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1、函数定义域、值域求法总结

函数定义域、值域求法总结
一、定义域是函数 y=f(x)中的自变量 x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于 0。 (4)指数、对数的底数大于 0,且不等于 1 (5)y=tanx 中 x≠kπ +π /2;y=cotx 中 x≠kπ 等等。 ( 6 ) x0 中 x? 0 二、值域是函数 y=f(x)中 y 的取值范围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元) (7)分离常数法 (8)判别式法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 (3)函数单调性法 (6)反函数法(逆求法) (9)复合函数法

三、典例解析 1、定义域问题
例 1 求下列函数的定义域: ① f (x) ?
1 x?2

;② f ( x ) ?
1 x?2

3 x ? 2 ;③ f ( x ) ?

x ?1 ?

1 2? x

解:①∵x-2=0,即 x=2 时,分式 而 x ? 2 时,分式
1 x?2 2 3

无意义,

有意义,∴这个函数的定义域是 ?x | x ? 2 ? .

②∵3x+2<0,即 x<-

时,根式 3 x ? 2 无意义,
2 3

而 3 x ? 2 ? 0 ,即 x ? ?

时,根式 3 x ? 2 才有意义,
2 3

∴这个函数的定义域是{ x | x ? ?

}.
1 2? x

③∵当 x ? 1 ? 0 且 2 ? x ? 0 ,即 x ? ? 1 且 x ? 2 时,根式 x ? 1 和分式 ∴这个函数的定义域是{ x | x ? ? 1 且 x ? 2 } 另解:要使函数有意义,必须: 例 2 求下列函数的定义域: ① f (x) ?
4? x
2

同时有意义,

?x ?1? 0 ? x ? ?1 ? ? ? ? x ? 2 ?2 ? x ? 0

?1

② f (x) ?

x ? 3x ? 4
2

x ?1 ? 2

1

③ f ( x) ?
1?

1 1 1? 1 x

④ f (x) ?

( x ? 1)

0

x ? x

⑤y ?

x?2 ?3 ?

1
3

3x ? 7
2

解:①要使函数有意义,必须: 4 ? x ? 1 ∴函数 f ( x ) ?
4? x
2

即: ?

3 ? x ?

3

? 1 的定义域为: [ ? 3 , 3 ]
?x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ? x ? 4或 x ? ? 1 ? ? ? x ? ? 3且 x ? 1 ? x ?1 ? 2 ? 0

②要使函数有意义,必须: ?

? x ? ? 3或 ? 3 ? x ? ? 1或 x ? 4

∴定义域为:{ x| x ? ? 3或 ? 3 ? x ? ? 1或 x ? 4 }
? x ? 0 ? ? 1 ? ③要使函数有意义,必须: ? 1 ? ? 0 ? x ? ? 1? 1 ? 0 1 ? 1? ? x 1 ∴函数的定义域为: { x | x ? R 且 x ? 0 , ? 1, ? } 2

? x ? 0 ? ? x ? ?1 1 ? ? x ? ? 2

④要使函数有意义,必须:

? x ?1? 0 ? ?x ? x ? 0

? x ? ?1 ? ? ? x ? 0

∴定义域为: ?x | x ? ? 1或 ? 1 ? x ? 0 ?
?x?2 ?3? 0 ⑤要使函数有意义,必须: ? ? 3x ? 7 ? 0

? x? R ? 7 ? ? x ? ? ? 3 ?
7

即 x< ?

7 3

或 x> ?

7 3

∴定义域为: { x | x ? ? }
3

例 3 若函数 y ?

ax

2

? ax ?

1 a

的定义域是 R,求实数 a 的取值范围
1 a ? 0 恒成立,

王新敞
奎屯

新疆

解:∵定义域是 R,∴ ax ? ax ?
2

a ?0 ? ? 1 等价于 ? ? 0? a ? 2 ∴ 2 ? ? a ? 4a ? ? 0 ? a ?

例 4 若函数 y ? f ( x ) 的定义域为[?1,1],求函数 y ? f ( x ? 解:要使函数有意义,必须:
2

1 4

) ? f (x ?

1 4

) 的定义域

王新敞
奎屯

新疆

1 ? ?? 1 ? x ? 4 ? 1 ? ? 1 ?? 1 ? x ? ? 1 4 ?

