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2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(海南宁夏卷·文科)(附答案,完全word版)

2008 年普通高等学校招生全国统一考试(宁夏卷) 文科数学
数学(文)试题头说明: 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22~23 题为 选考题,其它题为必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上.在本试卷上答题无效.考 试结束,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓 名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号;非 选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损. 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号 涂黑. 参考公式: 样本数据 x1,x2,?,xn 的标准参 锥体体积公式 s=
1 ? ( x1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? … ? ( x n ? x ) ? ? n ?
2 2 2

V=

1 3

Sh

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式 V=Sh 其中 S 为底面面积,h 为高

其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积、体积公式
S ? 4 ? R ,V ?
2

4 3

?R

3

其中 R 为球的半径

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知集合 M ? ? x ( x ? 2 )( x ? 1) ? 0 ? , N ? ? x x ? 1 ? 0 ? ,则 M ? N ? (
1) A. ( ? 1,
2 2



1) B. ( ? 2,

? C. ( ? 2, 1)

2 D. (1, )

2.双曲线

x

?

y

? 1 的焦距为(



10

2

A. 3 2

B. 4 2
z
2

C. 3 3

D. 4 3

3.已知复数 z ? 1 ? i ,则 A. 2 B. ? 2

z ?1

?(

) D. ? 2 i

C. 2 i

第 1 页 共 10 页

4.设 f ( x ) ? x ln x ,若 f ? ( x 0 ) ? 2 ,则 x 0 ? ( A. e
2

) 开始 输入 a, b, c
x ? a
b ? x

B. e

C.

ln 2 2

D. ln 2

? ? 5.已知平面向量 a ? (1, 3) , b ? ( 4, 2 ) , ? a ? b 与 a 垂直,

则? ? ( ) A. ? 1 B. 1 C. ? 2 D. 2 6.右面的程序框图,如果输入三个实数 a,b,c,要求输出这三 个数中最大的数,那么在空白的判断框中,应该填入下面四个选 项中的( ) A. c ? x B. x ? c C. c ? b D. b ? c


x ? b

否 是

否 输出 x 结束
2 3) 7.已知 a1>a2>a3>0,则使得 (1 ? a i x ) ? 1( i ? 1,, 都成立的 x 取值范围是(
2

x ? c



A. ? 0, ?
? a1 ?

?

1 ?

B. ? 0, ?
? a1 ?

?

2 ?

C. ? 0, ?
? a3 ?
S4 a2

?

1 ?

D. ? 0, ?
? a3 ?

?

2 ?

8.设等比数列 ? a n ? 的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则
15 2

=(



A. 2

B. 4

C.

D.

17 2

9.平面向量 a,b 共线的充要条件是( A.a,b 方向相同 B.a,b 两向量中至少有一个为零向量 C.? ? ? R , b ? ? a



D.存在不全为零的实数 ? 1 , ? 2 , ? 1 a ? ? 2 b ? 0 10.点 P ( x, y ) 在直线 4 x ? 3 y ? 0 上,且 x, y 满足 ? 1 4 ≤ x ? y ≤ 7 ,则点 P 到坐标原点 距离的取值范围是(
5 A. ? 0,?


1 C. ? 5,0 ? 1 D. ? 5,5 ?

1 B. ? 0,0 ?

11.函数 f ( x ) ? co s 2 x ? 2 sin x 的最小值和最大值分别为( A. ? 1 , 1 B. ? 2 , 2 C. ? 3 ,
3 2


3 2

D. ? 2 ,

12.已知平面 ? ? 平面 ? , ? ? ? ? l ,点 A ? ? , A ? l ,直线 A B ∥ l ,直线 A C ? l ,

第 2 页 共 10 页

直线 m ∥ ? , m ∥ ? ,则下列四种位置关系中,不一定成立的是( ... A. A B ∥ m B. A C ? m C. A B ∥ ? D. A C ? ?



第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 做答.第 22 题~第 23 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知 ? a n ? 为等差数列, a 1 ? a 3 ? 2 2 , a 6 ? 7 ,则 a 5 ? .

