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2017学年高中数学第二章随机变量及其分布2.4正态分布课件新人教A版选修23_图文

2.4

正态分布

考 纲 定 位 1.了解正态曲线的特点. 2.了解正态曲线所表示的意义. 3.了解正态分布. 4.会根据正态曲线的性质求随机变 量在某一区间的概率.

重 难 突



重点:正态曲线的特点、正态曲线所表 示的意义,根据正态曲线的性质求随机 变量在某一区间的概率. 难点:正态曲线所表示的意义.

01 课前 自主梳理

02 课堂 合作探究

03 课后 巩固提升

课时作业

[自主梳理] 1.正态曲线及其性质 (1)正态曲线:函数 φμ,σ(x)=
1 e 2πσ
? ( x ? ? )2 2? 2

,x∈(-∞,+∞)(其中实数 μ 和 σ(σ>0)

为参数)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线. (2)正态曲线的特点 ①曲线位于 x 轴上方,与 x 轴不相交. ②曲线是单峰的,它关于直线 x=μ 对称.

1 ③曲线在 x=μ 处达到峰值 σ 2π .

④曲线与 x 轴之间的面积为 1. ⑤当 σ 一定时,曲线的位置由 μ 确定,曲线随着 μ 的变化而沿 x 轴平移. ⑥当 μ 一定时,曲线的形状由 σ 确定.σ 越大,曲线越“ 矮胖 ”,表示总体的分布 越 分散 ;σ 越小,曲线越“ 瘦高 ”,表示总体的分布越 集中 .

2.正态分布及正态变量在三个特殊区间内的概率 (1)正态分布: ①如果对于任何实数 a,b(a<b),随机变量 X 满足 P(a<X≤b)= 变量 X 服从正态分布. 2 ( μ , σ ). ②记作:X~N (2)正态变量在三个特殊区间内取值的概率: ①P(μ-σ<X≤μ+σ)= 0.682 6 ; ②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)= 0.954 4 ; ③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)= 0.997 4 . (3)3σ 原则 在实际应用中,通常认为服从于正态分布 N(μ,σ2)的随机变量 X 只取 (μ-3σ,μ+3σ) 之间的值,并简称之为 3σ 原则.
?b ? ? ?a

φμ,σ(x)dx

,则称随机

[双基自测] 1 1.设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数 f(x)的图象,且 f(x)= e 8π 这个正态总体的平均数与标准差分别是( A.10 与 8 C.8 与 10 ) B.10 与 2 D.2 与 10
? x ?10 ?2 ? 8

,则

解析:由 f(x)知,σ=2,μ=10.
答案:B

2.设随机变量 ξ~N(μ,σ2),且 P(ξ≤C)=P(ξ>C),则 C 等于( A.0 C.-μ B.σ D.μ

)

解析:由正态曲线的对称性及 P(ξ≤C)=P(ξ>C)知 C=μ.
答案:D

3.某次语文考试中考生的分数 X~N(90,100),则分数在 70~110 分的考生占总考生 数的百分比是( A.68.26% C.99.74% ) B.95.44% D.31.74%

解析:∵X~N(90,100). ∴μ=90,σ=10. ∴P(70<X<110)=P(90-20<X≤90+20)=0.954 4.

答案:B

探究一

正态曲线及其性质

[典例 1] 如图所示是一个正态曲线,试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数 的解析式,求出总体随机变量的均值和方差.

[解析] 从正态曲线可知,该正态曲线关于直线 x=20 对称,最大值为 所以 μ=20, 1 1 = , 2πσ 2 π ∴σ= 2. ?x-20?2 于是 φμ,σ(x)= · e- , 4 2 π 1 x∈(-∞,+∞),总体随机变量的期望是 μ=20, 方差是 σ2=( 2)2=2.

, 2 π

1

利用正态曲线的性质求参数 μ,σ: (1)正态曲线是单峰的,它关于直线 x=μ 对称,由此性质结合图象求 μ. 1 (2)正态曲线在 x=μ 处达到峰值 ,由此性质结合图象可求 σ. σ 2π

1 1.设随机变量 X 服从正态分布,且相应的函数为 φ(x)= e 6π A.μ=2,σ=3 C.μ=2,σ= 3
1 解析:由 φ(x)= e 2π× 3
?? x ?2 ?2 2 ? 3 ?2

x 2 ?4 x ? 4 ? 6

,则(

)

B.μ=3,σ=2 D.μ=3,σ= 3
,得 μ=2,σ= 3.故选 C.

答案:C

探究二 利用正态曲线的对称性求概率 [典例 2] 设 X~N(1,22),试求: (1)P(-1<X≤3); (2)P(3<X≤5); (3)P(X>5).
[解析] 因为 X~N(1,22),所以 μ=1,σ=2. (1)P(-1<X≤3)=P(1-2<X≤1+2) =P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6.

(2)因为 P(3<X≤5)=P(-3≤X<-1), 所以 P(3<X≤5) 1 = [P(-3<X≤5)-P(-1<X≤3)] 2 1 = [P(1-4<X≤1+4)-P(1-2<X≤1+2)] 2 1 = [P(μ-2σ<X≤μ+2σ)-P(μ-σ<X≤μ+σ)] 2 1 = (0.954 4-0.682 6)=0.135 9. 2 1 1 (3)P(X>5)=P(X≤-3)= [1-P(-3<X≤5)]= [1-P(1-4<X≤1+4)]=0.022 8. 2 2

求正态总体在某个区间内取值的概率的方法: (1)充分利用正态曲线的对称性及面积为 1 的性质求解. (2)正态曲线关于直线 x=μ 对称,从而在关于 x=μ 对称的区间上概率相等. (3)P(x<a)=1-P(x≥a);P(x<μ-a)=P(x>μ+a).