? ?? ? ?? ?

5 4 3 4
1

? x ? ? x ?

3 4 ? ?3 ? x ? 3 5 4 4 4

∴函数 y ? f ( x ?

1 4

) ? f (x ?

3 3? ? ) 的定义域为: ? x | ? ? x ? ? 4 4 4? ?

例 5 已知 f(x)的定义域为[-1,1],求 f(2x-1)的定义域。

分析:法则 f 要求自变量在[-1,1]内取值,则法则作用在 2x-1 上必也要求 2x-1 在 [-1,1] 内取值, 即-1≤2x-1≤1,解出 x 的取值范围就是复合函数的定义域; 或者从位置上思考 f(2x -1)中 2x-1 与 f(x)中的 x 位置相同,范围也应一样,∴-1≤2x-1≤1,解出 x 的取值范围 就是复合函数的定义域。 (注意:f(x)中的 x 与 f(2x-1)中的 x 不是同一个 x,即它们意义不同。 ) 解:∵f(x)的定义域为[-1,1], ∴-1≤2x-1≤1,解之 0≤x≤1, ∴f(2x-1)的定义域为[0,1]。
例 6 已知已知 f(x)的定义域为[-1,1],求 f(x )的定义域。
2

答案:-1≤x2≤1 ? x2≤1 ? -1≤x≤1

练习:设 f ( x ) 的定义域是[?3, 2 ],求函数 f ( x ? 2 ) 的定义域
解:要使函数有意义,必须: ? 3 ? ∵
x ≥0

王新敞
奎屯

新疆

x ?2? 2

2

得: ? 1 ?

x ? 2?

2

∴ 0?

x ? 2?

0? x ? 6?4 2

∴ 函数 f ( x ? 2 ) 的定域义为: x | 0 ? x ? 6 ? 4 2 例 7 已知 f(2x-1)的定义域为[0,1],求 f(x)的定义域

?

?

因为 2x-1 是 R 上的单调递增函数,因此由 2x-1, x∈[0,1]求得的值域[-1,1]是 f(x)的定义域。 已知 f(3x-1)的定义域为[-1,2) ,求 f(2x+1)的定义域。 ? ? (提示:定义域是自变量 x 的取值范围) 练习: 已知 f(x2)的定义域为[-1,1],求 f(x)的定义域
若 y ? f ? x ? 的定义域是 ? 0 , 2 ? ,则函数 f ? x ? 1 ? ? f ? 2 x ? 1 ? 的定义域是 A. ? ? 1,1 ? 已知函数 f ? x ? ?
1? x 1? x 5 2 ,2 )


? ? 1? ?



B ??
?

?

1 1? , 2 2? ?

C. ? ,1 ? 2
? ?

?1

?

D. ? 0 , ? 2 ( )

的定义域为A,函数 y ? f ? f ? x ? ? 的定义域为B,则 ? ? B.B ? A C. A ? B ? B D. A ? B

A. A ? B ? B

3

2、求值域问题
利用常见函数的值域来求(直接法) 一次函数 y=ax+b(a ? 0)的定义域为 R,值域为 R; 反比例函数 y ?
k x ( k ? 0 ) 的定义域为{x|x ? 0},值域为{y|y ? 0};

二次函数 f ( x ) ? ax 2 ? bx ? c ( a ? 0 ) 的定义域为 R, 当 a>0 时,值域为{ y | 例1 求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1 ? x ? 1) ③ y ? x?
1 x
y? ( 4 ac ? b )
2

};当 a<0 时,值域为{ y |

y?

( 4 ac ? b )
2

}.

4a

4a

② f (x) ? ?

2 (1 ? x ? 3) 3x

(记住图像)

解:①∵-1 ? x ? 1,∴-3 ? 3x ? 3, ∴-1 ? 3x+2 ? 5,即-1 ? y ? 5,∴值域是[-1,5] ②略 ③ 当 x>0,∴ y ? x ?
1 x

=( x ?

1 x

) ? 2 ? 2,
2

当 x<0 时, ? ? ( ? x ? y

1 ? x

) =- ( ? x ?

