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圆柱、圆锥、圆台和球的预习案


山东省潍坊中学高中数学学案

业精于勤,荒于嬉;行成于思,毁于随。

1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球预习案 命制人:宋瑞金、王立超 复核人:宋瑞金
日--- 2010 年 12 月

备课组长:王敏


使用日期:2010 年 12 月

【自主探究】
一、旋转体的概念 由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的曲面所围成的几何体叫做旋转 体,这条直线叫做旋转体的轴。比如常见的旋转体有圆柱、圆锥、圆台和球, 其图形如下图所示

二、圆柱及相关概念 1.定义:以 的一边所在的直线为旋转轴,将矩形旋转一周而形成的曲 面所围成的几何体叫做圆柱。 2.相关概念: (1)圆柱的轴: 叫做圆柱的轴; (2)圆柱的高:在 上的这条边(或它的长度)叫做圆柱的高; (3)圆柱的底面:垂直于 的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面; (4)圆柱的侧面: 垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面; (5)圆柱的母线:无论旋转到什么位置, 叫做圆柱的母线。 3.圆柱的表示方法:用表示它的 的字母表示,如圆柱OO1。

4.圆柱具有以下性质: (1)圆柱的底面是两个
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,圆的半径等于矩形的边的长,

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两圆所在的平面互相平行; (2)通过轴的各个截面是叫做轴截面,圆柱的轴截面是 ; (3)母线 且 ,它们都垂直于底面,它们的长等于圆柱的高。 三、圆锥及相关概念 1.定义:以 的一条直角边所在的直线为旋转轴,将直角 三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。 2.相关概念: (1)圆锥的轴: 叫做圆锥的轴; (2)圆锥的高:在 上的这条边(或它的长度)叫做圆锥的高; (3)圆锥的底面:垂直于 的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面; (4)圆锥的侧面: 垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面; (5)圆锥的母线:无论旋转到什么位置, 的边都叫做圆锥 的母线; 3.圆锥的表示方法:用表示 的字母表示,如圆锥 SO1。

4.圆锥具有以下性质: (1)圆锥的底面是一个 ,圆的半径就是直角边的长,底面和轴垂直; (2)平行于底面的截面是 ; (3)通过轴的各个截面是轴截面,各轴截面是 ; (4)过顶点和底面相交的截面是 ,如等腰三角形 SAC; (5)母线都过 且 ,各母线与轴的夹角相等。 四、圆台及相关概念 1.定义:以 的一条直角边所在的直线为旋转轴,将直角梯形 旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆台。 2.相关概念: (1)圆台的轴: 叫做圆台的轴; (2)圆台的高:在 上的这条边(或它的长度)叫做圆台的高; (3)圆台的底面:垂直于 的边旋转而成的圆面叫做圆台的底面; (4)圆台的侧面: 垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆台的侧面;
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(5)圆台的母线:无论旋转到什么位置, 的边都叫做圆台的 母线。 3.圆台的表示方法:用表示 的字母表示,如圆台 OO1。

4.圆台具有以下性质: (1)圆台的底面是两个 ,两圆所在的平面互相平行 又都和轴垂直; (2)平行于底面的截面是 ; (3)通过轴的各个截面是轴截面,各轴截面是 ,如梯形 AA1B1B。 (4)任意两条母线(它们延长后会相交)确定的平面,截圆台所得的截面 是 ,如梯形 AA1C1C。 (5)母线都相等,各母线延长后都 。 五、球及相关概念: 1.定义:以 为旋转轴,半圆面旋转一周形成 的几何体叫做球。另外将圆绕直径旋转 180° 度得到的几何体也是球。 2.相关概念: (1)球面:球面可以看作 绕着它的直径所在的直线旋转一周形 成的曲面, 也可以看作空间中到 的距离等于定长的 点的集合; (2)球心:形成球的半圆的 叫做球心; (3)半径:连接球面上一点和 的线段叫球的半径; (4)直径:连接球面上的两点且 的线段叫球的直径; 3.球的表示方法:用表示 的字母表示, 如球 O.

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4.球的截面性质: (1)球的截面是 ,球面被经过球心的平面截得的圆叫 做 ,被不经过球心的平面截得的圆叫做球的 (2)球心和截面圆心的连线 于截面;



(3) r ? R2 ? d 2 (其中 r 为截面圆半径,R 为球的半径,d 为球心 O 到截面 圆的距离,即 O 到截面圆心 O1 的距离; 5.球面距离:在球面上,两点之间的最短距离就是 间的一段 弧的长度。这个弧长叫做两点的球面距离。 小结: a) 半圆以它的直径为旋转轴,旋转所成的曲面叫做 成的几何体叫做 . b) 以过球心的平面截球面,截面圆叫 球面,截面圆叫 . c) 和 在这两点

。球面所围

。以不经过球心的平面截

的连线垂直于截面,由勾股定理,有:

r ? R2 ? d 2 .
d) 把地球看作一个球时, 就是球面上从北极到南极的半个大圆。 赤道是一个 ,其余的纬线都是 . e)球面距离是 的长度.

六、组合体 由

的几何体称为组合体。

组合体可以通过把它们分解为一些基本几何体来研究。

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