14.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面 上,且该六棱柱的高为 3 ,底面周长为 3,则这个球的体积为
x
2



15.过椭圆

?

y

2

? 1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A, B 两点, O 为坐标

5

4

原点,则 △ O A B 的面积为 . 16.从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度(单位:mm) ,结果如下: 甲品种:271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352 乙品种:284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356 由以上数据设计了如下茎叶图 甲 7 5 5 8 7 3 9 8 5 7 3 5 4 3 4 5 4 1 0 2 1 0 3 1 2 27 28 29 30 31 32 33 34 35 4 2 4 2 0 1 3 6 乙

5 6 3 2 3

7 5 5 6 8 8 2 4 7 9 6 7

根据以上茎叶图,对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较,写出两个统计结论: ① ; ② . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)
∠ △ △ 如图, A C D 是等边三角形, A B C 是等腰直角三角形, A C B ? 9 0 ,B D 交 A C 于 E ,
?

AB ? 2 .

(Ⅰ)求 cos ∠ C A E 的值;

第 3 页 共 10 页

(Ⅱ)求 A E . D C E A B

18. (本小题满分 12 分) 如下的三个图中, 上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图. 它的正视图和俯视 图在下面画出(单位:cm) (Ⅰ)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (Ⅱ)按照给出的尺寸,求该多面体的体积; (Ⅲ)在所给直观图中连结 B C ? ,证明: B C ? ∥ 面 E F G .
D?
C?

G E D A

F

2

6

2 2 4

B?

C B 4

19. (本小题满分 12 分) 为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调查部门对某校 6 名学 生进行问卷调查.6 人得分情况如下: 5,6,7,8,9,10. 把这 6 名学生的得分看成一个总体. (Ⅰ)求该总体的平均数; (Ⅱ)用简单随机抽样方法从这 6 名学生中抽取 2 名,他们的得分组成一个样本.求该样本 平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率.

20. (本小题满分 12 分) 已知 m ? R ,直线 l : m x ? ( m ? 1) y ? 4 m 和圆 C : x ? y ? 8 x ? 4 y ? 1 6 ? 0 .
2 2 2

(Ⅰ)求直线 l 斜率的取值范围; (Ⅱ)直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为
1 2

的两段圆弧?为什么?

第 4 页 共 10 页

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) ? a x ?
b x

,曲线 y ? f ( x ) 在点 ( 2, f ( 2 )) 处的切线方程为 7 x ? 4 y ? 1 2 ? 0 .

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)证明:曲线 y ? f ( x ) 上任一点处的切线与直线 x ? 0 和直线 y ? x 所围成的三角形面 积为定值,并求此定值.

请考生在第 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,过圆 O 外一点 M 作它的一条切线,切点为 A ,过 A 点作直线 A P 垂直直线 O M , 垂足为 P . (Ⅰ)证明: O M ?O P ? O A ;
2

(Ⅱ) N 为线段 A P 上一点,直线 N B 垂直直线 O N ,且交圆 O 于 B 点.过 B 点的切线交 直线 O N 于 K .证明:∠ O K M ? 9 0 .
?

B A N P

K M

O

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4;坐标系与参数方程
? 2 t? ?x ? ? x ? cos ? , ? 2 已知曲线 C1: ? ( ? 为参数) ,曲线 C2: ? ? y ? s in ? 2 ? y ? ? ? 2 2,

(t 为参数) .

(Ⅰ)指出 C1,C2 各是什么曲线,并说明 C1 与 C2 公共点的个数; (Ⅱ)若把 C1,C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线 C 1?, C 2 ? .写出
C 1?, C 2 ? 的参数方程. C 1? 与 C 2 ? 公共点的个数和 C 1 与 C 2 公共点的个数是否相同?说明你

的理由.

第 5 页 共 10 页

2008 年普通高等学校招生全国统一考试(宁夏卷) 文科数学试题参考答案和评分参考
评分说明: 1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主 工考查内容比照评分参考制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一 半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数.选择题不给中间分. 一、选择题: 1.C 2.D 3.A 4.B 5.A 6.A 7.B 8.C 9.D 10.B 11.C 12.D 二、填空题: 13. 1 5 14.
4 3 ?

15.

5 3

16. (1)乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度(或:乙品种棉花的纤 维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度) . (2)甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散. (或:乙品种棉花的纤维长度 较甲品种棉花的纤维长度更集中(稳定) .甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花 的纤维长度的分散程度更大) . (3) 甲品种棉花的纤维长度的中位数为 307mm, 乙品种棉花的纤维长度的中位数为 318mm. (4)乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的,而且大多集中在中间(均值附近) .甲品种棉 花的纤维长度除一个特殊值(352)外,也大致对称,其分布较均匀. 注:上面给出了四个结论.如果考生写出其他正确答案,同样给分. 三、解答题 17.解: (Ⅰ)因为∠ B C D ? 9 0 ? 6 0 ? 1 5 0 , C B ? A C ? C D , 所以∠ C B E ? 1 5 .
6 ? 4 2
? ? ? ?