1 ? x

) ? 2 ? ?2
2

4
王新敞
奎屯 新疆

3

∴值域是 ( ?? , ? 2 ] ? [2,+ ? ).(此法也称为配方法)
-6

f?x? = x+
-4 -2

1 2 x -1 o
2 1 -1 -2 -3

y=x 1 -2
2 4 6

函数 y ? x ?

1 x

的图像为:

-4

二次函数在区间上的值域(最值): 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域: ① y ? x2 ? 4x ? 1; ③ y ? x 2 ? 4 x ? 1, x ? [ 0 ,1] ;
2 2

② y ? x 2 ? 4 x ? 1, x ? [ 3 , 4 ] ; ④ y ? x 2 ? 4 x ? 1, x ? [ 0 ,5 ] ;
y 3 2 1 -2 -1 O -1 -2 -3 1 2 3 4 5 6 x

解:∵ y ? x ? 4 x ? 1 ? ( x ? 2 ) ? 3 ,∴顶点为(2,-3),顶点横坐标为 2. ①∵抛物线的开口向上,函数的定义域 R, ∴x=2 时,ymin=-3 ,无最大值;函数的值域是{y|y ? -3 }.
4

②∵顶点横坐标 2 ? [3,4], 当 x=3 时,y= -2;x=4 时,y=1; ∴在[3,4]上, y min =-2, y max =1;值域为[-2,1]. ③∵顶点横坐标 2 ? [0,1],当 x=0 时,y=1;x=1 时,y=-2, ∴在[0,1]上, y min =-2, y max =1;值域为[-2,1]. ④∵顶点横坐标 2 ? [0,5],当 x=0 时,y=1;x=2 时,y=-3, x=5 时,y=6, ∴在[0,1]上, y min =-3, y max =6;值域为[-3,6]. 注:对于二次函数
f ( x ) ? ax
2

? bx ? c ( a ? 0 ) ,

⑴若定义域为 R 时, ①当 a>0 时,则当 x ? ? ②当 a<0 时,则当 x ? ?
b 2a b 2a

时,其最小值 y min 时,其最大值 y max

?

( 4 ac ? b )
2

; .

4a

?

( 4 ac ? b )
2

4a

⑵若定义域为 x ? [a,b],则应首先判定其顶点横坐标 x0 是否属于区间[a,b]. ①若 x 0 ? [a,b],则 f ( x 0 ) 是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时, 再比较 f ( a ), f ( b ) 的大小决定函数的最大(小)值. ②若 x 0 ? [a,b],则[a,b]是在 f ( x ) 的单调区间内,只需比较 f ( a ), f ( b ) 的大小即可决定函数的最大(小)值. 注:①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值; ②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.

练习:1、求函数 y=3+√(2-3x)的值域 解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0, 故 3+√(2-3x)≥3。 ∴函数的值域为
2

?3 , ?? ?

.

2、求函数 y ? x ? 2 x ? 5 , x ? ?0 ,5 ? 的值域 解: ? 对称轴 x ? 1 ? ?0 ,5 ?
? x ? 1时 , y min ? 4 x ? 5时 , y max ? 20 ? 值域为

?4 , 20 ?

例 3 求函数 y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。
5

解:法一: (单调性法)设 f(x)=4x,g(x)= -√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数,从而 y=f(x)+g(x)= 4x -√1-3x 在定义域为 x≤1/3 上也为增函数,而且 y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此, 所求的函数值域为{y|y≤4/3} 。 小结:利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性,求出其 函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域。 练习:求函数 y=3+√4-x 的值域。(答案: {y|y≥3}) 法二:换元法(下题讲)

例4

求函数 y ? x ? 2 1 ? x 的值域

2 解: (换元法)设 1 ? x ? t ,则 y ? ? t ? 2 t ? 1 ( t ? 0 )

? 对称轴 t ? 1 ? ?0 , ?? ? , 且开口向下 ? 当 t ? 1时 ,y max ? 2 ? 值域为

?? ? ,2 ?

点评:将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函数的值域。这种 解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。 练习:求函数 y=√x-1 –x 的值域。 (答案: {y|y≤-3/4} 例5 (选)求函数 y ?
x?3 ? 5? x

的值域

解: (平方法)函数定义域为: x ? ?3 ,5 ?
y
2

? ( x ? 3 ) ? ( 5 ? x ) ? 2 ? x ? 8 x ? 15
2 2

由 x ? ?3 , 5 ? , 得 ? x ? 8 x ? 15 ? ?0 ,1? ? y ? ?2 , 4 ?
2

? 原函数值域为

?

