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1.2.1任意角的三角函数(第二课时)上课用ppt


1、任意角的三角函数第一定义
设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P( x, y)

y 叫做 规定:(1)

? 的正弦,记作 sin ?,即 sin ? ? y ; (2)x 叫做? 的余弦,记作 cos? ,即 cos ? ? x ; y y tan ? ? 的正切,记作 ,即 tan ? ? ( x ? 0) (3) 叫做
x
x
y

﹒ ? P?x, y
?
O
A?1,0? x

注意:正弦,余弦,正切都 是以角为自变量,以单位圆上点 的坐标或坐标的比值为函数值的 函数,我们将他们称为三角函数.

2、任意角的三角函数第二定义: 设角? 是一个任意角, P( x, y) 是终边上的任意一点,
点 P 与原点的距离 r ?

x2 ? y2 ? 0
y P (x,y)

y y 那么① 叫做 ? 的正弦,即 sin ? ? r r x x ? ② r 叫做 的余弦,即 cos ? ? O r y y ③ x 叫做? 的正切,即 tan ? ? ?x ? 0? x

? x

r

y
M x

定 义 域
y

根据三角函数的定义,确定它们的 定义域(弧度制)

三角函数

定义域

﹒ ? P?x, y
?
O
A?1,0? x

cos ? tan ?

sin ?

R R
? ? ? ? ? ? ? k ? ( k ? Z ) ? ? 2 ? ?

y
?

? 的终边

P ( x, y )

x
A(1,0)

o

符号
2.确定三角函数值在各象限的符号
y (+) + o x ( )( )
sin ?

y ( - )( + ) o x ( )( + ) cos ?

y ( -) (+ ) o x ( +) ( ) tan ?

例3 :若

sin ? ? 0 { tan ? ? 0



成立,则角 ? 为第几象限角?

sin ? ? 0 三、四

? 课本15页练习题6



如果两个角的终边相同,那 么这两个角的同一三角函数 值有何关系?
y

P( x, y)
1

?
o

x

M

? 如果两个角的终边相同,那么这两个角
的同一三角函数值有何关系? 终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一)
sin( ? ? k ? 2? ) ? sin ? cos(? ? k ? 2? ) ? cos ? tan( ? ? k ? 2? ) ? tan ?(其中 k ? z)

公式作用:可以把求任意角的三角函数值, 转化为求 0到2? ?或0?到360?? 角的三角函数值 .

例4 确定下列三角函数值的符号:

解: (1)因为 250 ? 是第三象限角,所以cos 250 ? ? 0 ; (2)因为 tan(?672?) = tan(?2 ? 360? ? 48?) ? tan48? , 而 48 ?是第一象限角,所以 tan(?672?) ? 0 ; ? ? ?? ? sin (3)因为 是第四象限角,所以 ? ? 4 ? ? 0 . ? ? 4

? ?? sin ? ? ? cos 250?(2)tan( ?672?)(3) ( 1) ? 4?

练习 确定下列三角函数值的符号 4? 17 16
cos

?

5

?

sin( ?

?

3

)

tan( ?

?

8

?)

? 课本15页练习题 ? 第5题、(6)

例5 求下列三角函数值:
(1) cos

cos 解:(1)

9? 4 9?

(2) tan( ?

4 4 4 2 11? ? ? ? 3 tan( ? ) ? tan( ? 2 ? ) ? tan ? tan ? (2) 6 6 6 6 3

? cos(

?

? 2? ) ? cos

11? ) 6 ? 2
?

练习 求下列三角函数值

19? tan ? 3 3

31? tan( ? ) ?1 4

? 课本15页练习题 ? 第7题(3)

五、三角函数线
探究:设? 是一个任意角,它的终边与单位圆的交
点为P(x,y),若过点P作MP⊥ x轴于点M,试分析 y 线段MP和OM的长度与角?的关系.

|MP|=| y |=|sin? | |OM|=| x |=|cos? |

-1

M

O

1 x

P(x,y)

? 的终边

五、三角函数线
? 的终边
P(x,y) y y

? 的终边
P(x,y)

-1

M O

1 x

-1

O

M

1 x

y

|MP|=| y |=|sin? | |OM|=| x |=|cos? |

y

M -1 P(x,y)

