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第12章 圆锥曲线(知识点+练习)


第 12 章 圆锥曲线
12.1 曲线和方程
思考问题: 1.两坐标轴所成的角位于第一、三象限的角平分线的方程是( (A)x - y = 0 (B)x2 - y2 = 0 (C) x ? y = 0 )

2.抛物线 y = x2,其图象如下:

【知识精要】 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如 下的关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (纯粹性) (2)以这个方程的解为坐标的点都是这个曲线 上的点。 (完备性) 那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线。 定义的分析与理解: 1、前提:一条曲线 C 和一个二元方程 f(x,y)=0。 2、两个并列条件: 条件(1)说明曲线 C 上不存在坐标不满足方程的解;条件 (2)说明坐标适合方程的点都在曲线上。 3、方程的曲线和曲线的方程是两个等价的结论,只有两个条件都成立,它们才同时成立, 两个条件缺一不可。 4、从集合的角度理解:集合 A 是曲线 C 上所有点的集合,集合 B 是以方程 f(x,y)=0 的解为 坐标的点的集合,条件(1)说明了 A 包含于 B,条件(2)说明了 B 包含于 A,从而 A=B。

【精解名题】 例 1、 (1)到两坐标轴距离相等的点组成的直线的方程是 x-y=0 吗?为什么? (2)过点 P(0,1)且与 x 轴平行的直线是否为方程|y|=1 所表示的曲线?

解: (1)不是,满足完备性,不满足纯粹性。 (2)不是,满足纯粹性,不满足完备性。 分析:一般地,在直角坐标系中,如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建 立了如下的关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (纯粹性) (2)以这个方程的解为坐标的点都是这个曲线 上的点。 (完备性) 那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线。

例 2、证明圆心为坐标原点,半径为 5 的圆的方程是 x2+y2=25?

例 3、已知方程:x2+(y-1)2=10 (1)判断点 P(1,-2),Q(2,3) 是否在此方程表示的曲线上; (2)若点 M(m/2,m)在此方程表示的曲线上,求 m。 解: (1)∵ 12+(-2-1)2=10 (2)∵ (m/2) +(-m-1)2=10 ∴ m=2 或 m= -18/5
2

22+(3-1)2=8 ≠ 10

∴ 点 P 在曲线上,点 Q 不在曲线上.

结论:若曲线 C 的方程为 f(x , y)=0,则点 P(x0 , y0)在曲线 C 上的充要条件是: f(x0 , y0)=0 【热身练习】 1、如果曲线 C 上的点的坐标(x, y )都是方程 f(x,y)=0 的解,那么 ( A、以方程 f(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上 B、以方程 f(x,y)=0 的解为坐标的点, 有些不在曲线 C 上 C、不在曲线 C 上的点的坐标都不是方程 f(x,y)=0 的解 D、坐标不满足 f(x,y)=0 的点不在曲线 C 上 2、等腰三角形三个顶点的坐标是 A(0,3) ,B(2,0) ,C(-2,0) ,中线 AO(O 为原点) 的方程是 x=0 吗?为什么? )

3、指出方程 x2(x2+y2-1)=y2 (x2+y2-1)所表示的曲线 C,若点 M(m , 2), N(3/2 , n) 在曲线 C 上, 求 m, n 的值。

课后小结: 1、曲线的方程和方程的曲线的定义; 2、证明给定方程是否为已知曲线方程的方法; 3、判断点是否在曲线上的方法


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