2 ,2

?
1 ? x 的值域
2

例6

(选不要求)求函数 y ? x ? 解: (三角换元法) ?

?1 ? x ? 1

?设

x ? cos ?

? ? ?0 , ? ?

y ? cos ? ? sin ? ? cos ? ? sin ? ? ? 原函数的值域为

2 sin( ? ?

?
4

) ? ? 1,

?

2

?

?? 1 ,
?
2

2

?

小结: (1)若题目中含有 a ? 1 ,则可设
a ? sin ? , ?

?
2

?? ?
2

( 或设 a ? cos ? , 0 ? ? ? ? )
2

(2)若题目中含有 a ? b ? 1
2

则可设 a ? cos ? , b ? sin ?

,其中 0 ? ? ? 2?

(3)若题目中含有 1 ? x ,则可设 x ? cos ? ,其中 0 ? ? ? ? (4)若题目中含有 1 ? x ,则可设 x ? tan ? ,其中 ?
2

?
2

?? ?

?
2

6

(5)若题目中含有 x ? y ? r ( x ? 0 , y ? 0 , r ? 0 ) ,则可设 x ? 其中 ? ? ? 0 ,
? ?

r cos

2

? ,y ?

r sin ?
2

? ?
? 2?

例7

求y ? x ?3 ? x ?1

的值域 4 如图, -1 -4 0

y

, x ? ?1 ?4 ? 解法一: (图象法)可化为 y ? ? 2 ? 2 x , ? 1 ? x ? 3 ?? 4 , x ? 3 ?

1

3

x

观察得值域 ? y ? 4 ? y ? 4 ? 解法二: (零点法)画数轴 利用 a ? b 表示实数 a , b 在数轴上的距离

可得。

-1

x

0

3

解法三: (选) (不等式法)
? x ? 3 ? x ? 1 ? ( x ? 3 ) ? ( x ? 1) ? 4 x ? 3 ? x ? 1 ? ( x ? 1) ? 4 ? x ? 1 ? x ? 1 ? 4 ? x ? 1 ? ? 4

同样可得值域

练习: y ? x ? x ? 1 的值域呢? 例8 求函数 y ? 9 ? 3 ? 2
x x

( ?1, ? ? ? ) (三种方法均可)

( x ? ?0 ,1? ) 的值域

解: (换元法)设 3 ? t ,则 1 ? t ? 3 原函数可化为
x

y ? t ? t ? 2 , ? 对称轴 t ?
2

1 2

? ?1, 3 ?

? t ? 1 时 , y min ? 2 ; t ? 3 时 , y max ? 8 ? 值域为
?1? 例 9 求函数 y ? ? ? ?3?
? x ?2x
2

?2 , 8 ?
的值域
t

?1? 解: (换元法)令 t ? ? x ? 2 x ? ? ( x ? 1) ? 1 ,则 y ? ? ? ( t ? 1) ?3?
2 2

y
?1 ? 由指数函数的单调性知,原函数的值域为 ? , ?? ? ?3 ?

1 例 10 求函数 y ? 2
x

( x ? 0 ) 的值域

解: (图象法)如图,值域为 ? 0 ,1 ?
7

0

x

例 11

求函数 y ?

x ?1 x? 2

的值域
1? 2y 1? y

解法一: (逆求法) 解出 x , x ?

观察得 原函数值域为

?y

y ? 1?

解法二: (分离常数法)由 y ? 小结:已知分式函数 y ?

x?2?3 x?2

?1?

3 x?2

? 1 ,可得值域 ?y y ? 1?

ax ? b cx ? d

( c ? 0 ) ,如果在其自然定义域(代数式自身对变量的要求)内,值域为

? a? , ?y y ? ? ;如果是条件定义域(对自变量有附加条件) 采用部分分式法将原函数化为 c? ?
b? ? ad ( ad ? bc ) ,用复合函数法来求值域。

y ?

a c

c cx ? d

例 12

求函数 y ?

