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小学数学奥数方法讲义40讲(一) (1)


第一讲

观察法

————————————————姚老师数学乐园 广安岳池 姚文国

在解答数学题时,第一步是观察。观察是基础,是发现问题、解决问题的首要步骤。小学数学教材, 特别重视培养观察力,把培养观察力作为开发与培养学生智力的第一步。 观察法,是通过观察题目中数字的变化规律及位置特点,条件与结论之间的关系,题目的结构特点及 图形的特征,从而发现题目中的数量关系,把题目解答出来的一种解题方法。 观察要有次序,要看得仔细、看得真切,在观察中要动脑,要想出道理、找出规律。 *例 1(适于一年级程度)此题是九年义务教育六年制小学教科书数学

第二册,第 11 页中的一道思考题。书中除图 1-1 的图形外没有文字说明。这道题旨在引导儿童观察、 思考,初步培养他们的观察能力。这时儿童已经学过 20 以内的加减法,基于他们已有的知识,能够 判断本题的意思是: 在右边大正方形内的小方格中填入数字后, 使大正方形中的每一横行, 每一竖列, 以及两条对角线上三个数字的和,都等于左边小正方形中的数字 18。实质上,这是一种幻方,或者 说是一种方阵。 解:现在通过观察、思考,看小方格中应填入什么数字。从横中行 10+6+□=18 会想到,18-10-6=2, 在横中行右面的小方格中应填入 2(图 1-2)。 从竖右列 7+2+□=18(图 1-2)会想到,18-7-2=9,在竖右列下面的小方格中应填入 9(图 1-3)。

从正方形对角线上的 9+6+□=18(图 1-3)会想到,18-9-6=3,在大正方形左上角的小方格中应填入 3(图 1-4)。 从正方形对角线上的 7+6+□=18(图 1-3)会想到,18-7-6=5,在大正方形左下角的小方格中应填入 5(图 1-4)。

从横上行 3+□+7=18(图 1-4)会想到,18-3-7=8,在横上行中间的小方格中应填入 8(图 1-5)。 又从横下行 5+□+9=18(图 1-4)会想到,18-5-9=4,在横下行中间的小方格中应填入 4(图 1-5)。 图 1-5 是填完数字后的幻方。 例 2 看每一行的前三个数,想一想接下去应该填什么数。(适于二年级程度) 6、16、26、____、____、____、____。 9、18、27、____、____、____、____。 80、73、66、____、____、____、____。 解:观察 6、16、26 这三个数可发现,6、16、26 的排列规律是:16 比 6 大 10,26 比 16 大 10,即 后面的每一个数都比它前面的那个数大 10。 观察 9、18、27 这三个数可发现,9、18、27 的排列规律是:18 比 9 大 9,27 比 18 大 9,即后面的 每一个数都比它前面的那个数大 9。 观察 80、73、66 这三个数可发现,80、73、66 的排列规律是:73 比 80 小 7,66 比 73 小 7,即后面 的每一个数都比它前面的那个数小 7。 这样可得到本题的答案是: 6、16、26、36、46、56、66。 9、18、27、36、45、54、63。 80、73、66、59、52、45、38。 例 3 将 1~9 这九个数字填入图 1-6 的方框中,使图中所有的不等号均成立。(适于三年级程度)

解:仔细观察图中不等号及方框的排列规律可发现:只有中心的那个方框中的数小于周围的四个数, 看来在中心的方框中应填入最小的数 1。再看它周围的方框和不等号,只有左下角的那个方框中的数 大于相邻的两个方框中的数,其它方框中的数都是一个比一个大,而且方框中的数是按顺时针方向排 列越来越小。 所以,在左下角的那个方框中应填 9,在它右邻的方框中应填 2,在 2 右面的方框中填 3,在 3 上面 的方框中填 4,以后依次填 5、6、7、8。 图 1-7 是填完数字的图形。

例 4 从一个长方形上剪去一个角后,它还剩下几个角?(适于三年级程度) 解:此题不少学生不加思考就回答:“一个长方形有四个角,剪去一个角剩下三个角。” 我们认真观察一下,从一个长方形的纸上剪去一个角,都怎么剪?都是什么情况? (1)从一个角的顶点向对角的顶点剪去一个角,剩下三个角(图 1-8)。 (2)从一个角的顶点向对边上任意一点剪去一个角,剩下四个角(图 1-9)。 (3)从一个边上任意一点向邻边上任意一点剪去一个角,

剩下五个角(图 1-10)。 例 5 甲、乙两个人面对面地坐着,两个人中间放着一个三位数。这个三位数的每个数字都相同,并 且两人中一个人看到的这个数比另一个人看到的这个数大一半,这个数是多少?(适于三年级程度) 解:首先要确定这个三位数一定是用阿拉伯数字表示的,不然就没法考虑了。

甲看到的数与乙看到的数不同,这就是说,这个三位数正看、倒看都表示数。在阿拉伯数字中,只有 0、1、6、8、9 这五个数字正看、倒看都表示数。 这个三位数在正看、倒看时,表示的数值不同,显然这个三位数不能是 000,也不能是 111 和 888, 只可能是 666 或 999。 如果这个数是 666,当其中一个人看到的是 666 时,另一个人看到的一定是 999,999-666=333,333 正好是 666 的一半。所以这个数是 666,也可以是 999。 *例 6 1966、1976、1986、1996、2006 这五个数的总和是多少?(适于三年级程度) 解:这道题可以有多种解法,把五个数直接相加,虽然可以求出正确答案,但因数字大,计算起来容 易出错。 如果仔细观察这五个数可发现,第一个数是 1966,第二个数比它大 10,第三个数比它大 20,第四个 数比它大 30,第五个数比它大 40。因此,这道题可以用下面的方法计算: 1966+1976+1986+1996+2006 =1966×5+10×(1+2+3+4) =9830+100 =9930 这五个数还有另一个特点: 中间的数是 1986, 第一个数 1966 比中间的数 1986 小 20, 最后一个数 2006 比中间的数 1986 大 20,1966 和 2006 这两个数的平均数是 1986。1976 和 1996 的平均数也是 1986。 这样,中间的数 1986 是这五个数的平均数。所以,这道题还可以用下面的方法计算: 1966+1976+1986+1996+2006 =1986×5 =9930 例 7 你能从 400÷25=(400×4)÷(25×4)=400×4÷100=16 中得到启发,很快算出(1)600÷25 (2)900÷25(3)1400÷25(4)1800÷25(5)7250÷25 的得数吗?(适于四年级程度) 解:我们仔细观察一下算式: 400÷25=(400×4)÷(25×4)=400×4÷100=16 不难看出,原来的被除数和除数都乘以 4,目的是将除数变成 1 后面带有 0 的整百数。这样做的根据 是“被除数和除数都乘以一个相同的数(零除外),商不变”。

进行这种变化的好处就是当除数变成了 1 后面带有 0 的整百数以后,就可以很快求出商。按照这个规 律,可迅速算出下列除法的商。 (1)600÷25 =(600×4)÷(25×4) =600×4÷100 =24 (3)1400÷25 =(1400×4)÷(25×4) =1400×4÷100 =56 (5)7250÷25 =(7250×4)÷(25×4) =29000÷100 =290 *例 8 把 1~1000 的数字如图 1-11 那样排列,再如图中那样用一个长方形框框出六个数,这六个数 的和是 87。如果用同样的方法(横着三个数,竖着两个数)框出的六个数的和是 837,这六个数都是 多少?(适于五年级程度) 解:(1)观察框内的六个数可知:第二个数比第一个数大 1,第三个数比第一个数大 2,第四个数比 第一个数大 7,第五个数比第一个数大 8,第六个数比第一个数大 9。 假定不知道这几个数,而知道上面观察的结果,以及框内六个数的和是 87,要求出这几个数,就要 先求出六个数中的第一个数: (2)900÷25 =(900×4)÷(25×4) =900×4÷100 =36 (4)1800÷25 =(1800×4)÷(25×4) =1800×4÷100 =72

(87-1-2-7-8-9)÷6

=60÷6 =10 求出第一个数是 10,往下的各数也就不难求了。 因为用同样的方法框出的六个数之和是 837, 这六个数之中后面的五个数也一定分别比第一个数大 1、 2、7、8、9,所以,这六个数中的第一个数是: (837-1-2-7-8-9)÷6 =810÷6 =135 第二个数是:135+1=136 第三个数是:135+2=137 第四个数是:135+7=142 第五个数是:135+8=143 第六个数是:135+9=144 答略。 (2)观察框内的六个数可知:①上、下两数之差都是 7;②方框中间坚行的 11 和 18,分别是上横行 与下横行三个数的中间数。 11=(10+11+12)÷3 18=(17+18+19)÷3 所以上横行与下横行两个中间数的和是: 87÷3=29 由此可得,和是 837 的六个数中,横向排列的上、下两行两个中间数的和是: 837÷3=279 因为上、下两个数之差是 7,所以假定上面的数是 x,则下面的数是 x+7。 x+(x+7)=279

2x+7=279 2x=279-7 =272 x=272÷2 =136 x+7=136+7 =143 因为上一横行中间的数是 136,所以,第一个数是:136-1=135 第三个数是:135+2=137 因为下一横行中间的数是 143,所以, 第四个数是:143-1=142 第六个数是:142+2=144 答略。 *例 9 有一个长方体木块,锯去一个顶点后还有几个顶点?(适于五年级程度) 解:(1)锯去一个顶点(图 1-12),因为正方体原来有 8 个顶点,锯去一个顶点后,增加了三个顶 点,所以, 8-1+3=10 即锯去一个顶点后还有 10 个顶点。

(2)如果锯开的截面通过长方体的一个顶点,则剩下的顶点是 8-1+2=9(个)(图 1-13)。 (3)如果锯开的截面通过长方体的两个顶点,则剩下的顶点是 8-1+1=8(个)(图 1-14)。

(4)如果锯开的截面通过长方体的三个顶点,则剩下的顶点是 8-1=7(个)(图 1-15)。 例 10 将高都是 1 米,底面半径分别是 1.5 米、1 米和 0.5 米的三个圆柱组成一个物体(图 1-16), 求这个物体的表面积 S。(适于六年级程度) 解:我们知道,底面半径为 γ ,高为 h 的圆柱体的表面积是 2π γ +2π γ h。
2

本题的物体由三个圆柱组成。如果分别求出三个圆柱的表面积,再把三个圆柱的表面积加在一起,然 后减去重叠部分的面积,才能得到这个物体的表面积,这种计算方法很麻烦。这是以一般的观察方法 去解题。 如果我们改变观察的方法,从这个物体的正上方向下俯视这个物体,会看到这个物体上面的面积就像 图 1-17 那样。这三个圆的面积,就是底面半径是 1.5 米的那个圆柱的底面积。所以,这个物体的表 面积,就等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。 (2π ×1.5 +2π ×1.5×1)+(2π ×1×1)+(2π ×0.5×1)
2

=(4.5π +3π )+2π +π =7.5π +3π =10.5π =10.5×3.14 =32.97(平方米) 答略。 *例 11 如图 1-18 所示,某铸件的横截面是扇形,半径是 15 厘米,圆心角是 72°,铸件长 20 厘米。 求它的表面积和体积。(适于六年级程度)

解:遇到这样的题目,不但要注意计算的技巧,还要注意观察的全面性,不可漏掉某一侧面。图 1-18 表面积中的一个长方形和一个扇形就容易被漏掉,因而在解题时要仔细。 求表面积的方法 1:

=3.14×45×2+600+120×3.14 =3.14×90+3.14×120+600 =3.14×(90+120)+600 =659.4+600 =1259.4(平方厘米) 求表面积的方法 2:

=3.14×210+600 =659.4+600 =1259.4(平方厘米) 铸件的体积:

=3.14×225×4 =3.14×900 =2826(立方厘米) 答略。

第二讲

尝试法

解应用题时,按照自己认为可能的想法,通过尝试,探索规律,从而获得解题方法,叫做尝试法。尝 试法也叫“尝试探索法”。 一般来说,在尝试时可以提出假设、猜想,无论是假设或猜想,都要目的明确,尽可能恰当、合理, 都要知道在假设、猜想和尝试过程中得到的结果是什么,从而减少尝试的次数,提高解题的效率。 例 1 把数字 3、4、6、7 填在图 2-1 的空格里,使图中横行、坚列三个数相加都等于 14。(适于一年 级程度)

解:七八岁的儿童,观察、总结、发现规律的能力薄弱,做这种填空练习,一般都感到困难。可先启 发他们认识解此题的关键在于试填中间的一格。中间一格的数确定后,下面一格的数便可由竖列三个 数之和等于 14 来确定,剩下的两个数自然应填入左右两格了。 中间一格应填什么数呢?

