储备基地的边界上选一点 D,修建一 条由 D 通往公路 BC 的专用线 DE,求 DE 的最短距离.
2 2 2 2 2 2 2 2

解:以 O 为坐标原点,OB,OC 所在直线分别为 x 轴和 y 轴,建立平面直角坐标系.如图,则 圆 O 的方程为 x +y =1,且点 B(8,0),C(0,8),
2 2

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所以直线 BC 的方程为 + =1,即 x+y=8. 8 8 当点 D 选在与直线 BC 平行的直线(距 BC 较近的一条)与圆的切点处时,DE 为最短距离.此时

x y

DE 长的最小值为

|0+0-8| -1=4 2-1(km). 2 B 级 能力提升

1.台风中心从 A 地以 20 km/h 的速度向东北方向移动,离台风中心 30 km 内的地区为危险 区,城市 B 在 A 地正东 40 km 处,则城市 B 处于危险区内的时间为( A.0.5 h C.1.5 h B.1 h D.2 h )

解析:如图,以 A 地为原点,AB 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系,则以 B(40,0)为 圆心,30 为半径的圆内 MN 之间(含端点)为危险区,取 MN 的中点 E,连接 BE,BN,BM,则 BE⊥

MN,BN=BM,△ABE 为等腰直角三角形,因为 AB=40,所以 BE=20 2 km,在 Rt△BEN 中,NE= BN2-BE2=10,则|MN|=20,所以时间为 1 h.故选 B.

答案:B 2.已知圆 x +y =1 和(x+4) +(y-a) =25 相切,则 a=________. 解析:因为 C1(0,0),r1=1;C2(-4,a),r2=5,所以若|C1C2|=r1+r2=6,则 a=±2 5; 若|C1C2|=r2-r1=4,则 a=0. 答案:±2 5或 0 3.一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥,在正常水位时,拱桥最高点距水 面为 9 m,圆拱桥内水面宽为 18 m,船只在水面以上部分高为 6.5 m,船顶部宽为 4 m,故通行 无阻.近日水位暴涨了 2.7 m,船只已经不能通过桥洞了,船员通过加重船载,降低船身,试问: 船身至少降低多少,才能通过桥洞?(精确到 0.01 m) 解:建立如图所示的平面直角坐标系,则 A(9,-9),B(2,y1).
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设圆的方程为 x +(y-b) =r . 因为 A(9,-9),O(0,0)在圆上, 所以圆的方程为 x +(y+9) =81. 所以点 B 纵坐标 y1= 77-9,涨水前 B 离水面距离为 77 m,涨水后 B 离水面距离为 77- 2.7<6.5, 船要通过,船身至少降低 6.5+2.7- 77≈0.43(m). 即船身至少降低 0.43 m,才能通过桥洞.
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2