2.已知

? ?1? ? ? ? 2? X~N?0,? ?3? ?,数值落在(-∞,-1)∪(1,+∞)内的概率为( ? ? ? ?

)

A.0.097 C.0.03

B.0.046 D.0.002 6

1 解析:∵μ=0,σ= ,∴P(X<-1 或 X>1)=1-P(-1≤X≤1)=1-P(μ-3σ≤X≤μ 3 +3σ)=1-0.997 4=0.002 6.

答案:D

探究三

正态分布的实际应用
? 1? N?4, ?,在一次正常 9? ?

[典例 3] 工厂制造的某机械零件尺寸 X(单位:cm)服从正态分布

的试验中,取 1 000 个零件时,不属于区间(3,5)cm 这个尺寸范围的零件大约有多少个?

[解析]

? 1? 1 ∵X~N?4, ?,∴μ=4,σ= . 9? 3 ?

∴不属于区间(3,5)的概率为 P(X≤3)+P(X≥5)=1-P(3<X<5) =1-P(4-1<X<4+1) =1-P(μ-3σ<X<μ+3σ) =1-0.997 4=0.002 6, ∴1 000×0.002 6≈3(个), 即不属于区间(3,5) cm 这个尺寸范围的零件大约有 3 个.

求正态分布的实际应用问题的方法: 解决此类问题一定要灵活把握 3σ 原则,将所求概率向 P(μ- σ<X≤μ+ σ), P(μ- 2σ<X≤μ+2σ),P(μ-3σ<X≤μ+3σ)进行转化,然后利用特定值求出相应的概率.同 时要充分利用好曲线的对称性和曲线与 x 轴之间的面积为 1 这一特殊性质.

3.一次数学考试中,某班学生的分数 X~N(110,202),且知满分为 150 分,这个班共 有 54 人, 求这个班在这次数学考试中及格(不小于 90 分)的人数和 130 分以上的人数.

解析:∵X~N(110,202),∴μ=110,σ=20. ∵P(110-20<X≤110+20)=0.682 6,P(110-2×20<X≤110+2×20)=0.954 4, 1 ∴X>130 的概率为 (0.954 4-0.682 6)=0.135 9, 2 X≥90 的概率为 0.682 6+0.135 9=0.818 5, ∴及格的人数为 54×0.818 5≈44, 130 分以上的人数为 54×0.135 9≈7.

正态分布中的化归与转化思想 [典例] 已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,1),且 P(2≤X≤4)=0.682 6,则 P(X>4) =( ) B.0.158 7 D.0.158 5

A.0.158 8 C.0.158 6

[解析] 由于 X 服从正态分布 N(3,1),故正态分布曲线的对称轴为 x=3. 1-P?2≤X≤4? 1-0.682 6 所以 P(X>4)=P(X<2),故 P(X>4)= = =0.158 7. 2 2

[答案] B

[感悟提高] (1)化归与转化思想是中学数学思想中的重要思想之一, 在解决正态分布 的应用问题时,化归与转化思想起着不可忽视的作用. (2)本小题考查正态分布的有关知识, 求解时应根据 P(X>4)+P(X<2)+P(2≤X≤4)=1 将问题转化.

[随堂训练] 1.把一条正态曲线 a 沿着横轴方向向右移动 2 个单位,得到一条新的曲线 b,下列 说法中不正确的是( ) A.曲线 b 仍然是正态曲线 B.曲线 a 和曲线 b 的最高点的纵坐标相等 C.以曲线 b 为正态分布的总体的方差比以曲线 a 为正态分布的总体的方差大 2 D.以曲线 b 为正态分布的总体的均值比以曲线 a 为正态分布的总体的均值大 2

解析:正态曲线向右平移 2 个单位,σ 不发生变化,故 C 错误.
答案:C

2.设

? 1? ? X~N?-2, ? ,则 4? ? ?

X 落在(-3.5,-0.5)内的概率是( B.99.74% D.0.26%

)

A.95.44% C.4.56%

解析:由

? 1? 1 ? ? - 2 , X~N? 知,μ=-2,σ= ,则 4? 2 ? ?

P(-3.5<X≤-0.5)

? 1 1? ? =P?-2-3× <X≤-2+3× ? =0.997 2 2? ? ?

4.

答案:B

3.某厂生产的零件外直径 X~N(8.0,0.022 5),单位 mm,今从该厂上、下午生产的 零件中各随机取出一个,测得其外直径分别为 7.9 mm 和 7.5 mm,则可认为( A.上、下午生产情况均为正常 B.上、下午生产情况均为异常 C.上午生产情况正常,下午生产情况异常 D.上午生产情况异常,下午生产情况正常
解析:根据 3σ 原则,在(8-3×0.15,8+3×0.15]即(7.55,8.45]之外时为异常.结合已 知可知上午生产情况正常,下午生产情况异常.

)

答案:C

4.设随机变量 X~N(1,2 ),则

2

?1 ? ? X D? ?2 ?等于________. ? ?

解析:因为 X~N(1,22),所以 D(X)=4, 所以
?1 ? 1 1 ? ? D? X?= D(X)= ×4=1. 4 ?2 ? 4

答案:1


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