先看一个日常生活中的例子。如果我们要从一种月刊全年的合订本中找到第六期的第 23 页,我们一 定要从合订本大约一半的地方打开。要是翻到第五期,就要再往后翻;要是翻到第七期、第八期,就 要往前翻。找到第六期后,再往接近第 23 页的地方翻,?? 这样反复试探几次,步步逼近,最后就能找到这一页。 这就是在用“尝试法”解决问题。 本题的试数范围是 3、4、6、7 四个数,可由小至大,或由大至小依次填在中间的格中,按“横行、 竖列三个数相加都得 14”的要求来逐个尝试。

如果中间的格中填 3,则竖列下面的一格应填多少呢?因为 14-5-3=6,所以竖列下面的一格中应填 6 (图 2-2)。 下面就要把剩下的 4、7,分别填入横行左右的两个格中(图 2-3)。把横行格中的 4、3、7 三个数加 起来,得 14,合乎题目要求。 如果中间一格填 4、或填 6、7 都不合乎题目的要求。 所以本题的答案是图 2-3 或图 2-4。 例 2 把 1、2、3??11 各数填在图 2-5 的方格里,使每一横行、每一竖行的数相加都等于 18。(教 科书第四册第 57 页的思考题,适于二年级程度)

解:图 2-5 中有 11 个格,正好每一格填写一个数。 图 2-6 中写有 A、B、C 的三个格中的三个数,既要参加横向的运算,又要参加纵向的运算,就是说这 三个数都要被用两次。因此,确定 A、B、C 这三个数是解此题的关键。

因为 1~11 之中中间的三个数是 5、6、7,所以,我们以 A、B、C 分别为 5、 6、7 开始尝试(图 2-7)。 以 6 为中心尝试,看 6 上、下两个格中应填什么数。 因为 18-6=12,所以 6 上、下两格中数字的和应是 12。 考虑 6 已是 1~11 之中中间的数,那么 6 上、下两格中的数应是 1~11 之中两头的数。再考虑 6 上面 的数还要与 5 相加,6 下面的数还要与 7 相加,5 比 7 小,题中要求是三个数相加都等于 18,所以在 6 上面的格中填 11,在 6 下面的格中填 1(图 2-8)。

6+11+1=18 看图 2-8。6 上面的数是 11,11 左邻的数是 5,18-11-5=2,所以 5 左邻的数是 2(图 2-9)。 再看图 2-8。6 下面的数是 1,1 右邻的数是 7,18-1-7=10,所以 7 右邻的数是 10(图 2-9)。 现在 1~11 之中只剩下 3、4、8、9 这四个数,图 2-9 中也只剩下四个空格。在 5 的上、下,在 7 的 上、下都应填什么数呢?

因为 18-5=13,所以 5 上、下两格中数字的和应是 13,3、4、8、9 这四个数中,只有 4+9=13,所以 在 5 的上、下两格中应填 9 与 4(图 2-10)。 看图 2-10。因为 6 左邻的数是 4,18-4-6=8,所以 6 右邻的数是 8。

因为 18-7-8=3,并且 1-11 的数中,只剩下 3 没有填上,所以在 7 下面的格中应填上 3。 图 2-10 是填完数字的图形。 *例 3 在 9 只规格相同的手镯中混有 1 只较重的假手镯。 在一架没有砝码的天平上, 最多只能称两次, 你能把假手镯找出来吗?(适于三年级程度) 解:先把 9 只手镯分成 A、B、C 三组,每组 3 只。 ①把 A、B 两组放在天平左右两边的秤盘上,如果平衡,则假的 1 只在 C 组里;若不平衡,则哪组较 重,假的就在哪组里。 ②再把有假手镯的那组中的两只分别放在天平的左右秤盘上。如果平衡,余下的 1 只是假的;若不平 衡,较重的那只是假的。 *例 4 在下面的 15 个 8 之间的任何位置上,添上+、-、×、÷符号,使得下面的算式成立。(适于 三年级程度)8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8=1986 解:先找一个接近 1986 的数,如:8888÷8+888=1999。 1999 比 1986 大 13。往下要用剩下的 7 个 8 经过怎样的运算得出一个等于 13 的算式呢?88÷8=11, 11 与 13 接近,只差 2。 往下就要看用剩下的 4 个 8 经过怎样的运算等于 2。8÷8+8÷8=2。 把上面的思路组合在一起,得到下面的算式: 8888÷8+888-88÷8-8÷8-8÷8=1986 例 5 三个连续自然数的积是 120,求这三个数。(适于四年级程度) 解:假设这三个数是 2、3、4,则: 2×3×4=24 24<120,这三个数不是 2、3、4; 假设这三个数是 3、4、5,则: 3×4×5=60 60<120,这三个数不是 3、4、5; 假设这三个数是 4、5、6,则: 4×5×6=120

4、5、6 的积正好是 120,这三个数是 4、5、6。例 6 在下面式子里的适当位置上加上括号,使它们 的得数分别是 47、75、23、35。(适于四年级程度) (1)7×9+12÷3-2=47 (2)7×9+12÷3-2=75 (3)7×9+12÷3-2=23 (4)7×9+12÷3-2=35 解:本题按原式的计算顺序是先做第二级运算,再做第一级运算,即先做乘除法而后做加减法,结果 是: 7×9+12÷3-2 =63+4-2 =65 “加上括号”的目的在于改变原来的计算顺序。由于此题加中括号还是加小括号均未限制,因此解本 题的关键在于加写括号的位置。可以从加写一个小括号想起,然后再考虑加写中括号。如: (1)7×7=49,再减 2 就是 47。这里的第一个数 7 是原算式中的 7,要减去的 2 是原算式等号前的数, 所以下面应考虑能否把 9+12÷3 通过加括号后改成得 7 的算式。经过加括号,(9+12)÷3=7,因此: 7×[(9+12)÷3]-2=47 因为一个数乘以两个数的商,可以用这个数乘以被除数再除以除数,所以本题也可以写成: 7×(9+12)÷3-2=47 (2)7×11=77,再减 2 就得 75。这里的 7 是原算式中的第一个数,要减去的 2 是等号前面的数。下 面要看 9+12÷3 能不能改写成得 11 的算式。经尝试 9+12÷3 不能改写成得 11 的算式,所以不能沿用 上一道题的解法。7×9+12 得 75,这里的 7、9、12 就是原式中的前三个数,所以只要把 3-2 用小括 号括起来,使 7×9+12 之和除以 1,问题就可解决。由此得到: (7×9+12)÷(3-2)=75 因为(3-2)的差是 1,所以根据“两个数的和除以一个数,可以先把两个加数分别除以这个数,然 后把两个商相加”这一运算规则,上面的算式又可以写成: 7×9+12÷(3-2)=75 在上面的这个算式中,本应在 7×9 的后面写上“÷(3-2)”,因为任何数除以 1 等于这个数本身, 为了适应题目的要求,不在 7×9 的后写出“÷(3-2)”。

(3)25-2=23,这个算式中,只有 2 是原算式等号前的数,只要把 7×9+12÷3 改写成得 25 的算式, 问题就可解决。又因为 7×9+12=75,75÷3=25,所以只要把 7×9+12 用小括号括起来,就得到题中 所求了。 (7×9+12)÷3-2=23 (4)7×5=35, 7 是原算式中的第一个数,原算式中的 9+12÷3-2 能否改写成得 5 的算式呢?因为 7-2=5,要是 9+12÷3 能改写成得 7 的算式就好了。经改写为(9+12)÷3=7,因此问题得到解决。题 中要求的算式是: 7×[(9+12)÷3-2]=35 *例 7 王明和李平一起剪羊毛,王明剪的天数比李平少。王明每天剪 20 只羊的羊毛,李平每天剪 12 只羊的羊毛。他俩共剪了 112 只羊的羊毛,两人平均每天剪 14 只羊的羊毛。李平剪了几天羊毛?(适 于四年级程度) 解:王明、李平合在一起,按平均每天剪 14 只羊的羊毛计算,一共剪的天数是: 112÷14=8(天) 因为王明每天剪 20 只,李平每天剪 12 只,一共剪了 112 只,两人合起来共剪了 8 天,并且李平剪的 天数多,所以假定李平剪了 5 天。则: 12×5+20×(8-5)=120(只) 120>112,李平不是剪了 5 天,而是剪的天数多于 5 天。 假定李平剪了 6 天,则: 12×6+20×(8-6)=112(只) 所以按李平剪 6 天计算,正满足题中条件。 答:李平剪了 6 天。 *例 8 一名学生读一本书,用一天读 80 页的速度,需要 5 天读完,用一天读 90 页的速度,需要 4 天 读完。现在要使每天读的页数跟能读完这本书的天数相等,每天应该读多少页?(适于五年级程度) 解: 解这道题的关键是要求出一本书的总页数。 因为每天读的页数乘以读的天数等于一本书的总页数, 又因为每天读的页数与读完此书的天数相等,所以知道了总页数就可以解题了。 根据“用一天读 80 页的速度,需要 5 天读完”,是否能够认为总页数就是 80×5=400(页)呢?不 能。 因为 5 天不一定每天都读 80 页,所以只能理解为:每天读 80 页,读了 4 天还有余下的,留到第五天 才读完。这也就是说,这本书超过了 80×4=320(页),最多不会超过:

90×4=360(页) 根据以上分析,可知这本书的页数在 321~360 页之间。知道总页数在这个范围之内,往下就不难想 到什么数自身相乘,积在 321~360 之间。 因为 17×17=289,18×18=324,19×19=361,324 在 321~360 之间,所以只有每天读 18 页才符合题 意,18 天看完,全书 324 页。 答:每天应该读 18 页。 *例 9 一个数是 5 个 2,3 个 3,2 个 5,1 个 7 的连乘积。这个数有许多约数是两位数。这些两位数 的约数中,最大的是几?(适于六年级程度) 解:两位数按从大到小的顺序排列为: 99、98、97、96??11、10 以上两位数分解后,它的质因数只能是 2、3、5、7,并且在它的质因数分解中 2 的个数不超过 5,3 的个数不超过 3,5 的个数不超过 2,7 的个数不超过 1。 经尝试,99 不符合要求,因为它有质因数 11;98 的分解式中有两个 7,也不符合要求;质数 97 当然 更不会符合要求。而, 96=2×2×2×2×2×3 所以在这些两位数的约数中,最大的是 96。 答略。 *例 10 从一个油罐里要称出 6 千克油来,但现在只有两个桶,一个能容 4 千克,另一个能容 9 千克。 求怎样才能称出这 6 千克油?(适于六年级程度) 解:这道题单靠计算不行,我们尝试一些做法,看能不能把问题解决。 已知大桶可装 9 千克油,要称出 6 千克油,先把能容 9 千克油的桶倒满,再设法倒出 9 千克油中的 3 千克,为达到这一目的,我们应使小桶中正好有 1 千克油。 怎样才能使小桶里装 1 千克油呢? (1)把能容 9 千克油的大桶倒满油。 (2)把大桶里的油往小桶里倒,倒满小桶,则大桶里剩 5 千克油,小桶里有 4 千克油。 (3)把小桶中的 4 千克油倒回油罐。 (4)把大桶中剩下的油再往小桶里倒,倒满小桶,则大桶里剩下 1 千克油。

(5)把小桶中现存的 4 千克油倒回油罐。此时油罐外,只有大桶里有 1 千克油。 (6)把大桶中的 1 千克油倒入小桶。 (7)往大桶倒满油。 (8)从大桶里往有 1 千克油的小桶里倒油,倒满。 (9)大桶里剩下 6 千克油。

第三讲

列举法

解应用题时,为了解题的方便,把问题分为不重复、不遗漏的有限情况,一一列举出来加以分析、解 决,最终达到解决整个问题的目的。这种分析、解决问题的方法叫做列举法。列举法也叫枚举法或穷 举法。 用列举法解应用题时,往往把题中的条件以列表的形式排列起来,有时也要画图。 例 1 一本书共 100 页,在排页码时要用多少个数字是 6 的铅字?(适于三年级程度) 解:把个位是 6 和十位是 6 的数一个一个地列举出来,数一数。 个位是 6 的数字有:6、16、26、36、46、56、66、76、86、96,共 10 个。 十位是 6 的数字有:60、61、62、63、64、65、66、67、68、69,共 10 个。 10+10=20(个) 答:在排页码时要用 20 个数字是 6 的铅字。 *例 2 从 A 市到 B 市有 3 条路,从 B 市到 C 市有两条路。从 A 市经过 B 市到 C 市有几种走法?(适于 三年级程度) 解:作图 3-1,然后把每一种走法一一列举出来。

第一种走法:A ① B ④ C 第二种走法:A ① B ⑤ C 第三种走法:A ② B ④ C

第四种走法:A ② B ⑤ C 第五种走法:A ③ B ④ C 第六种走法:A ③ B ⑤ C 答:从 A 市经过 B 市到 C 市共有 6 种走法。*例 3 9○13○7=100 14○2○5=□ 把+、-、×、÷四种运算符号分别填在适当的圆圈中(每种运算符号只能用一次),并在长方形中填 上适当的整数,使上面的两个等式都成立。这时长方形中的数是几?(适于四年级程度) 解:把+、-、×、÷四种运算符号填在四个圆圈里,有许多不同的填法,要是逐一讨论怎样填会特别 麻烦。如果用些简单的推理,排除不可能的填法,就能使问题得到简捷的解答。 先看第一个式子:9○13○7=100 如果在两个圆圈内填上“÷”号,等式右端就要出现小于 100 的分数;如果在两个圆圈内仅填“+”、 “-”号, 等式右端得出的数也小于 100, 所以在两个圆圈内不能同时填“÷”号, 也不能同时填“+”、 “-”号。 要是在等式的一个圆圈中填入“×”号,另一个圆圈中填入适当的符号就容易使等式右端得出 100。 9×13-7=117-7=110,未凑出 100。如果在两个圈中分别填入“+”和“×”号,就会凑出 100 了。 9+13×7=100 再看第二个式子:14○2○5=□ 上面已经用过四个运算符号中的两个, 只剩下“÷”号和“-”号了。 如果在第一个圆圈内填上“÷” 号, 14÷2 得到整数,所以: 14÷2-5=2 即长方形中的数是 2。 *例 4 印刷工人在排印一本书的页码时共用 1890 个数码,这本书有多少页?(适于四年级程度)

解:(1)数码一共有 10 个:0、1、2??8、9。0 不能用于表示页码,所以页码是一位数的页有 9 页,用数码 9 个。 (2)页码是两位数的从第 10 页到第 99 页。因为 99-9=90,所以,页码是两位数的页有 90 页,用数 码: 2×90=180(个)

(3)还剩下的数码: 1890-9-180=1701(个) (4)因为页码是三位数的页,每页用 3 个数码,100 页到 999 页,999-99=900,而剩下的 1701 个数 码除以 3 时,商不足 600,即商小于 900。所以页码最高是 3 位数,不必考虑是 4 位数了。往下要看 1701 个数码可以排多少页。 1701÷3=567(页) (5)这本书的页数: 9+90+567=666(页) 答略。 *例 5 用一根 80 厘米长的铁丝围成一个长方形,长和宽都要是 5 的倍数。哪一种方法围成的长方形 面积最大?(适于四年级程度) 解:要知道哪种方法所围成的面积最大,应将符合条件的围法一一列举出来,然后加以比较。因为长 方形的周长是 80 厘米,所以长与宽的和是 40 厘米。列表 3-1: 表 3-1

表 3-1 中,长、宽的数字都是 5 的倍数。因为题目要求的是哪一种围法的长方形面积最大,第四种围 法围出的是正方形,所以第四种围法应舍去。 前三种围法的长方形面积 分别是: 35×5=175(平方厘米) 30×10=300(平方厘米) 25×15=375(平方厘米) 答:当长方形的长是 25 厘米,宽是 15 厘米时,长方形的面积最大。

例 6 如图 3-2,有三张卡片,每一张上写有一个数字 1、2、3,从中抽出一张、两张、三张,按任意 次序排列起来,可以得到不同的一位数、两位数、三位数。请将其中的质数都写出来。(适于五年级 程度)

解:任意抽一张,可得到三个一位数:1、2、3,其中 2 和 3 是质数; 任意抽两张排列,一共可得到六个不同的两位数:12、13、21、23、31、32,其中 13、23 和 31 是 质数; 三张卡片可排列成六个不同的三位数,但每个三位数数码的和都是 1+2+3=6,即它们都是 3 的倍数, 所以都不是质数。 综上所说,所能得到的质数是 2、3、13、23、31,共五个。 *例 7 在一条笔直的公路上,每隔 10 千米建有一个粮站。一号粮站存有 10 吨粮食,2 号粮站存有 20 吨粮食,3 号粮站存有 30 吨粮食,4 号粮站是空的,5 号粮站存有 40 吨粮食。现在要把全部粮食集 中放在一个粮站里, 如果每吨 1 千米的运费是 0.5 元, 那么粮食集中到第几号粮站所用的运费最少 (图 3-3)?(适于五年级程度)

解:看图 3-3,可以断定粮食不能集中在 1 号和 2 号粮站。 下面将运到 3 号、4 号、5 号粮站时所用的运费一一列举,并比较。 (1)如果运到 3 号粮站,所用运费是: 0.5×10×(10+10)+0.5×20×10+0.5×40×(10+10) =100+100+400 =600(元) (2)如果运到 4 号粮站,所用运费是: 0.5×10×(10+10+10)+0.5×20×(10+10)+0.5×30×10+0.5×40×10 =150+200+150+200

=700(元) (3)如果运到 5 号粮站,所用费用是: 0.5×10×(10+10+10+10)+0.5×20×(10+10+10)+0.5×30×(10+10) =200+300+300 =800(元) 800>700>600 答:集中到第三号粮站所用运费最少。 *例 8 小明有 10 个 1 分硬币,5 个 2 分硬币,2 个 5 分硬币。要拿出 1 角钱买 1 支铅笔,问可以有几 种拿法?用算式表达出来。(适于五年级程度) 解:(1)只拿出一种硬币的方法: ①全拿 1 分的: 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=1(角) ②全拿 2 分的: 2+2+2+2+2=1(角) ③全拿 5 分的: 5+5=1(角) 只拿出一种硬币,有 3 种方法。 (2)只拿两种硬币的方法: ①拿 8 枚 1 分的,1 枚 2 分的: 1+1+1+1+1+1+1+1+2=1(角) ②拿 6 枚 1 分的,2 枚 2 分的: 1+1+1+1+1+1+2+2=1(角) ③拿 4 枚 1 分的,3 枚 2 分的: 1+1+1+1+2+2+2=1(角)

④拿 2 枚 1 分的,4 枚 2 分的: 1+1+2+2+2+2=1(角) ⑤拿 5 枚 1 分的,1 枚 5 分的: 1+1+1+1+1+5=1(角) 只拿出两种硬币,有 5 种方法。 (3)拿三种硬币的方法: ①拿 3 枚 1 分,1 枚 2 分,1 枚 5 分的: 1+1+1+2+5=1(角) ②拿 1 枚 1 分,2 枚 2 分,1 枚 5 分的: 1+2+2+5=1(角) 拿出三种硬币,有 2 种方法。 共有: 3+5+2=10(种) 答:共有 10 种拿法。 *例 9 甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋,每两人都要比赛一盘。到现在为止,甲赛了 4 盘,乙赛了 3 盘,丙赛了 2 盘,丁赛了 1 盘。问小强赛了几盘?(适于五年级程度) 解:作表 3-2。 表 3-2

甲已经赛了 4 盘,就是甲与乙、丙、丁、小强各赛了一盘,在甲与乙、丙、丁、小强相交的那些格里 都打上√;乙赛的盘数,就是除了与甲赛的那一盘,又与丙和小强各赛一盘,在乙与丙、小强相交的 那两个格中都打上√;丙赛了两盘,就是丙与甲、乙各赛一盘,打上√;丁与甲赛的那一盘也打上√。

丁未与乙、丙、小强赛过,在丁与乙、丙与小强相交的格中都画上圈。 根据条件分析,填完表格以后,可明显地看出,小强与甲、乙各赛一盘,未与丙、丁赛,共赛 2 盘。 答:小强赛了 2 盘。 *例 10 商店出售饼干,现存 10 箱 5 千克重的,4 箱 2 千克重的,8 箱 1 千克重的,一位顾客要买 9 千克饼干,为了便于携带要求不开箱。营业员有多少种发货方式?(适于五年级程度) 解:作表 3-3 列举发货方式。 表 3-3