O

1 x

M -1 O 1 x P(x,y) ? 的终边

? 的终边

五、三角函数线 有向线段:带有方向的线段 例:如右图所示,角? 是第二象限角 有向线段OM表示以点O为 起点,点M为终点的线段, ? 的终边 y 即OM的方向与x轴的正方 P(x,y) 向相反的线段, 我们规定,方向与坐标轴的 正向相同的有向线段表示一 M O 个正值,反之即为负值, -1 故由|OM|=| x |可得 OM=x (<0) 同理可得,MP=y (>0)

1 x

五、三角函数线
? 的终边
P(x,y) y

y

? 的终边
P(x,y)

-1

M O

1 x

-1

O

M

1 x

y

|MP|=| y |=|sin MP=y=sin ? ?| |OM|=| x |=|cos OM=x=cos ? ?|
O
1 x -1

y

M -1 P(x,y) O

M 1 x P(x,y) ? 的终边

? 的终边

五、三角函数线

探究:借助单位圆,你能找到一条如OM、MP一

样的线段来表示tan? 吗? 例如,若角? 表示第一象限角, ? 的终边 y 过点A(1,0)作单位圆的切线, 设它与? 的终边交于点T, T y MP P(x,y) ? tan ? ? ? x OM A(1,0) MP AT ? ? AT -1 O M 1 x OM OA

? tan ? ? AT

五、三角函数线 样的线段来表示tan? 吗? 又如,若角? 表示第二象限角, 仍过点A(1,0)作单位圆的切线, 设它与? 终边的反向延长线交于点T,y

探究:借助单位圆,你能找到一条如OM、MP一

y MP ? tan ? ? ? x OM MP AT ? ? AT OM OA
? tan ? ? AT

? 的终边

P(x,y)

-1 M

O

A(1,0) 1 x

TT

五、三角函数线 如图,角 ? 的终边与单位圆交于 点P,过点P作x轴的垂线,垂足 为M,过点A(1,0)作单位圆的切 线,设它与 ? 的终边或其反向延 长线相交于点T,则:
? 的终边
P(x,y)
1

y

T

sin ? ? MP cos ? ? OM tan ? ? AT

A(1,0)

-1

o

M

1

x

-1

这里MP叫正弦线,OM叫余弦线,AT叫正切线, 它们都是有向线段。

五、三角函数线 意义:三角函数线是三角函数的几何表示 注:1. 当角ɑ的终边落在x轴上时 正弦线,正切线变 成一 个 点 2. 当角ɑ的终边落在y轴上余弦 线变成一个点,正切线不存在.
-1

y P(x,y)
1

? 的终边
T

A(1,0)

o

M

1

x

-1

六、例题 例、作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线

π ( 1) 3

(2) — 2π 3

?课本17页练习题 ?第2题(2)(4)

备选例题 ? 例:求是不等式成立a的范围 ? (1)sina≥? ? (2)cosa≥-?

七、小结 1.终边相同的角的三角函数关系

sin(? ? 2k? ) ? sin ?

cos(? ? 2k? ) ? cos ? tan(? ? 2k? ) ? tan ? (k ? Z )
2.三角函数线

作业:1.课本P21 8 和 P17 2.《3导》 练习四

3

你记住了吗?

弧 度
sin ?

0 0 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 2700 3600

0 ?
1 2

? ? ? 2? 3? 5?
4 3
2 2 2 2

6
3 2 3 3

2

3 4 6
3 2

?

3? 2

2?

cos ?
tan ? cot ?

0 1 0

1 2

3 2

3

1 1

3
3 3

0 ?1 0 1 ? ?1 0 1 2 ? 3 0 0 ?1 3 ? 0 3 ?1? 3 0

1 0

1 2 2 2 2 3 ? ? 2 2 3 ? 3

课堂检测

1、已知角? 的终边过点 P?? 12,5? ,

求 ? 的三个三角函数值. 11? 71? 2.求值(1 ) cos( ? );(2) sin( ? ) 3 6

y?x

11? 71? 4.求值(1 ) cos( ? );(2) sin( ? ) 3 6


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