3
x

x

3 ?1

的值域

解法一: (逆求法)? 3 ?
x

y 1? y

? 0

?0 ? y ?1

? 原 函 数 的 值 域 为 ?0 ,1 ?
1 t

小结:如果自变量或含有自变量的整体有确定的范围,可采用逆求法。 解法二: (换元法)设 3 ? 1 ? t
x
x


1 3 ?1
x

则y ?

3 ?1?1 3 ?1
x

?1?
1 t

?1?

1 t

?t

? 1?

1 0 1
t

? t ?1

?0 ?

?1

?0 ? y ?1

? 原函数的值域为
2 ?1
x

?01 ?

练习:y=

2 ?1
x

; (y∈(-1,1)).??

例 13 函数 y ?

x ?1
2

x ?1
2

的值域
1? y 1? y

2 t

解法一: (逆求法)? x ?
2

? 0

? ?1 ? y ? 1

? 原函数的值域为
2

?? 1,1 ?
01

t

解法二: (换元法)设 x ? 1 ? t ,则 2
? t ?1 ?0 ? 2 t ? 原函数值域即得
8

? 2

? ?1 ? y ? 1

解法三: (判别式法)原函数可化为 1) y ? 1 时 不成立

( y ? 1) x ? 0 ? x ? y ? 1 ? 0
2

2) y ? 1 时, ? ? 0 ? 0 ? 4 ( y ? 1)( y ? 1) ? 0 ? ? 1 ? y ? 1
? ?1 ? y ? 1

综合 1) 、2)值域 { y | ? 1 ? y ? 1}
? ? ? ? , ? ,则 ? 设 x ? tan ? ? ? ? ? ? 2 2?
2

解法四: (三角换元法)? x ? R

y ? ?

1 ? tan ? 1 ? tan ?
2

? ? cos 2?

? 2? ? ? ? ? , ?

?

? cos 2? ? ? ? 1 , 1?

? 原函数的值域为 { y | ? 1 ? y ? 1}

例 14

求函数 y ?

5 2x ? 4x ? 3
2

的值域
2

5 t

解法一: (判别式法)化为 2 yx 1) y ? 0 时,不成立 2) y ? 0 时, ? ? 0 得

? 4 yx ? ( 3 y ? 5 ) ? 0

5

0
( 4 y ) ? 8 y (3 y ? 5 ) ? 0 ? 0 ? y ? 5 ?0? y ? 5

1

t

综合 1) 、2)值域 { y | 0 ? y ? 5}
2 解法二: (复合函数法)令 2 x ? 4 x ? 3 ? t ,则 y ?

5 t

? t ? 2 ( x ? 1) ? 1 ? 1
2

?0? y ? 5

所以,值域 { y | 0 ? y ? 5}

例 15 函数 y ? x ?

1 x

? 1 的值域

解法一: (判别式法)原式可化为
?? ? 0
2

x ? (1 ? y ) x ? 1 ? 0
2

? (1 ? y ) ? 4 ? 0

? y ? 3 或 y ? ?1

? 原函数值域为

?? ?

, ? 1? ? ?3 , ? ? ?
1 x
9

解法二: (不等式法)1)当 x ? 0 时, x ?

? 2 ? y ? 3

2) x ? 0 时, x ?

1

? 1 ? ? ? ?(? x ) ? ? ? ?2 x (? x) ? ?

? y ? ?1

综合 1)2)知,原函数值域为 ? ? ? , ? 1? ? ?3 , ? ? ?
x ? 2x ? 2
2

例 16 (选) 求函数 y ?

x ?1

( x ? ? 1) 的值域

解法一: (判别式法)原式可化为 x ? ( 2 ? y ) x ? 2 ? y ? 0
2

? ? ? 0 ? (2 ? y ) ? 4(2 ? y ) ? 0
2

? y ? 2 或 y ? ?2

? x ? ? 1 ? y ? ? 2 舍去 ? 原函数值域为

?2

, ? ??

解法二: (不等式法)原函数可化为 y ?

( x ? 1) ? 1
2

x ?1

? x ?1?