2

2

让我 是 可 这 , 作 工 ,知 解 须 必 中 作 工 多 很 了 道 知 些工 这 为 因 西 东 的 楚 清 须 必 , 道 们, 我 到 响 影 接 直 , 坏 好 理 处 的 作 部 险 外 意 且经 而 。 量 质 的 务 服 户 客 对 很大 我 了 予 给 也 中 作 工 在 雄 健 卓 理 去一 多 很 我 了 给 也 , 持 支 和 心 关 的 会。 机 的 习 学 等 损 定 勘 查 , 保 承 线 个月 三 间 眼 转 安排 被 我 后 10日 年 , 了 去 过 。在 在 现 直 一 , 习 学 部 险 车 非 到 作的 工 门 部 个 整 解 了 是 也 要 主 险 车 非 并也 操 作 工 务 内 种 各 , 序 程 ,续 保 承 : 作 操 的 单 简 些 一 了 行 进 非车 和 事 同 门 部 了 到 得 。 等 赔 理 , 保 和帮 持 支 力 大 的 雄 继 李 理 经 险 习等 学 线 一 去 多 很 了 到 得 , 且 而 。 助 习 学 的 保机 承 赔 理 损 定 , 勘 查 锻炼 到 得 多 很 益 受 我 让 , 会 些工 一 理 经 雄 继 李 到 得 且 并 。 会 机 的 ,尤 法 方 情 事 理 处 和 导 指 的 中 作 经理 李 , 时 足 不 的 做 我 中 作 工 是 其 己懂 自 到 会 体 正 真 我 使 , 导 指 肃 严 的 高西 提 待 有 , 了 少 太 西 东 的 得 得到 中 作 工 常 平 在 是 正 也 。 了 多 太 地让 渐 逐 , 助 帮 和 心 关 的 人 多 么 这 了 ,加 野 视 的 面 全 加 更 个 一 了 有 我 。 式 方 务 服 户 客 为 的 业 专 总以 我 , 前 以 这半 过 经 但 懂 , 解 了 很 对 己 自 为 让我 , 习 学 的 车 非 和 险 外 意 在 年 涵。 内 的 字 个 两 这 ” “ 到 解 理 加 更 ”很 人 险 保 “ 的 正 真 个 做 到 觉 感 各方 备 具 们 我 求 要 他 为 因 , 易 容 不 察力 洞 场 市 锐 敏 有 要 , 识 知 的 面 心己 的 折 挫 败 失 对 面 于 敢 颗 一 有 要 , 能 的 自力 升 提 习 学 持 坚 有 要 且 而 , 等 。 经的 年 半 这 过 了标 晰 清 更 脑 头 觉 感 我 , 后 习 学 分 充 能 己 自 望 希 , 了 确 明 更 目发 国保 中 保 人 为 , 力 能 的 己 自 挥 谢人 感 次 再 。 量 力 点 一 的 己 自 献 贡 险 持和 支 的 作 工 我 对 导 领 级 各 险 财 保 持 支 的 事 同 边 身 谢 感 , 助 帮 -因为 。 业 专 , 熟 成 更 我 让 们 你 是 :努 信 相 终 始 败;始 失 定 肯 弃 放 但 , 功 成 不 会 许 也 力 握每 把 , 赴 以 力 全 会 我 : 信 相 终 会 机 的 己 自 升 提 和 习 学 次 相信 终 ;始 陪伴 上 路 一 报 回 去 绩 成 的 用 会 我 : 。 过 暖 温 上 路 一 , 人 的 我 乡在 , x年 认真 , 下 导 领 确 正 的 府 政 、 委 县 以人 持 坚 , 策 政 农 三 央 中 实 落 彻 贯 力x年 努 观 展 发 学 科 实 落 面 全 , 本 为 国 乡 全 半 上 。内 会 社 谐 和 建 构 占全 。 元 1860万 成 完 计 预 值 总 产 生 。 长 增 期 同 去 比 %, 的 划 计 年 是x大 x, 名学 一 的 业 专 理 管 政 行 商 工 07级 专业 习 我 是 活 大 的 年 三 。 生 谋生 后 以 为 力 能 面 方 个 各 高 提 及 识 知 方面 治 政 想 思 在 。 段 阶 要 重 的 展 发 。 养 修 德 道 的 秀 优 有 具 ;我 会, 社 品 商 在 的当 大 很 着 有 系 关 需 供 跟 格 价 然就 自 , 候 时 的 化 变 生 发 色 角 需 供 房子 的 在 现 说 人 多 很 。 格 价 响 影 会 说有 能 只 。 高 才 格 价 , 了 少 减 量 应 供 由供 全 完 是 不 并 但 , 理 道 的 分 部 一 。 价 房 的 在 现 了 定 决 量 应 设法 开 面 全 1、 根据 。 