所以 c o s ∠ C B E ? c o s ( 4 5 ? 3 0 ) ? (Ⅱ)在 △ A B E 中, A B ? 2 , 由正弦定理
AE s in ( 4 5 ? 1 5 )
? ?

?

?

. ··········· ··········· 分 ··········· ·········· · ·········· ··········· 6

?

2 s in (9 0 ? 1 5 )
? ?



故 AE ?

2 s in 3 0 cos 15
?

?

2? ? 6 ? 4

1 2 2
? 6 ? 2 . ······················· 12 分 ··········· ·········· ·· ·········· ··········· ··

第 6 页 共 10 页

18.解: (Ⅰ)如图 2 6 4 (正视图) 4 (侧视图) 2 2 4 2 2 (俯视图) 6

··········· ··········· ········· 分 ··········· ·········· ·········· ·········· ··········· ········· 3 (Ⅱ)所求多面体体积
V ? V长 方 体 ? V正 三 棱 锥
1 ?1 ? ?? ? 2? 2?? 2 3 ?2 ?
D?
C?

? 4?4?6 ?

?

284 3

( c m ) . ··········· ··········· ··· 分 ··········· ·········· ··· 7 ·········· ··········· ···

2

G
A?

B? (Ⅲ)证明:在长方体 A B C D ? A ? B ?C ?D ? 中, 连结 A D ? ,则 A D ? ∥ B C ? . E D 因为 E , G 分别为 A A ? , A ? D ? 中点, C 所以 A D ? ∥ E G , A B 从而 E G ∥ B C ? .又 B C ? ? 平面 E F G , 所以 B C ? ∥ 面 E F G . ··································· 12 分 ··········· ·········· ··········· ··· ·········· ··········· ··········· ··· 19.解: (Ⅰ)总体平均数为
1 6 (5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 1 0 ) ? 7 .5 . ······························ 4 分 ··········· ·········· ········· ·········· ··········· ·········

F

(Ⅱ)设 A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5” .
(5 6 (5 7 (5 8 (5 9 (5 1 ( 7 从总体中抽取 2 个个体全部可能的基本结果有: ,) , , ) , ,) , ,) , ,0 ) , 6, ) , (6,) , (6,) , ( 6,0 ) , (7,) , ( 7 , ) , (7,0 ) , (8,) , (8,0 ) , (9,0 ) .共 15 个基本结 8 9 1 8 9 9 1 1 1

果.
9 1 8 9 1 8 9 事件 A 包括的基本结果有: (5,) , (5,0 ) , (6,) , (6,) , ( 6,0 ) , (7,) , ( 7 , ) .共有

7 个基本结果. 所以所求的概率为
P ( A) ? 7 15

. ········································ 12 分 ··········· ·········· ··········· ········ ·········· ··········· ··········· ········

20.解: (Ⅰ)直线 l 的方程可化为 y ? 直线 l 的斜率 k ?
m m ?1
2

m m ?1
2

x?

4m m ?1
2



, ··········· ··········· ·········· ·· 分 ··········· ·········· ··········· ·· ·········· ··········· ··········· · 2

第 7 页 共 10 页

因为 m ≤

1 2

( m ? 1) ,
2

所以 k ?

m m ?1
2



1 2

,当且仅当 m ? 1 时等号成立.

所以,斜率 k 的取值范围是 ? ? , ? . ··························· 分 ··········· ·········· ······ ·········· ··········· ····· 5 ? 2 2? (Ⅱ)不能. ········································· 分 ··········· ·········· ··········· ········· ·········· ··········· ··········· ········ 6 由(Ⅰ)知 l 的方程为
y ? k ( x ? 4 ) ,其中 k ≤

?

1 1?

1 2



? 圆 C 的圆心为 C ( 4, 2 ) ,半径 r ? 2 .

圆心 C 到直线 l 的距离
d ? 2 1? k
1 2
2

. ··········· ··········· ·········· ········ 分 ··········· ·········· ··········· ········ ·········· ··········· ··········· ······· 9

由k ≤

,得 d ≥

4 5

? 1 ,即 d ?

r 2

.从而,若 l 与圆 C 相交,则圆 C 截直线 l 所得的弦

所对的圆心角小于

2? 3


1 2

所以 l 不能将圆 C 分割成弧长的比值为 21.解:

的两段弧.···················12 分 ··········· ········ ·········· ········

(Ⅰ)方程 7 x ? 4 y ? 1 2 ? 0 可化为 y ? 当 x ? 2 时, y ? 又 f ?( x ) ? a ?
b x
2

7 4

x?3.