1 x ?1

? 2 (? x ? ? 1)

当且仅当 x ? 0 时取等号,故值域为 ?2 , ? ? ?
x ? 2x ? 2
2

例 17 (选) 求函数 y ?

x ?1

( ? 2 ? x ? 2 ) 的值域
1 t

解: (换元法)令 x ? 1 ? t ,则原函数可化为 y ? t ?
ax dx
2 2

( ? 1 ? t ? 3 ) 。。 。

小结:已知分式函数 y ?

? bx ? c ? ex ? f

(a

2

?d

2

? 0 ) ,如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域;如果是条

件定义域,用判别式法求出的值域要注意取舍,或者可以化为 (选) y ?
二次式 一次式 (或 y ? 一次式 二次式 ) 的形式,采用部分分式法,进而用基本不等式法求出函数的最大最小值;如果
a x

不满足用基本不等式的条件,转化为利用函数 y ? x ? 练习: 1 、 y ? x2 ?
1 x
2

( x ? 0 ) 的单调性去解。

? 9( x ? 0) ;

解:∵x ? 0, y ? x 2 ?

1 x
2

? 9 ? (x ?

1 x

) ? 11 ,∴y ? 11.
2

另外,此题利用基本不等式解更简捷: y ? x 2 ? 2 、y ? 0<y ? 5. 3 、求函数的值域 ①y ? x?
2? x;
5 2x ? 4x ? 3
2

1 x
2

? 9 ? 2 ? 9 ? 11 (或利用对勾函数图像法)

②y ? 2?

4x ? x

2

10

解:①令 u ?

2 2 ? x ? 0,则 x ? 2 ? u ,

原式可化为 y ? 2 ? u ? u ? ? ( u ?
2

1 2

) ?
2

9 4

,
9 4

∵u ? 0,∴y ?

9 4

,∴函数的值域是(- ? ,
2

].

②解:令 t=4x? x ? 0 得 0 ? x ? 4 在此区间内 (4x? x ) max =4 ∴函数 y ? 2 ?
4x ? x
2

2

,(4x? x ) min =0

2

的值域是{ y| 0 ? y ? 2}

4、求函数 y=|x+1|+|x-2|的值域.
? ? 2 x ? 1( x ? ? 1) ? 解法 1:将函数化为分段函数形式: y ? ? 3 ( ? 1 ? x ? 2 ) ,画出它的图象(下图) ,由图象可知,函数的值域是 ? 2 x ? 1( x ? 2 ) ?

{y|y ? 3}. 解法 2:∵函数 y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点 x 到两定点-1,2 的距离之和,∴易见 y 的最小值是 3,∴函数的值 域是[3,+ ? ]. 如图
x -1 O 1 2
-1 Ox 1 2
-1 O 1 2 x

5、求函数 y ? 2 x ? 4 1 ? x 的值域 解:设 t ?
1? x

则 t? 0

x=1? t

2

2 代入得 y ? f ( t ) ? 2 ? (1 ? t ) ? 4 t ? ? 2 t ? 4 t ? 2 ? ? 2 ( t ? 1) ? 4

2

2

∵t ? 0 6、 (选)求函数 y ? 方法一:去分母得

∴y ? 4
x ? 5x ? 6
2

x ? x?6
2

的值域 ①

(y?1) x +(y+5)x?6y?6=0
2

2

当 y?1 时 ∵x?R ∴△=(y+5) +4(y?1)×6(y+1) ? 0 由此得 (5y+1) ? 0
2

王新敞
奎屯

新疆

检验 y ? ?

1 5

?

1 5

?5 6 5 ? 2 (代入①求根) )

(有一个根时需验证)时

x ? ?

2 ? (?

11

∵2 ? 定义域 { x| x?2 且 x?3} 再检验 y=1 代入①求得 x=2 综上所述,函数 y ?
x ? 5x ? 6
2

∴y ? ? ∴y?1

1 5

x ? x?6
2

的值域为 { y| y?1 且 y? ?
( x ? 2 )( x ? 3 ) ( x ? 2 )( x ? 3 ) ? x?3 x?3

1 5

}
6 x?3
2

方法二:把已知函数化为函数 y ?

?1?

(x?2)

由此可得 y?1,∵ x=2 时 y ? ?

1 5

即 y??

1 5

∴函数 y ?

x ? 5x ? 6 x ? x?6
2

的值域为 { y| y?1 且 y? ?

1 5

}

王新敞
奎屯

新疆

12


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