答:不开箱有 7 种发货方式。 *例 11 运输队有 30 辆汽车, 1~30 的编号顺序横排停在院子里。 按 第一次陆续开走的全部是单号车, 以后几次都由余下的第一辆车开始隔一辆开走一辆。 到第几次时汽车全部开走?最后开走的是第几号 车?(适于五年级程度) 解:按题意画出表 3-4 列举各次哪些车开走。 表 3-4

从表 3-4 中看得出,第三次开走后剩下的是第 8 号、16 号、24 号车。按题意,第四次 8 号、24 号车 开走。到第五次时汽车全部开走,最后开走的是第 16 号车。 答:到第五次时汽车全部开走,最后开走的是第 16 号车。 *例 12 在甲、乙两个仓库存放大米,甲仓存 90 袋,乙仓存 50 袋,甲仓每次运出 12 袋,乙仓每次运 出 4 袋。运出几次后,两仓库剩下大米的袋数相等?(适于五年级程度) 解:根据题意列表 3-5。 表 3-5

从表 3-5 可以看出, 原来甲乙两仓库所存大米相差 40 袋; 第一次运走后, 两仓剩下的大米相差 78-46=32 (袋);第二次运走后,两仓剩下的大米相差 66-42=24(袋);第三次运走后,两仓剩下的大米相 差 54-38=16(袋);第四次运走后,两仓剩下的大米相差 42-34=8(袋);第五次运走后,两仓剩下 的大米袋数相等。 40-32=8 32-24=8 24-16=8 ?? 从这里可以看出,每运走一次,两仓库剩下大米袋数的相差数就减少 8 袋。由此可以看出,两仓库原 存大米袋数的差,除以每次运出的袋数差就得出运几次后两个仓库剩下大米的袋数相等。 (90-50)÷(12-4)=5(次) 答:运出 5 次后两个仓库剩下大米的袋数相等。 *例 13 有三组小朋友共 72 人,第一次从第一组里把与第二组同样多的人数并入第二组;第二次从第 二组里把与第三组同样多的人数并入第三组;第三次从第三组里把与第一组同样多的人数并入第一 组。这时,三组的人数一样多。问原来各组有多少个小朋友?(适于五年级程度)

解:三个小组共 72 人,第三次并入后三个小组人数相等,都是 72÷3=24(人)。在这以前,即第三 组未把与第一组同样多的人数并入第一组时,第一组应是 24÷2=12(人),第三组应是(24+12)=36 (人),第二组人数仍为 24 人;在第二次第二组未把与第三组同样多的人数并入第三组之前,第三 组应为 36÷2=18(人),第二组应为(24+18)=42(人),第一组人数仍是 12 人;在第一次第一组 未把与第二组同样多的人数并入第二组之前,第二组的人数应为 42÷2=21(人),第一组人数应为 12+21=33(人),第三组应为 18 人。 这 33 人、21 人、18 人分别为第一、二、三组原有的人数,列表 3-6。 表 3-6

答:第一、二、三组原有小朋友分别是 33 人、21 人、 18 人

第四讲

综合法

从已知数量与已知数量的关系入手,逐步分析已知数量与未知数量的关系,一直到求出未知数量的解 题方法叫做综合法。 以综合法解应用题时,先选择两个已知数量,并通过这两个已知数量解出一个问题,然后将这个解出 的问题作为一个新的已知条件,与其它已知条件配合,再解出一个问题??一直到解出应用题所求解 的未知数量。 运用综合法解应用题时, 应明确通过两个已知条件可以解决什么问题, 然后才能从已知逐步推到未知, 使问题得到解决。这种思考方法适用于已知条件比较少,数量关系比较简单的应用题。 例 1 甲、乙两个土建工程队共同挖一条长 300 米的水渠,4 天完成任务。甲队每天挖 40 米,乙队每 天挖多少米?(适于三年级程度) 解:根据“甲、乙两个土建工程队共同挖一条长 300 米的水渠”和“4 天完成任务”这两个已知条件, 可以求出甲乙两队每天共挖水渠多少米(图 4-1)。 300÷4=75(米)

根据“甲、乙两队每天共挖水渠 75 米”和“甲队每天挖 40 米”这两个条件,可以求出乙队每天挖多 少米(图 4-1)。 75-40=35(米) 综合算式: 300÷4-40 =75-40 =35(米) 答:乙队每天挖 35 米。

例 2 两个工人排一本 39500 字的书稿。甲每小时排 3500 字,乙每小时排 3000 字,两人合排 5 小时 后,还有多少字没有排?(适于四年级程度) 解:根据甲每小时排 3500 字,乙每小时排 3000 字,可求出两人每小时排多少字(图 4-2)。

3500+3000=6500(字) 根据两个人每小时排 6500 字,两人合排 5 小时,可求出两人 5 小时已排多少字(图 4-2)。 6500×5=32500(字) 根据书稿是 39500 字,两人已排 32500 字,可求出还有多少字没有排(图 4-2)。

39500-32500=7000(字) 综合算式: 39500-(3500+3000)×5 =39500-6500×5 =39500-32500 =7000(字) 答略。 例 3 客车、货车同时由甲、乙两地出发,相向而行。客车每小时行 60 千米,货车每小时行 40 千米, 5 小时后客车和货车相遇。求甲、乙两地之间的路程。(适于四年级程度) 解:根据“客车每小时行 60 千米”和“货车每小时行 40 千米”这两个条件,可求出两车一小时共行 多少千米(图 4-3)。

60+40=100(千米) 根据 “两车一小时共行 100 千米” 和两车 5 小时后相遇, 便可求出甲、 乙两地间的路程是多少千米 (图 4-3)。 100×5=500(千米) 综合算式: (60+40)×5 =100×5 =500(千米) 答:甲、乙两地间的路程是 500 千米。

例 4 一个服装厂计划做 660 套衣服,已经做了 5 天,平均每天做 75 套。剩下的要 3 天做完,问平均 每天要做多少套?(适于四年级程度) 解:根据“已经做了 5 天,平均每天做 75 套”这两个条件可求出已做了多少套(图 4-4)。

75×5=375(套) 根据“计划做 660 套”和“已经做了 375 套”这两个条件,可以求出还剩下多少套(图 4-4)。 660-375=285(套) 再根据“剩下 285 套”和“剩下的要 3 天做完”,便可求出平均每天要做多少套(图 4-4)。 285÷3=95(套) 综合算式: (660-75×5)÷3 =285÷3 =95(套) 答略。 例 5 某装配车间,甲班有 20 人,平均每人每天可做 72 个零件;乙班有 24 人,平均每人每天可做 6 8 个零件。如果装一台机器需要 12 个零件,那么甲、乙两班每天生产的零件可以装多少台机器?(适 于四年级程度) 解:根据“甲班有 20 人,平均每人每天可做 72 个零件”这两个条件可求出甲班一天生产多少个零件 (图 4-5)。

72×20=1440(个) 根据“乙班有 24 人,平均每天每人可做 68 个零件”这两个条件可求出乙班一天生产多少个零件(图 4-5)。 68×24=1632(个) 根据甲、乙两个班每天分别生产 1440 个、1632 个零件,可以求出甲、乙两个班一天共生产多少个零 件(图 4-5)。 1440+1632=3072(个) 再根据两个班一天共做零件 3072 个和装一台机器需要 12 个零件这两条件, 可求出两个班一天生产的 零件可以装多少台机器。 3072÷12=256(台) 综合算式: (72×20+68×24)÷12 =(1440+1632)÷12 =3072÷12 =256(台) 答略。 例 6 一个服装厂计划加工 2480 套服装,每天加工 100 套,工作 20 天后,每天多加工 20 套。提高工 作效率后,还要加工多少天才能完成任务?(适于四年级程度) 解:根据每天加工 100 套,加工 20 天,可求出已经加工多少套(图 4-6)。 100×20=2000(套)

根据计划加工 2480 套和加工了 2000 套,可求出还要加工多少套(图 4-6)。

2480-2000=480(套) 根据原来每天加工 100 套,现在每天多加工 20 套,可求出现在每天加工多少套(图 4-6)。 100+20=120(套) 根据还要加工 480 套,现在每天加工 120 套,可求出还要加工多少天(图 4-6)。 48O÷120=4(天) 综合算式: (2480-100×20)÷(100+20) =480÷120 =4(天) 答略。 刚开始学习以综合法解应用题时,一定要画思路图,当对综合法的解题方法已经很熟悉时,就可以不 再画思路图,而直接解答应用题了。

解:此题先后出现了两个标准量:“第一桶的重量”和“第二桶的重量”。

=49.5(千克) 答略。

解:此题先后出现两个标准量:“甲块地产高粱的重量”和“乙块地产高粱的重量”。 将题中已知条件的顺序变更一下:丙块地产高粱 450 千克,丙块地比乙

条件,可求出乙块地产高粱是:

(这里乙块地的产量是标准量 1)

(这里甲块地的产量是标准量 1) 综合算式:

=546(千克) 答略。

第五讲

分析法

从求解的问题出发,正确选择所需要的两个条件,依次推导,一直到问题得到解决的解题方法叫分析 法。 用分析法解应用题时,如果解题所需要的两个条件,(或其中的一个条件)是未知的,就要分别求解 找出这两个(或一个)条件,一直到所需要的条件都是已知的为止。 分析法适于解答数量关系比较复杂的应用题。 例 1 玩具厂计划每天生产 200 件玩具,已经生产了 6 天,共生产 1260 件。问平均每天超过计划多少 件?(适于三年级程度) 解:这道题是求平均每天超过计划多少件。要求平均每天超过计划多少件,必须具备两个条件(图 5 -1):①实际每天生产多少件;②计划每天生产多少件。

计划每天生产 200 件是已知条件。实际每天生产多少件,题中没有直接告诉,需要求出来。 要求实际每天生产多少件,必须具备两个条件(图 5-1):①一共生产了多少件;②已经生产了多少 天。这两个条件都是已知的:①一共生产了 1260 件;②已经生产了 6 天。 分析到这里,问题就得到解决了。 此题分步列式计算就是: (1)实际每天生产多少件? 1260÷6=210(件) (2)平均每天超过计划多少件? 210-200=10(件) 综合算式: 1260÷6-200 =210-200 =10(件)例 2 四月上旬,甲车间制造了 257 个机器零件,乙车间制造的机器零件是甲车间的 2 倍。 四月上旬两个车间共制造多少个机器零件?(适于三年级程度) 解:要求两个车间共制造多少个机器零件,必须具备两个条件(图 5-2):①甲车间制造多少个零件; ②乙车间制造多少个零件。已知甲车间制造 257 个零件,乙车间制造多少个零件未知。 下面需要把“乙车间制造多少个零件”作为一个问题,并找出解答这个问题所需要的两个条件。 这两个条件(图 5-2)是:①甲车间制造多少个零件;②乙车间制造的零件是甲车间的几倍。这两个 条件都是已知的:①甲车间制造 257 个,乙车间制造的零件数是甲车间的 2 倍。 分析到此,问题就得到解决了。

此题分步列式计算就是:

(1)乙车间制造零件多少个? 257×2=514(个) (2)两个车间共制造零件多少个? 257+514=771(个) 综合算式: 257+257×2 =257+514 =771(个) 答略。 例 3 某车间要生产 180 个机器零件,已经工作了 3 天,平均每天生产 20 个。剩下的如果每天生产 30 个,还需要几天才能完成?(适于四年级程度) 解:要求还需要几天才能完成,必须具备两个条件(图 5-3):①还剩下多少个零件;②每天生产多 少个零件。在这两个条件中,每天生产 30 个零件是已知条件,还剩多少个零件未知。

先把“还剩多少个零件”作为一个问题,并找出解答这个问题所需要的两个条件。 要算出还剩下多少个零件,必须具备的两个条件(图 5-3)是:①要生产多少个零件;②已经生产了 多少个零件。要生产 180 个零件是已知条件,已经生产多少个零件未知。 然后把“已经生产多少个零件”作为一个问题,并找出解答这个问题所需要的两个条件。 要算出已生产多少个零件,必须知道的两个条件(图 5-3)是:①每天生产多少个零件;②生产了几 天。这两个条件题中都已经给出:每天生产 20 个零件,生产了 3 天。 分析到此,问题就得到解决。

上面的思考过程,分步列式计算就是: (1)已经生产了多少个零件? 20×3=60(个) (2)剩下多少个零件? 180-60=120(个) (3)还要几天才能完成? 120÷30=4(天) 综合算式: (180-20×3)÷30 =(180-60)÷30 =120÷30 =4(天) 答略。 例 4 王明买了 24 本笔记本和 6 支铅笔,共花了 9.60 元钱。已知每支铅笔 0.08 元,每本笔记本多少 钱?(适于五年级程度) 解:要算出每本笔记本多少钱,必须具备两个条件(图 5-4):①买笔记本用了多少钱;②买了多少 本笔记本。从题中已知买了 24 本笔记本,买笔记本用的钱数未知。 先把买笔记本用的钱数作为一个问题,并找出解答这个问题所需要的两个条件。 要算出买笔记本用多少钱,必须知道的两个条件(图 5-4)是:①买笔记本、铅笔共用多少钱;②买 铅笔用多少钱。已知买笔记本、铅笔共用 9.60 元,买铅笔用去多少钱未知。 然后找出“买铅笔用多少钱”所需要的两个条件。 要算出买铅笔用多少钱,必须知道的两个条件(图 5-4)是:①买多少支铅笔;②每支铅笔多少钱。 这两个条件在题中都是已知的:买 6 支铅笔,每支 0.08 元。

分析到此,问题就得到解决。 此题分步列式计算就是: (1)买铅笔用去多少元? 0.08×6=0.48(元) (2)买笔记本用去多少元? 9.60-0.48=9.12(元) (3)每本笔记本多少元? 9.12÷24=0.38(元) 列综合算式计算: (9.60-0.08×6)÷24 =(9.60-0.48)÷24 =9.12÷24 =0.38(元) 答:每本笔记本 0.38 元。 例 5 仓库里共有化肥 2520 袋,两辆车同时往外运,共运 30 次,每次甲车运 51 袋。每次甲车比乙车 多运多少袋?(适于五年级程度) 解:求每次甲车比乙车多运多少袋,必须具备两个条件(图 5-5):①甲车每次运多少袋;②乙车每 次运多少袋。甲车每次运 51 袋已知,乙车每次运多少袋未知。

先找出解答“乙车每次运多少袋”所需要的两个条件。 要算出乙车每次运多少袋,必须具备两个条件(图 5-5):①两车一次共运多少袋;②甲车一次运多 少袋。甲车一次运 51 袋已知;两车一次共运多少袋是未知条件。 然后把“两车一次共运多少袋”作为一个问题,并找出解答这个问题所需要的两个条件。 要算出两车一次共运多少袋,必须具备两个条件(图 5-5):①一共有多少袋化肥;②两车共运多少 次。这两个条件都是已知的:共有 2520 袋化肥,两车共运 30 次。 分析到此,问题就得到解决。 此题分步列式计算就是: ①两车一次共运多少袋? 2520÷30=84(袋) ②乙车每次运多少袋? 84-51=33(袋) ③每次甲车比乙车多运多少袋? 51-33=18(袋) 综合算式: 51-(2520÷30-51) =51-33 =18(袋) 答略。

*例 6 把 627.5 千克梨装在纸箱中,先装 7 箱,每箱装梨 20 千克,其余的梨每箱装 37.5 千克。这些 梨共装多少箱?(适于五年级程度) 解:要算出共装多少箱,必须具备两个条件(图 5-6):①先装多少箱。②后装多少箱。先装 7 箱已 知,后装多少箱未知。 先把“后装多少箱”作为一个问题,并找出解答这个问题所需要的两个条件。 要算出后装多少箱,必须具备两个条件(图 5-6):①后来一共要装多少千克;②后来每箱装多少千 克。后来每箱装 37.5 千克已知,后来一共装多少千克未知。

要把“后来一共要装多少千克”作为一个问题提出,并找出回答这一问题所需要的两个条件。要求后 来一共要装多少千克,必须具备两个条件(图 5-6):①梨的总重量;②先装了多少千克。梨的总重 量是 627.5 千克已知的;先装了多少千克是未知的,要把它作为一个问题提出来,并找出回答这个问 题所需要的两个条件。 这两个条件(图 5-6)是:①先装的每箱装梨多少千克;②装了多少箱。这两个条件都是已知的:先 装的每箱装梨 20 千克,装了 7 箱。 分析到此,问题就得到解决了。 此题分步列式计算就是: ①先装多少千克? 20×7=140(千克) ②后来共装多少千克? 627.5-140=487.5(千克) ③后来装了多少箱? 487.5÷37.5=13(箱)

④共装多少箱? 7+13=20(箱) 综合算式: 7+(627.5-20×7)÷37.5 =7+(627.5-140)÷37.5 =7+487.5÷37.5 =7+13 =20(箱) 答略。 注意:开始学习用分析法解应用题时,一定要画思路图,当对分析法的解题方法已经很熟悉时,可不 再画思路图,而直接分析解答应用题了。

节约了 15%。问六月份比四月份少用煤多少吨?(适于六年级程度) 解:此题中出现两个标准量:“四月份的用煤量”和“五月份的用煤量”。四月份的用煤量和六月份 的用煤量都与五月份的用煤量有直接联系。 要算出六月份比四月份少用煤多少吨,必须知道六月份、四月份各用煤多少吨。 要算出六月份用煤多少吨,必须知道两个条件:①五月份用煤多少吨;②六月份比五月份节约多少。 这两个条件都是已知的。六月份用煤的吨数是: 3200×(1-15%)=2720(吨) 要算出四月份用煤多少吨,必须知道两个条件:①五月份用煤多少吨;②五月份比四月份节约多少。 这两个条件都是已知的。四月份用煤的吨数是:

知道了六月份、四月份用煤的吨数,就可以求出六月份比四月份少用煤多少吨。 3600-2720=880(吨)

综合算式:

=3600-2720 =880(吨) 答略。

答略。

第六讲

分析-综合法

综合法和分析法是解应用题时常用的两种基本方法。在解比较复杂的应用题时,由于单纯用综合法或 分析法时,思维会出现障碍,所以要把综合法和分析法结合起来使用。我们把分析法和综合法结合起 来解应用题的方法叫做分析-综合法。 *例 1 运输队要把 600 吨化肥运到外地,计划每天运 22 吨。运了 15 天以后,剩下的化肥要在 10 天 内运完。这样每天要比原计划多运多少吨?(适于五年级程度) 解:解此题要运用分析法和综合法去思考。 先用综合法思考。根据“原计划每天运 22 吨”和“运了 15 天”这两个条件,可以求出已经运出的吨 数(图 6-1)。

根据要“运 600 吨”和已经运出的吨数,可以求出剩下化肥的吨数(图 6-1)。 接下去要用哪两个数量求出什么数量呢?不好思考了。所以用综合法分析到这儿,接着要用分析法思 考了。 要求“每天比原计划多运多少吨”,必须知道“后来每天运多少吨”和“原计划每天运多少吨”。 “原 计划每天运 22 吨”是已知条件,“后来每天运多少吨”不知道,这是此题的中间问题(图 6-2)。

要知道“后来每天运多少吨”,必须知道“剩下多少吨”和“要在多少天内运完”。这两个条件中, 第二个条件是已知的,“要在 10 天内运完”,“剩下多少吨”是未知的中间问题。 我们在前面用综合法分析这道题时,已经得到求剩下吨数的方法了。 所以本题分析到这里就可以解答了。 此题分步列式解答时,要从图 6-1 的上面往下看,接着从图 6-2 的下面往上看。 (1)已经运多少吨? 22×15=330(吨) (2)剩下多少吨? 600-330=270(吨) (3)后来每天运多少吨? 270÷10=27 吨) (4)每天比原计划多运多少吨? 27-22=5(吨) 综合算式: (600-22×15)÷10-22 =(600-330)÷10-22 =270÷10-22 =27-22 =5(吨) 答略。

*例 2 某鞋厂原计划 30 天做皮鞋 13500 双,实际上每天比原计划多做 50 双。问这个鞋厂提前几天完 成原计划的任务?(适于五年级程度) 解:解答此题一般要运用分析法和综合法去思考。 先用分析法思考。要算出提前几天完成计划,必须知道“原计划天数”和“实际做鞋数”(图 6-3)。 “原计划天数”是 30

天,已经知道;“实际做鞋天数”不知道,是中间问题。 要知道“实际做鞋天数”必须知道“皮鞋总数”和“实际每天做的皮鞋数”(图 6-3)。 到此可以往下思考,要算出实际每天做的皮鞋数,必须具备哪两个条件?但有的人觉得这样思考时不 顺当,思路会“卡壳”,这时就要换用综合法进行思考。 由“原计划 30 天做皮鞋 13500 双”,可求出“原计划每天做的皮鞋数”(图 6-4)。

由“原计划每天做的皮鞋数”和“实际每天比原计划多做 50 双”,可用加法算出“实际每天做的皮 鞋数”(图 6-4)。 分析到此,这道题的问题就得到解决了。此题用分步列式的方法计算时,得从图 6-4 的上面往下面推 想,然后从图 6-3 的后面(下面)往前推想。 (1)看图 6-4 的思路图。通过把原计划做的 13500 双除以计划做的 30 天,可以得到原计划每天做多 少双皮鞋。 13500÷30=450(双) (2)在计划每天做的 450 双皮鞋上,加上实际每天多做的 50 双,得到实际每天做的皮鞋数。

450+50=500(双) (3)接着看图 6-3 的思路图。从思路图的下面往上推想,皮鞋总数除以实际每天做的皮鞋数 500 双, 得到实际制做的天数。 13500÷500=27(天) (4)接着往上看,从原计划做的 30 天,减去实际做的天数 27 天,就得到提前完成计划的天数。 30-27=3(天) 把上面分步计算的算式综合为一个算式是: 30-13500÷(13500÷30+50) =30-13500÷500 =30-27 =3(天) 答略。 *例 3 甲、乙两队同时开凿一条 2160 米长的隧道,甲队从一端起,每天开凿 20 米,乙队从另一端起, 每天比甲队多开凿 5 米。两队在离中点多远的地方会合?(适于五年级程度) 解:看图 6-5。要求两队在离中点多远的地方会合,需要知道隧道的中点及会合点离一端的距离(分 析法)。 每天 20 米每天比甲队多 5 米

