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初等数论 课程教学大纲

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初等数论 课程教学大纲 Course Outline
课程基本信息(Course Information) 课程代码 (Course Code) *课程名称 (Course Title) *课程性质 (Course Type) 授课对象 (Target Audience) *授课语言 (Language of Instruction) *开课院系 (School) 先修课程 (Prerequisite) 授课教师 (Instructor) 无 李红泽 课程网址 (Course Webpage) 致远学院大一本科生 中文 数学科学学院 MA103 *学时 (Credit Hours) 32 *学分 (Credits) 2

(中文)初等数论 (英文)Elementary Number Theory 选修

*课程简介(Description)

*课程简介(Description)

数论是纯粹数学中最重要和最基本的一个数学分支。 和其他很多分支有着广泛的 联系。 本课程主要讨论丢番图方程、 同余、 二次剩余以及一些简单的数论函数等, 具有较强的逻辑性。通过本课程的学习,使学生获得数论中的同余、二次剩余、不 定方程的求解及其有关的基础知识, 并具有熟练的掌握基本的同余运算能力和解 决一些实际问题的能力 ,从而为学习后继课程及进一步扩大数学知识面 , 提高学 生素质奠定必要的基础。在讲授基本理论、基本方法的同时,我们也强调对学生 数学素养及数学能力的培养。 希望学生在学习这门课的同时能领略到数学理论 的美妙与数学思维的乐趣, 并能从基本的理论事实及简单的例子体会出所折射的 深刻的数学思想及数学内涵。 Number Theory is one of the most important and basic branch in pure mathematics, it has a widely connection with other branches. With strong abstractness and logic, it is the branch of mathematics, which mainly concerns with the Diophantine Equation, congruence, quadratic residue and arithmetic function. Its theory and methods have been widely used in other science fields. In summary, the aim of this course is to provide an introduction to the theory of Number Theory. Through studying the course, the students are expected to have a deep understand on the essence of basic concepts, basic facts and basic principles. With its strongly systematic presentation and exercises, this course also cultivates students’ various abilities, such as the ability of analyzing and solving problems and so on.

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课程教学大纲(course syllabus) 1) 了解算数基本定理、如何求最大公因数和最小公倍数。 2) 熟练掌握同余的概念,理解中国剩余定理及 U(Z/nZ)的结构、了解完全剩余 系和简化剩余系的各种构成,熟练使用欧拉定理、费尔马小定理 3) 理解一些丢番图方程,特别是简单的二元一次丢番图方程和多元一次丢番图 方程的通解的求法,理解费尔马的无穷递降法、简单的四次 Fermat 方程 4) 理解二次剩余和二次非剩余,熟练掌握二次高斯互反律及二次 Gauss 和,判 定一般二次同余方程是否有解的判定 5) 理解指数的来源和定义以及基本性质,熟悉原根的定义、性质以及存在的充 要条件,以及如何利用原根来研究简单的高次同余方程 6) 了解数论函数、可乘数论函数的基本性质,素数分布的一些最简单结论,可 以掌握素数定理的的一些最基本结论的证明,了解除数问题和园内整点问题 的基本结论 教学内容 整除的概念、 带余数除法、 最大公因数 和最小公倍 数、欧几里得 辗转相除法、 算数基本定 理 学时 教学方式 作业及要求 题量 5-8, 通过作业使 学生熟练掌 握带余除 法、辗转相 除法、求最 大公因数和 最小公倍 数、算数基 本定理 题量 5-8, 通过作业使 学生熟练掌 握求解二元 一次不定方 程、多元一 次不定方程 的通解、理 解费尔马递 降法、掌握 勾股数的通 解公式 题量 10-15, 通过作业使 学生熟练掌 握同余的概 念、完全剩 余系以及简 基本要求 理解并熟 练掌握辗 转相除 法、带余 除法并用 来求最大 公因数、 算数基本 定理 理解求解 二元一次 不定方 程、多元 一次不定 方程的通 解的基本 方法、理 解费尔马 递降法、 掌握勾股 数的通解 公式 理解同余 的概念、 可以熟练 应用完全 剩余系以 及简化剩 考查方式

*学习目标(Learning Outcomes)

4

课堂教学

作业

*教学内容、进度安排及 要求 (Class Schedule &Requirements) 二元一次不 定方程、多元 一次不定方 程、勾股数以 及费尔马问 题简单介绍

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课堂教学

作业

同余的概念、 剩余类及完 全剩余系、简 化剩余系及 欧拉函数、欧 拉定理及费

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课堂教学

作业

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尔马小定理 及其应用

化剩余系、 欧拉函数的 基本性质、 欧拉定理以 及费尔马小 定理,并可 以讨论研究 无限小数的 纯循环和混 循环 题量 8-10, 通过作业使 学生熟练掌 握一次同余 方程、高次 同余方程的 求解以及讨 论一般的高 次同余方程 的解数 题量 10-15, 通过作业使 学生熟练掌 握如何判定 一般二次同 余有解的判 定条件,熟 练使用二次 互反律 题量 6-8, 通过作业使 学生熟练掌 握指数及其 基本性质, 原根的存在 性及其基本 性质,以及 高次剩余 题量 6-8, 通过作业使 学生熟练掌 握一些简单 的数论函 数、可以使

余系、欧 拉函数的 基本性 质、欧拉 定理以及 费尔马小 定理

一次同余方 程、中国剩余 定理、高次同 余方程的解 数及解法、素 数模的同余 方程

4

课堂教学

理解同余 方程的 解、高次 同余方程 是否有界 以及解的 个数的简 单判定 理解勒让 德符号、 雅可比符 号的计算 和性质, 判定理解 一般二次 同余方程 的 理解指数 的定义及 其基本性 质,原根 的存在性 及其基本 性质和来 源,以及 高次剩余 理解数论 函数、数 论函数的 可乘性

作业

一般二次同 余方程、素数 的平方剩余 和平方非剩 余、勒让德符 号介绍、高斯 二次互反律、 雅可比符号 介绍

6

课堂教学

作业

指数及其基 本性质、原根 存在定理、指 标及高次剩 余

4

课堂教学

作业

一些简单的 数论函数、可 乘函数、素数 定理的初步 探讨

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课堂教学

作业

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用数论函数 的可乘性来 研究一些简 单的数论函 数均值

*考核方式 (Grading) *教材或参考资料 (Textbooks & Other Materials) 其它 (More) 备注 (Notes)

(成绩构成) 作业、平时表现 20%+期末考试 80% [1]闵嗣鹤、严士健,初等数论,高等教育出版社。 [2]潘承洞,数论基础,高等教育出版社。 [3] H. Davenport, The Higher Arithmetic, Cambridge University Press.

备注说明: 1.带*内容为必填项。 2.课程简介字数为 300-500 字;课程大纲以表述清楚教学安排为宜,字数不限。

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