懈 不 抓 常 传 宣 制 , 市 早 律 的组 中 集 较 比 员 人 场 市 菜 镇 乡 晨 早 员 人 门 部 关 相 织 镇利 和 三 年 去 , 况 状 ,以 律 法 设 开 场 市 菜 在 晨 早 用 式宣 形 等 料 资 传 宣 放 发 、 询 咨 律 法 。 识 知 律 法 传 一年 间 之 眼 转 作在 工 的 来 一 顾 回 , 去 过 要 将 又 指导 助 帮 私 无 的 们 事 同 和 导 领 际操 实 和 习 学 的 间 时 段 这 过 经 , 下 以x年 。 务 任 工 项 各 了 成 完 地 好 较 作 结 总 作 工 人 个 度 在报 本 是 下 顾 回 作 工 、 一 : 告 辛.克 艰 畏 ()不 作 工 职 本 好 做 力 全 , 难 困 服 学期 一 这 顾 回 ,我,感 得 与 去 失 , 雨 风 的 历 经 所 从 。 多 许 了 悟 会刚 学 中 稍有 在 现 到 懂 不 事 一 的 始 开 大的 很 了 得 觉 我 。 重 稳 熟 成 分 几 会工 生 学 校 入 是 些 ,这 步 进 形 无 从 后 之 作 公室 办 是 , 的 获 收 所 中 。 台 平 展 发 个 一 样 这 我 了 给 **年 , 苒 荏 光 时 的一 首 回 , 了 去 过 要 就 快 很 梭, 如 间 时 千 万 慨 感 禁 不 心 内 , 年 坎回 之 度 年 个 一 过 跨 将 又 间 眼 转 但也 果 战 的 烈 轰 有 没 虽 , 望 首 磨砺 和 验 考 的 凡 平 不 段 一 了 历 经 算 。 :工 读 阅 展 拓 要(word形 式 格 、 一 写 么 怎 结 总 作 )求 式 结的 总 作 工 )、 (一 求 要 印 打 结要 总 作 工 1、 分不 部 何 任 的 中 文 正 , 印 打 A4纸 用 出 超 得 ,得 外 以 框 边 A4纸 左右 下 上 距 边 (页 。 短 截 或 长 接 意 随 2cm) 为 均 有页 应 页 每 2、 作1页 )工 中 居 , 端 底 的 面 (在 码 。 来 起 订 装 当 应 于 多 果 如 划 计 结的 总 作 工 )、 (二 则 细 式 格 :黑 题 标 大 1、 置1行 设 中 居 粗 加 号 二 小 , 体 定 固 为 距 , 后值 、 前 段 。 36磅 标题 级 一 第 2、 、1行 前 段 中 居 号 三 小 , 体 黑 : 36磅 值 定 固 为 距 , 后。 段 单独 均 题 标 有 所 3、 。 写 书 行 占 均为 : 文 正 4、 字0行 2个 进 缩 行 首 号 四 小 , 体 宋 固 为 ;距 后定 、 前 段 , 符 。 20磅 值 标点 字 汉 5、 标准 范 规 的 布 公 家 国 合 须 必 号 符 。 符号 点 标 : 如 符;。 点 标 “ 的 布 公 署 版 出 闻 新 照 按 应 ()… ” “ !?: ,,.!?:“ 、 用 使 法 号 () ” 结中 总 作 工 6、 求 要 式 格 下 以 照 按 应 , 表 图 有 如 (1)图 (如图 序 图 A、 下方 的 于 置 名 )及 -等 1、 。 号 五 宋 为 体 字 写 排 中 居 , 的话 要 需 有 B、 明字 说 附 加 下 之 的 名 图 在 可 , 。 号 五 小 宋 为 体 格 (2)表 随文 应 格 表 A、 宋体 为 体 字 表 后 见 先 , 出 给 。 号 五 (如表 序 表 B、 上方 的 于 置 名 图 )及 -等 1、 号 五 宋 为 体 字 写 排 中 居 , ; 分页 若 格 表 C、 方*” 上 右 在 并 写 复 重 应 头 表 , 。 表 续 “ 宋体 : 款 落 7、 0行20磅 为 距 后 、 前 段 号 四 小 , 如 齐 对 右 , 值: 定 固 为 距 行 ○ 二 “ 日” X月 年 九 三四 二 一 、 ○ “ 用 采 字 数 , 。 ” 十 九 八 七 六 五 、 内容 结 总 作 工 、 二 求 要 明扼 简 要 词 用 不能 准 须 必 句 造 , 确 明 体 具 、 要 容: 内 面 方 几 下 以 括 包 般 一 。 糊 含 题 )标 (一 标题 式 件 文 1、 容文 内 限 时 、 称 名 位 单 由 般 一 。 成 构 称 名 种 门 X部 《 : 例 总结 作 工 期 学 下 年 。 》 标题 式 行 双 2、 和 标 式 章 文 以 别 分 即

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