隧道全长 2160 米,中点到一端的距离可以通过 2160÷2 求得(综合法)。 要求出会合点(在甲队的一侧)距离甲队开凿点的距离,实际就是求甲队开凿的米数。要求甲队开凿 的米数,就要知道甲队(或乙队)每天开凿的米数(已知)和开凿的天数(分析法)。甲队每天开凿 20 米已知,开凿的天数不知道。 要求出开凿的天数,需要知道隧道的全长(已知)和两队每天共开凿多少米(分析法)。 已知甲队每天开凿 20 米,乙队每天比甲队多开凿 5 米,这样可以求出乙队每天开凿多少米,从而求 出甲、乙两队一天共开凿多少米(综合法)。

分析到此,这道题的问题就得到解决了。 此题用分步列式的方法计算时,还得从上面分析过程的后面往前推理。 (1)乙队每天开凿多少米? 20+5=25(米) (2)甲乙两队一天共开凿多少米? 20+25=45(米) (3)甲乙两队共同开凿这个隧道用多少天? 2160÷45=48(天) (4)甲队开凿了多少米?(会合点与甲队开凿点的距离) 20×48=960(米) (5)甲队到中点的距离是多少米? 2160÷2=1080(米) (6)会合点与中点间的距离是多少米? 1080-960=120(米) 综合算式: 2160÷2-20×[2160÷(20+20+5)] =1080-20×48 =1080-960 =120(米) 答略。 *例 4 某中队三个小队的少先队员采集树种。第一小队 8 名队员共采集 11.6 千克,第二小队 6 名队员 比第一小队少采集 2.8 千克,第三小队 10 名

克?(适于五年级程度) 解:如果先用综合法分析,虽然已知数量间存在着一定的关系,但不容易选择出与所求数量有直接联 系的数量关系。而用分析法分析,能立即找到与所求数量有直接联系的数量关系,找到解题所需要的 数量后,再用综合法分析。 要求出三个小队平均每名队员采集多少千克, 必需知道“三个小队共采集树种多少千克”和“全体队 员的人数”(图 6-6)。 要求“三个小队共采集多少千克”,必须知道一、二、三这三个小队各采集多少千克;要求“全体队 员人数”必须知道各小队的人数(图 6-6)。 三个小队的人数都已经知道,第一小队采集 11.6 千克也已知,只是第二、三小队各采集多少还不知 道。 往下可用综合法得出二、三小队各采集多少千克(图 6-6)。

由“第一小队共采集 11.6 千克”和“第二小队比第一小队少采集 2.8 千克”,可求出第二小队采集 多少千克;由“第二小队采集的重量”和“第

往下可由三个小队各采集多少千克之和,求出三个小队共采集多少千克;也可以由各小队的人数之和 求出“全体队员的人数”。 到此本题就可以解出来了。

本题分步列式解答的方法是: (1)第二小队采集多少千克? 11.6-2.8=8.8(千克) (2)第三小队采集多少千克?

(3)三个小队共采集多少千克? 11.6+8.8+13.2=33.6(千克) (4)三个小队有多少队员? 8+6+10=24(人) (5)平均每人采集多少千克? 33.6÷24=1.4(千克) 综合算式:

=33.6÷24 =1.4(千克) 答略。 *例 5 甲、乙两城之间的路程是 210 千米,慢车以每小时 40 千米的速度由甲城开往乙城,行车 15 分 钟后,快车由乙城开往甲城,经过 2 小时两车相遇。这时快车开到甲城还需要多少小时?(适于六年 级程度) 解:运用分析法和综合法,分析此题的思路是: 先用分析法来思考。要求出“快车开到甲城还需要多少小时”,必须知道两个条件(图 6-7):①相 遇地点到甲城的距离;②快车每小时行多少千米。这两个条件题目中都没给出,应把它们分别作为中 间问题。

接着思考, 要求相遇地点到甲城的路程必须具备哪两个条件?要求快车每小时行多少千米必须具备哪 两个条件???如果思路不“卡壳”, 就一直思考下去, 直到解答出所求问题。 如果思路“卡壳”了, 就改用综合法思考。另画一个思路图(图 6-8)。

图 6-8 中慢车已行的路程,就是快车从相遇点到甲城的路程。这段路程是:

快车已行的路程是: 210-90=120(千米) 快车每小时所行的路程是: 120÷2=60(千米) 到此,我们可以把慢车走过的路程除以快车的速度,得到快车开到甲城还需要的时间是: 90÷60=1.5(小时) 综合算式:

答略。

第七讲

归一法

先求出单位数量(如单价、工效、单位面积的产量等),再以单位数量为标准,计算出所求数量的解 题方法叫做归一法。 归一法分为一次直进归一法、一次逆反归一法、二次直进归一法、二次逆反归一法。 用归一法一般是解答整数、小数应用题,但也可以解答分数应用题。有些应用题用其它方法解答比较 麻烦,不易懂,用归一法解则简单,容易懂。 (一)一次直进归一法 通过一步运算求出单位数量之后,再求出若干个单位数量和的解题方法叫做一次直进归一法。 1.解整数、小数应用题 例 1 某零件加工小组,5 天加工零件 1500 个。照这样计算,14 天加工零件多少个?(适于三年级程 度) 解:(1)一天加工零件多少个? 1500÷5=300(个) (2)14 天加工零件多少个? 300×14=4200(个) 综合算式: 1500÷5×14=4200(个) 答略。 此类型题是适宜用一次直进归一法解的基本题型,下面的题都在此类型题的基础上有所扩展。 例 2 用一台大型抽水机浇地,5 小时浇了 15 公顷。照这样计算,再浇 3 小时,这台抽水机比原来多 浇多少公顷地?(适于三年级程度) 解:(1)一小时浇地多少公顷? 15÷5=3(公顷) (2)3 小时浇地多少公顷? 3×3=9(公顷)

综合算式: 15÷5×3=9(公顷) 答略。例 3 一辆汽车 3 小时行驶了 123.6 千米。照这样的速度,再行驶 4 小时,这辆汽车一共行驶了 多少千米?(适于五年级程度) 解:(1)一小时行驶多少千米? 123.6÷3=41.2(千米) (2)前后共行驶多少小时? 3+4=7(小时) (3)一共行驶多少千米? 41.2×7=288.4(千米) 综合算式: 123.6÷3×(3+4) =41.2×7 =288.4(千米) 答略。 2.解分数应用题

经行驶了 4 份,还剩下全路程的 7-4=3(份)。还可知,行驶 4 份用的时间是 8 小时。 (1)行驶 1 份用的时间是: 8÷4=2(小时) (2)行驶剩下的 3 份用的时间是: 2×3=6(小时)

答略。

数量是单位“1”。把六月份的伐木数量平均分成 6 份,五月份的伐木数量就相当于六月份伐木数量 的 5 份。 (1)一份木材是多少立方米? 240÷5=48(立方米) (2)因为六月份比五月份多伐一份,所以六月份的伐木数量是: 240+48=288(立方米) 答略。

兔,其余的是灰兔。已知黑兔 比白兔多 21 只。求灰免有多少只?(适于六年级程度)

12 份,白兔占 5 份,则灰兔占 20-12-5=3(份)。 (1)黑兔比白兔多 21 只,这 21 只所对应的份数是: 12-5=7(份) (2)每一份的只数是: 21÷7=3(只) (3)灰兔的只数是: 3×3=9(只)

答略。

程度)

运进一些红糖后,把两种糖的总重量平均分成 10 份,红糖占 3 份,白糖占 7 份。把上面的数量用表 7-1 表示。 表 7-1

(1)白糖的重量是: 63O÷5×4=504(千克) (2)运来红糖后两种糖的总重量是: 504÷7×10=720(千克) (3)运来的红糖是: 720-630=90(千克) 答略。 (二)一次逆转归一法 通过一步计算求出单位数量,再求总数量里包含多少个单位数量的解题方法,叫做一次逆转归一法。 例 1 一列火车 6 小时行驶 390 千米。照这样的速度,要行驶 1300 千米的路程,需要多少小时?(适 于三年级程度)

解:(1)一小时行驶多少千米? 390÷6=65(千米) (2)行驶 1300 千米需要多少小时? 1300÷65=20(小时) 综合算式: 1300÷(390÷6) =1300÷65 =20(小时) 答略。 此题是一次逆转归一的基本题,下面的题都在此题的基础上有所扩展。 例 2 某人骑自行车从甲地到乙地,2 小时行了 26 千米,剩下的路程是 52 千米。按照这样的速度,此 人从甲地到乙地要行几小时?(适于四年级程度) 解:(1)一小时行多少千米? 26÷2=13(千米) (2)行驶 52 千米用几小时? 52÷13=4(小时) (3)从甲地到乙地要行几小时? 2+4=6(小时) 综合算式: 2+52÷(26÷2) =2+52÷13 =2+4 =6(小时) 答略。

例 3 学校买来 135 米塑料绳,先剪下 9 米做了 5 根跳绳。照这样计算,剩下的塑料绳可以做多少根 跳绳?(适于五年级程度) 解:(1)一根跳绳有多少米? 9÷5=1.8(米) (2)剩下的塑料绳有多少米? 135-9=126(米) (3)剩下的绳子可以做多少根跳绳? 126÷1.8=70(根) 综合算式: (135-9)÷(9÷5) =126÷1.8 =70(根) 答略。 (三)二次直进归一法 通过两步计算求出单位数量,再求若干个单位数量和的解题方法叫做二次直进归一法。 *例 1 4 辆同样的卡车 7 次运货物 224 吨。 照这样计算, 辆同样的卡车 10 次可以运货物多少吨? 9 (适 于五年级程度) 解:摘录整理题中的条件,排列成表 7-2。 (1)4 辆卡车一次运货多少吨? 224÷7=32(吨) (2)一辆卡车一次运货多少吨? 32÷4=8(吨) (3)9 辆卡车一次运货多少吨? 8×9=72(吨)

表 7-2

(4)9 辆卡车 10 次运货多少吨? 72×10=720(吨) 综合算式: 224÷7÷4×9×10 =8×9×10 =720(吨) 答略。 此题是二次直进归一的基本题,下面的题在此基础上都有所变化。 *例 2 某水库上游有农田需抽水浇地,抽水站七月上旬用一台柴油机从

农田用水量要增加,这个抽水站准备同时用 4 台柴油机抽水。这个抽水站最少还应准备多少千克柴 油?(适于五年级程度) 解:摘录整理题中条件,排列成表 7-3。

分成 5 份中的 4 份,所以 5 份中的 1 份是: 200÷4=50(千克) 表 7-3

(2)一台柴油机一天用油多少千克? 50÷10=5(千克) (3)4 台柴油机 21 天用油多少千克? 5×4×21=420(千克) (4)还应准备柴油多少千克? 420-200=220(千克) 综合算式: 200÷4÷10×4×21-200 =5×4×21-200 =420-200 =220(千克) 答略。 *例 3 冬天,有 12 头牛 3 天吃干草 720 千克。牵走 3 头牛后,有 720 千克干草要给剩下的牛吃 4 天, 干草是不是够用?(适于五年级程度) 解:摘录整理题中条件,排列成表 7-4。 (1)1 头牛 1 天吃干草多少千克? 720÷12÷3=20(千克) (2)牵走 3 头牛后,剩下几头牛? 12-3=9(头) 表 7-4

(3)9 头牛 4 天吃干草多少千克? 20×9×4=720(千克) 综合算式: 720÷12÷3×(12-3)×4 =20×9×4 =720(千克) 答:720 千克干草正好够用。 *例 4 用手工剪羊毛,第一天 4 人 6 小时剪羊毛 120 千克。第二天增加了同样能干的 3 个人,还是工 作 6 小时。问两天一共剪羊毛多少千克?(适于五年级程度) 解:摘录整理题中条件,排列成表 7-5。 (1)1 人 1 小时剪羊毛多少千克? 120÷4÷6=5(千克) (2)增加 3 个人后共有多少个人? 4+3=7(人) 表 7-5

(3)7 个人 6 小时剪多少千克羊毛? 5×7×6=210(千克) (4)两天一共剪多少千克羊毛?