1 2

. ··········· ··········· ·········· ···· 2 分 ··········· ·········· ··········· ···· ·········· ··········· ··········· ····



b 1 ? 2a ? ? , ? ? a ? 1, ? 2 2 于是 ? 解得 ? ?b ? 3. ?a ? b ? 7 , ? ? 4 4

故 f (x) ? x ?

3 x

. ··········· ··········· ·········· ······ 6 分 ··········· ·········· ··········· ······ ·········· ··········· ··········· ······
3 x
2

(Ⅱ)设 P ( x 0, y 0 ) 为曲线上任一点,由 y ? ? 1 ?
? 3 ? y ? y0 ? ? 1 ? 2 ? ( x ? x0 ) , x0 ? ?

知曲线在点 P ( x 0, y 0 ) 处的切线方程为

第 8 页 共 10 页

即 y ? ? x0 ?
?

?

3 ? ? 3 ? ? ? ? 1 ? 2 ? ( x ? x0 ) . x0 ? ? x0 ?
6 x0

令x ? 0 得y ? ?

? ,从而得切线与直线 x ? 0 的交点坐标为 ? 0, ?

?

6 ? ?. x0 ?

2 令 y ? x 得 y ? x ? 2 x 0 ,从而得切线与直线 y ? x 的交点坐标为 ( 2 x 0, x 0 ) . ······ 分 ····· 10 ·····

所以点 P ( x 0, y 0 ) 处的切线与直线 x ? 0 , y ? x 所围成的三角形面积为
1 2 ? 6 x 2 x0 ? 6 .

故曲线 y ? f ( x ) 上任一点处的切线与直线 x ? 0 , y ? x 所围成的三角形的面积为定值,此 定值为 6 . ·········································· 分 ········································· 12 ·········· ··········· ··········· ········· 22.解: (Ⅰ)证明:因为 M A 是圆 O 的切线,所以 O A ? A M . 又因为 A P ? O M ,在 R t △ O A M 中,由射影定理知,
O A ? O M ?O P .······································ 5 分 ··········· ·········· ··········· ······ ·········· ··········· ··········· ······
2

(Ⅱ)证明:因为 B K 是圆 O 的切线, B N ? O K . 同(Ⅰ) ,有 O B ? O N ?O K ,又 O B ? O A ,
2

所以 O P ?O M ? O N ?O K ,即 又∠ N O P ? ∠ M O K ,

ON OP

?

OM OK



所以 △ O N P ∽ △ O M K ,故∠ O K M ? ∠ O P N ? 9 0 . ················ 10 分 ··········· ····· ·········· ······ 23.解: (Ⅰ) C 1 是圆, C 2 是直线. ································ 2 分 ··········· ·········· ··········· ·········· ··········· ···········
C 1 的普通方程为 x ? y ? 1 ,圆心 C 1 ( 0, ) ,半径 r ? 1 . 0
2 2

?

C 2 的普通方程为 x ? y ?

2 ? 0. 2 ? 0 的距离为 1 ,

因为圆心 C 1 到直线 x ? y ?

所以 C 2 与 C 1 只有一个公共点.······························· 4 分 ··········· ·········· ·········· ·········· ··········· ·········· (Ⅱ)压缩后的参数方程分别为

第 9 页 共 10 页

? x ? cos ? , ?:? C1 ( ? 为参数) ? 1 ? y ? s in ? ? 2

? 2 t? ?x ? 2 ? :? C2 ? 2 ? y ? ? ? 4
1 2 x?

2,

(t 为参数) ········· 8 分 ········· ·········

2 2 化为普通方程为: C 1? : x ? 4 y ? 1 , C 2 ? : y ?

2 2



联立消元得 2 x ? 2 2 x ? 1 ? 0 ,
2

其判别式 ? ? ( 2 2 ) ? 4 ? 2 ? 1 ? 0 ,
2

所以压缩后的直线 C 2 ? 与椭圆 C 1? 仍然只有一个公共点,和 C 1 与 C 2 公共点个数相同. ·········································10 分 ··········· ·········· ··········· ········· ·········· ··········· ··········· ········

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