120+210=330(千克) 综合算式: 120+120÷4÷6×(4+3)×6 =120+5×7×6 =120+210 =330(千克) 答略。 (四)二次逆转归一法 通过两步计算,求出单位数量之后,再求出总数量里包含多少个单位数量的解题方法,叫做二次逆转 归一法。 *例 1 3 台拖拉机 8 小时耕地 4.8 公顷。照这样计算,9 公顷地,用 5 台拖拉机耕,需要多少小时? (适于五年级程度) 解:摘录整理题中条件,排列成表 7-6。 (1)1 台拖拉机 1 小时耕地多少公顷? 4.8÷3÷8=0.2(公顷) (2)5 台拖拉机耕 9 公顷土地用多少小时? 表 7-6

9÷5÷0.2=9(小时) 综合算式: 9÷5÷(4.8÷3÷8) =9÷5÷0.2

=9(小时) 答略。 此题是适于用二次逆转归一法解的基本题,下面的题在此基础上都有所扩展。 *例 2 7 名工人 10 小时生产机器零件 420 个。在缺席 2 名工人的情况下,要生产 330 个机器零件,要 用多少小时?(适于五年级程度) 解:摘录整理题中条件,排列出表 7-7。 (1)1 名工人 1 小时生产多少个机器零件? 表 7-7

420÷7÷10=6(个) (2)缺席 2 名工人,剩下多少名工人? 7-2=5(名) (3)5 名工人生产 330 个机器零件要用多少小时? 330÷5÷6=11(小时) 综合算式: 330÷(7-2)÷(420÷7÷10) =330÷5÷6 =11(小时) 答略。 *例 3 有 900 立方米的土,需要 25 人 12 天挖完。如果增加 5 人,可以提前几天挖完?(适于五年级 程度) 解:摘录整理题中条件,排列成表 7-8。

设提前 x 天挖完,则实际完成的天数是(12-x)天。 表 7-8

(1)原来 1 人 1 天挖土多少立方米? 900÷12÷25=3(立方米) (2)增加 5 人后共有多少人? 25+5=30(人) (3)30 人多少天挖完? 900÷30÷3=10(天) (4)可以提前几天挖完? 12-10=2(天) 综合算式: 12-9000÷(25+5)÷(900÷25÷12) =12-900÷30÷3 =12-10 =2(天) 答略。

第八讲

归总法

已知单位数量和单位数量的个数,先求出总数量,再按另一个单位数量或单位数量的个数求未知数量 的解题方法叫做归总法。 解答这类问题的基本方法是:

总数量=单位数量×单位数量的个数; 另一单位数量(或个数)=总数量÷单位数量的个数(或单位数量)。 例 1 李明从学校步行回家, 每小时走 4 千米, 小时到家。 5 如果他每小时走 5 千米, 几小时到家? (适 于三年级程度) 解:要求每小时走 5 千米,几小时到家,要先求出学校到家有多远,再求几小时到家。因此, 4×5÷5 =20÷5 =4(小时) 答:如果他每小时走 5 千米,4 小时到家。 例 2 王明看一本故事书, 计划每天看 15 页, 天看完。 20 如果要在 12 天看完, 平均每天要看多少页? (适于三年级程度) 解:要求 12 天看完,平均每天看多少页,必须先求出这本故事书一共有多少页,再求平均每天看多 少页。因此, 15×20÷12 =300÷12 =25(页) 答:如果要在 12 天看完,平均每天要看 25 页。例 3 某工厂制造一批手扶拖拉机,原计划每天制造 6 台,30 天完成。实际上只用了一半的时间就完成了任务。实际每天制造多少台?(适于四年级程度) 解:原来时间的一半就是 30 天的一半。 6×30÷(30÷2) =180÷15 =12(台) 答:实际每天制造 12 台。 例 4 永丰化肥厂要生产一批化肥,计划每天生产 45 吨,24 天可以完成任务。由于改进生产技术,提 高了工作效率,平均每天比原计划多生产 15 吨。实际几天完成任务?(适于四年级程度) 解:计划生产的这批化肥是:

45×24=1080(吨) 改进生产技术后每天生产: 45+15=60(吨) 实际完成任务的天数是: 1080÷60=18(天) 综合算式: 45×24÷(45+15) =45×24÷60 =1080÷60 =18(天) 答:实际 18 天完成任务。 例 5 有一批化肥,用每辆载重 6 吨的汽车 4 辆运送 25 次可以运完。如果改用每辆载重 8 吨的汽车 5 辆,几次能够运完这批化肥?(适于五年级程度) 解:这批化肥的重量是: 6×4×25=600(吨) 5 辆载重 8 吨的汽车一次运: 8×5=40(吨) 能够运完的次数是: 600÷40=15(次) 综合算式: 6×4×25÷(8×5) =600÷40 =15(次) 答:15 次能够运完。

例 6 一项工程,20 人每天工作 8 小时,30 天可以完成。现在改用 40 人,每天工作 10 小时,现在几 天可以完成?(适于五年级程度) 解:完成这项工程共用工时: 8×20×30=4800(个) 现在每天完成工时: 10×40=400(个) 可以完成的天数是: 4800÷400=12(天) 综合算式: 8×20×30÷(10×40) =4800÷400 =12(天) 答略。 例 7 印一本书,原计划印 270 页,每页排 24 行,每行排 30 个字。因为要节约用纸,现在改为每页 排 30 行,每行排 36 个字。这本书要印多少页?(适于五年级程度) 解:原计划要印的总字数: 30×24×270=194400(个) 改排后每页排字: 36×30=1080(个) 这本书要印的页数是: 194400÷1080=180(页) 综合算式: 30×24×270÷(36×30) =194400÷1080

=180(页) 答:这本书要印 180 页。 *例 8 服装厂加工一批童装,原计划每天加工 210 套,7 天完成。实际

任务?(适于六年级程度) 解:实际上每天加工童装:

这批童装的总套数是: 210×7=1470(套) 实际需要天数是: 1470÷294=5(天) 综合算式:

=1470÷294 =5(天) 答 略。 例 9 工厂有一批煤,原计划每天烧 6 吨,可以烧 70 天,技术革新后,每天节约 1.8 吨。照这样计 算,这批煤可以多烧多少天?(适于五年级程度) 解:这批煤的总吨数是: 6×70=420(吨)

现在每天烧的吨数是: 6-1.8=4.2(吨) 现在能烧的天数是: 420÷4.2=100(天) 可多烧的天数是: 100-70=30(天) 综合算式: 6×70÷(6-1.8)-70 =420÷4.2-70 =100-70 =30(天) 答略。 例 10 挖一条水渠,原计划每天挖土 135 立方米,20 天挖完。实际上每天多挖了 45 立方米。这样可 以提前几天完成任务?(适于五年级程度) 解:挖土的总任务是: 135×20=2700(立方米) 实际上每天的挖土量是: 135+45=180(立方米) 实际上只需要的天数是: 2700÷180=15(天) 提前完成任务的天数是: 20-15=5(天) 综合算式: 20-[135×20÷(135+45)]

=20-[2700÷180] =20-15 =5(天) 答略。 *例 11 一堆煤,原计划每天运 75 吨,20 天可以运完。运了 2 天后,

程度) 解:这批煤总吨数是: 75×20=1500(吨) 运 2 天后,剩下的吨数是: 1500-75×2=1350(吨) 现在每天运的吨数是:

还需要运的天数是: 1350÷100=13.5(天) 提前完成任务的天数是: 20-2-13.5=4.5(天) 综合算式:

=18-1350÷100 =18-13.5 =4.5(天)

答略。

第九讲

分解法

修理工人要掌握一台机器的构造和性能,有一个好办法:把机器拆开,对一个一个零件进行研究,然 后再装配起来。经过这样拆拆装装,就能够熟悉机器的构造和性能了,这是日常生活中常见的现象。 我们可以从中发现“由整体到部分,由部分到整体”的认识事物的规律。分析应用题也要用到这种方 法。 一道多步复杂的应用题是由几道一步的基本应用题组成的。在分析应用题时,可把一道复杂的应用题 先拆成几道基本应用题,从中找到解题的线索。我们把这种解题的思考方法称为分解法。

例 1 工厂运来一批煤,原计划每天烧 5 吨,可以烧 12 天。现在改进烧煤技术后,每天比原计划节约 1 吨。现在这批煤可以烧几天?(适于四年级程度) 解:这道题看上去很复杂,可以把它拆成三道一步计算的应用题。 (1)工厂运来一批煤,原计划每天烧 5 吨,可以烧 12 天,这批煤有多少吨?(60 吨) (2)原计划每天烧 5 吨,现在改进烧煤技术后,每天比原计划节约 1 吨。现在每天烧煤多少吨?(4 吨) (3)工厂运来一批煤重 60 吨,现在改进烧煤技术每天烧 4 吨,现在这批煤可以烧多少天? 以上三道一步计算的应用题拼起来就是例 1。经过这样拆拆拼拼,这道复杂应用题的来龙去脉就弄清 楚了。根据这三道一步应用题的解题线索,问题便可得到解决。 分步列式计算: (1)这批煤的重量是: 5×12=60(吨) (2)现在每天烧煤的吨数是: 5-1=4(吨) (3)现在这批煤可以烧的天数是: 60÷4=15(天) 综合算式:

5×12÷(5-1) =60÷4 =15(天) 答略。 例 2 胜利小学要挖一个长方形的沙坑,长 4 米、宽 2 米、深 0.45 米,按每人每小时挖土 0.2 方计 算,应组织多少人才能用 1 小时完成任务?(适于五年级程度) 解:这道题是由两道小题组成,一道是已知长、宽、深,求长方体沙坑的体积,一道是已知总共要挖 的土方和每人每小时可挖的土方,求人数。把它分解成两道题来算,就不难了。 要挖土方: 4×2×0.45=3.6(方) 所需人数: 3.6÷0.2=18(人) 综合算式: 4×2×0.45÷0.2 =3.6÷0.2 =18(人) 答:需要组织 18 人。 *例 3 东山村播种 1600 亩小麦,原计划用 5 台播种机,每台播种机每天播种 20 亩。实际播种时调 来 8 台播种机。这样比原计划提前几天完成?(适于五年级程度) 解:把此题拆成四道基本应用题。 (1)原计划每天每台播种 20 亩,5 台播种机一天播种多少亩? 20×5=100(亩) (2)每天播种 100 亩,播种 1600 亩要多少天? 1600÷100=16(天) (3)每天每台播种 20 亩,8 台播种机播种 1600 亩需要多少天?

1600÷(20×8)=10(天) (4)比原计划提前几天完成? 16-10=6(天) 综合算式: 1600÷(20×5)-16000÷(20×8) =1600÷100-1600÷160 =16-10 =6(天) 答略。 *例 4 一辆汽车从甲城经过乙城到达丙城,共用了 36 小时。已知甲城到乙城的路程是 640 千米,汽 车以每小时 32 千米的速度行驶。其余路程汽车以每小时 27 千米的速度行驶。求甲城到丙城的路程是 多少千米?(适于五年级程度) 解:可以把这道题分解成四道基本应用题。 (1)甲城到乙城的路程是 640 千米,这辆汽车以每小时 32 千米的速度行驶,要行驶多少小时? 640÷32=20(小时) (2)从甲城经过乙城到达丙城行驶 36 小时,从甲城到乙城行驶 20 小时,乙城到丙城需要行驶多少 小时? 36-20=16(小时) (3)从乙城到丙城以每小时 27 千米的速度行驶,用了 16 小时,所行的路程是多少千米? 27×16=432(千米) (4) 甲城到乙城的路程是 640 千米, 乙城到丙城的路程是 432 千米, 甲城到丙城的路程有多少千米? 640+432=1072(千米) 综合算式: 640+27×(36-640÷32) =640+27×16

=640+432 =1072(千米) 答略。 *例 5 16 人 3 天平整土地 67.2 亩。如果每人每天工作效率提高 25%,20 人平整 280 亩土地需要多 少天?(适于六年级程度) 解:(1)16 人 3 天平整土地 67.2 亩,每人每天平均平整土地多少亩? 67.2÷16+3=1.4(亩) (2)每人每天平整土地 1.4 亩,工作效率提高 25%后,每人每天平整土地多少亩? 1.4×(1+25%)=1.75(亩) (3)工作效率提高后,每人每天平整土地 1.75 亩,20 人每天平整土地多少亩? 1.75×20=35(亩) (4)20 人每天平整土地 35 亩,280 亩土地需要平整多少天? 280÷35=8(天) 综合算式: 280÷[67.2÷16÷3×(1+25%)×20)] =280÷[1.4×1.25×20] =280÷35 =8(天) 答略。

10 天完成。每天必须比以前多加工多少个零件?(适于六年级程度) 解:把这道题拆成下面的五道基本应用题:

(2) 9 天加工了 450 个零件,平均每天加工多少个? 450÷9=50(个) (3)要加工 1200 个零件,已经加工了 450 个,还剩多少个? 1200-450=750(个) (4)要在 10 天内加工剩下的 750 个零件,每天平均加工多少个? 750÷10=75(个) (5)现在平均每天加工 75 个,以前平均每天加工 50 个,现在比以前平均每天多加工多少个? 75-50=25(个) 综合算式:

=750÷10-450÷9 =75-50 =25(个) 答:现在比以前平均每天多加工 25 个。 *例 7 快、中、慢三辆车从同一地点出发,沿着同一条公路追赶前面的一个骑车人。这三辆车分别用 6 分钟、10 分钟、12 分钟追上骑车人。现在知道快车每小时行驶 24 千米,中车每小时行驶 20 千米。 慢车每小时行驶多少千米?(适于六年级程度) 解:已知慢车 12 分钟追上骑车人,先求出三辆车出发时与骑车人的距离和骑车人的速度,便可按追 及问题来解题。因此,这个问题分解成下面的六道比较简单的应用题来解(图 9-1)。

(1)已知快车、中车每小时分别行驶 24 千米、20 千米,它们 6 分钟各行驶多少千米? 快车行驶:

(2)快车在距出发点 2.4 千米的 B 处追上了骑车人,中车已行驶到了距出发点 2 千米的 A 处,这时 中车与骑车人相距多少千米? 2.4-2=0.4(千米) (3)中车 10 分钟追上骑车人,中车到 A 处已走了 6 分钟,还需几分钟才能追上骑车人? 10-6=4(分钟) (4)中车与骑车人相距 0.4 千米,中车每小时行驶 20 千米,同时出发,中车 4 分钟追上骑车人,骑 车人每小时行多少千米? 因为在追及问题中,速度差×时间=距离,设骑车人的速度是每小时行 v 千米,则得:

(5)快车与骑车人同时出发,快车与骑车人每小时分别行 24 千米、14 千米,骑车人在前,快车在 后,6 分钟快车追上骑车人,出发时快车与骑车人相距多少千米?

(6)慢车与骑车人相距 1 千米,它们同时出发,向同一个方向行驶,骑车人每小时行 14 千米,慢车 12 分钟追上骑车人,慢车每小时行驶多少千米?

因为在追及问题中,速度差×时间=距离,设慢车每小时行 v 千米,则得,
1

=5+14 =19(千米) (此题列综合算式很复杂,这里不再列出。) 答略。

第十讲

分组法

在日常生活和生产中,有些事物的数量是按照一定的规律,一组一组有秩序地出现的。只要能看出哪 些数量是同一组的,并计算出总数量中包含有多少个这样的同一组的数量,就便于计算出这一组数量 中的每一种物品各是多少个,从而解答出应用题。这种解答应用题的方法叫做分组法。 例 1 某汽车制造厂,计划在本月装配 98 辆汽车。当第一车间每装配 5 辆吉普车时,第二车间则装配 2 辆大卡车。求本月该厂装配吉普车、大卡车各多少辆?(适于五年级程度) 解:因为当第一车间每装配 5 辆吉普车时,第二车间装配 2 辆大卡车,所以在这同一时间内两个车间 一共装配汽车: 5+2=7(辆) 把 7 辆汽车看作一组,看 98 辆汽车要分成多少组: 98÷7=14(组) 因为在一组中有 5 辆吉普车、2 辆大卡车,所以本月装配吉普车: 5×14=70(辆) 本月装配大卡车: 2×14=28(辆) 答略。

例 2 80 名小学生正好做了 80 朵小红花,每名女学生做 3 朵小红花,每 3 名男学生做 1 朵小红花。求 这 80 名小学生中有男、女生各多少名?(适于五年级程度) 解:因为每名女学生做 3 朵小红花,每 3 名男学生做 1 朵小红花,所以每名女学生和每 3 名男学生共 做小红花: 3+1=4(朵) 把 4 朵小红花看作一组,看 80 朵小红花中有多少组: 80÷4=20(组) 因为做每一组花时有 1 名女生、3 名男生。所以女生人数是: 1×20=20(名) 男生人数是: 3×20=60(名) 答略。例 3 用 1000 个黑珠、白珠串成一串。珠子的排列顺序是:一个白珠、一个黑珠、两个白珠。 问这一串珠子中有多少个白珠?最后一个珠子是黑色的还是白色的?(适于五年级程度) 解:这一串珠子的排列顺序是:一白、一黑、两白,不断出现,也就是“三个白珠”与“一个黑珠” 为一组。 这 1000 个珠子可以分为多少组: 1000÷(1+3)=250(组) 因为每一组中有 3 个白珠,所以白珠的总数是: 3×250=750(个) 因为每一组最后的那个珠子是白色的,所以第 250 组最后的一个,也就是第 1000 个珠子,一定是白 色的。 答略。 例 4 院子里有一群鸡和一群兔子,共有 100 条腿。已知兔子比鸡多一只,求有多少只鸡,多少只兔 子?(适于五年级程度) 解:因为兔子比鸡多一只,所以去掉这一只兔子后,鸡兔共有腿:

100-4=96(条) 因为去掉一只兔后,鸡兔的只数一样多,所以可以把一只鸡和一只兔作为一组,每一组鸡、兔共有腿: 4+2=6(条) 一共有多少组鸡、兔,也就是有多少只鸡; 96÷6=16(组) 一共有兔: 16+1=17(只) 答:有 16 只鸡,17 只兔。 例 5 有一摞扑克牌共 60 张,都是按红桃 2 张、梅花 1 张、方片 3 张的次序摞起来的。求这一摞扑克 有红桃、梅花、方片各多少张?(适于五年级程度) 解:因为都是按红桃 2 张、梅花 1 张、方片 3 张的次序摞起的,所以可把 2 张红桃、1 张梅花、3 张 方片看作是一组,这一组共有扑克牌: 2+1+3=6(张) 60 张扑克可分为: 60÷6=10(组) 60 张牌中有红桃: 2×10=20(张) 有梅花: 1×10=10(张) 有方片: 3×10=30(张) 答略。 *例 6 某工厂召开职工代表大会,把会议室的桌凳组合起来使用。3 个人坐一条凳子,2 个人用 1 张 桌子,132 名代表正好坐满。求有桌子多少张,凳子多少条?(适于五年级程度)

解:因为 3 个人坐一条凳子,2 个人用一张桌子,所以 2 条凳子、3 张桌子组合为一组比较适当,这 一组的人数是(图 10-1):

3+3=6(人) 或 2×3=6(人)

132 名代表可分成多少组: 132÷6=22(组) 因为每一组中有 3 张桌子,所以 22 组共有桌子: 3×22=66(张) 因为每一组中有 2 条凳子,所以 22 组共有凳子: 2×22=44(条) 答略。 *例 7 蜘蛛、蝴蝶共有腿 506 条,蜘蛛的只数是蝴蝶只数的 2 倍。已知蜘蛛有 8 条腿,蝴蝶有 6 条腿。 求蜘蛛、蝴蝶各有多少只?(适于五年级程度) 解:一只蜘蛛有 8 条腿,2 只蜘蛛有腿: 8×2=16(条) 把 2 只蜘蛛和 1 只蝴蝶作为一组,它们共有腿: 16+6=22(条) 506 条腿可分成的组数: 506÷22=23(组) 因为每一组中有 2 只蜘蛛,所以 23 组中有蜘蛛: 2×23=46(只)

因为每一组中有一只蝴蝶,所以 23 组中有蝴蝶 23 只。 答略。 *例 8 三年级的小朋友用 90 张红、绿、黄三色的彩色纸做纸花。每 2 朵花用红纸 3 张,每 3 朵花用 绿纸 2 张,每 6 朵花用黄纸 5 张。最后,三色彩纸都用完。求 90 张纸中有红、绿、黄纸各多少张? (适于六年级程度)解:一朵花用红纸:

一朵花用绿纸:

一朵花用黄纸:

一朵花共用红、绿、黄三色纸:

90 张纸可做多少朵花: 90÷3=30(朵) 30 朵花用红纸:

30 朵花用绿纸:

30 朵花用黄纸:

答:90 张纸中有红纸 45 张,绿纸 20 张,黄纸 25 张。


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