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三角函数2018年暑假阶段学习测试卷(三)


2018 年暑假阶段学习测试卷(三)
一.选择题:(5×10=50 分) 1.已知 ???为第三象限角,则 A.第一或第二象限 C.第一或第三象限 2.若 sin θcos θ>0,则 θ 在( A.第一、二象限 C.第一、四象限 3.sin ). B.第一、三象限 D.第二、四象限 ).

?
2

所在的象限是(

).

B.第二或第三象限 D.第二或第四象限

4π 5π ? 4π ? cos tan ?- ? =( 3 6 ? 3 ?

A.-

3 3 4

B.

3 3 4

C.-

3 4
).

D.

3 4

4.已知 tan θ+ A.2

1 =2,则 sin θ+cos θ 等于( tan ?
B. 2

C.- 2 ).

D.± 2

5.已知 sin x+cos x= A.-

1 (0≤x<π),则 tan x 的值等于( 5
B.-

3 4

4 3

C.

3 4
).

D.

4 3

6.已知 sin ??>sin ?,那么下列命题成立的是( A.若?,??是第一象限角,则 cos ??>cos ? B.若?,??是第二象限角,则 tan ??>tan ? C.若?,??是第三象限角,则 cos ??>cos ? D.若?,??是第四象限角,则 tan ??>tan ? 7.已知集合 A={?|?=2kπ± {γ|γ=kπ±

2π 2π ,k∈Z},B={?|?=4kπ± ,k∈Z},C= 3 3
). D.B ? C ? A

2π ,k∈Z},则这三个集合之间的关系为( 3
B.B ? A ? C

A.A ? B ? C

C.C ? A ? B ).

1 8.已知 cos(?+?)=1,sin ?= ,则 sin ??的值是( 3
A.

1 3

B.-

1 3

C.

2 2 3

D.-

2 2 3

1

9.在(0,2π)内,使 sin x>cos x 成立的 x 取值范围为(
? π π ? ? 5π ? A. ? , ? ∪ ? π, ? 4 ? ?4 2? ? ? π 5π ? C. ? , ? ?4 4 ?

).

?π ? B. ? , π ? ?4 ? ?π ? ? 5π 3π ? D. ? , π ? ∪ ? , ? ?4 ? ? 4 2 ?

10.把函数 y=sin x(x∈R)的图象上所有点向左平行移动 上所有点的横坐标缩短到原来的
π? ? A.y=sin ? 2 x - ? ,x∈R 3? ? π? ? C.y=sin ? 2 x + ? ,x∈R 3? ?

π 个单位长度,再把所得图象 3
).

1 倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是( 2
? x π? B.y=sin ? + ? ,x∈R ?2 6? 2π ? ? D.y=sin ? 2 x + ? ,x∈R 3 ? ?

二、填空题(5×6=30 分)
π? ?π 11.函数 f(x)=sin2 x+ 3 tan x 在区间 ? , ? 上的最大值是 4 3? ?



2 5 π , ≤?≤π,则 tan ?= . 5 2 ?π ? 3 ?π ? 13.若 sin ? + ? ? = ,则 sin ? - ? ? = . ?2 ? 5 ?2 ? π? π ? 14.若将函数 y=tan ? ?x + ? (ω>0)的图象向右平移 个单位长度后,与函数 y= 4? 6 ?

12.已知 sin ?=

π? ? tan ? ?x + ? 的图象重合,则 ω 的最小值为 6? ?

. .

15.已知函数 f(x)=

1 1 (sin x+cos x)- |sin x-cos x|,则 f(x)的值域是 2 2

π? ? 16.关于函数 f(x)=4sin ? 2 x + ? ,x∈R,有下列命题: 3? ? π? ? ①函数 y = f(x)的表达式可改写为 y = 4cos ? 2 x - ? ; 6? ?

②函数 y = f(x)是以 2π 为最小正周期的周期函数; ③函数 y=f(x)的图象关于点(-

? ,0)对称; 6 ? 对称. 6

④函数 y=f(x)的图象关于直线 x=- 其中正确的是______________.

2

2018 年暑假-阶段学习测试卷(三) 答题卷
姓名________指导老师_____________得分______
一.选择题:(5×12=60 分) 题号 答案 二.填空题(5×4=20 分) 11._______________;12._______________;13._______________; 14._______________;15._______________;16._______________; 三、解答题(10×7=70 分) 17.求函数 f(x)=lgsin x+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 cos x ? 1 的定义域.

18.化简:

-sin(180?+? )+sin(-? )- tan (360?+? ) ; tan (?+180?)+cos (-? )+cos (180?-? ) sin(?+nπ)+ sin(?-nπ) (2) (n∈Z). sin(?+nπ)cos (?-nπ)
(1)

3

π? ? 19.求函数 y=sin ? 2 x - ? 的图象的对称中心和对称轴方程. 6? ?

20.已知 f ( x) ? ?

2 ? sin(2 x ? ) ? 2 ,求: 2 4

(Ⅰ) f ( x ) 的对称轴方程; (Ⅱ) f ( x ) 的单调递增区间;

4

21. 已知函数 f ( x) ? 5 sin( 2 x ?

?
6

)?

7 2

(1)求函数 f ( x) 的单调减区间; (2)当

? ? ≤x≤ 时,求函数 f ( x) 的值域. 6 2

22.已知函数 y ? a ? b cos 3x(b ? 0) 的最大值为 的单调区间、最大值和最小正周期.

3 1 ,最小值为 ? ,求函数 y ? ?4a sin 3bx 2 2

5

23.(1)设函数 f(x)=

sin x+ a (0<x<π),如果 a>0,函数 f(x)是否存在最大值和最 sin x

小值,如果存在请写出最大(小)值; (2)已知 k<0,求函数 y=sin2 x+k(cos x-1)的最小值.

6

参考答案
一、选择题 1.D 解析:2kπ+π<?<2kπ+ 2.B 解析:∵ sin θcos θ>0,∴ sin θ,cos θ 同号. 当 sin θ>0,cos θ>0 时,θ 在第一象限;当 sin θ<0,cos θ<0 时,θ 在第三象限. 3.A 解析:原式= ? ? sin 4.D 解析:tan θ+

3 ? ? 3 π,k∈Z ? kπ+ < <kπ+ π,k∈Z. 4 2 2 2

? ?

3 3 π ?? π ?? π? . ?? ? cos ?? ? tan ? =- 4 3 ?? 6 ?? 3?

sin ? cos ? 1 1 1 = + = =2,sin?? cos ?= . tan ? 2 sin ? cos ? cos ? sin ?

(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=2.sin??+cos ?=± 2 . 5.B

? sinx+cosx= 5 解析:由 ? ? sin2 x+cos2 x=1
解得 cos x=

1

得 25cos2 x-5cos x-12=0.

4 3 或- . 5 5

又 0≤x<π,∴ sin x>0. 若 cos x=

4 1 ,则 sin x+cos x≠ , 5 5 3 4 4 ,sin x= ,∴ tan x=- . 3 5 5

∴ cos x=- 6.D

解析:若 ?,??是第四象限角,且 sin ?>sin ?,如图, 利用单位圆中的三角函数线确定?,??的终边,故选 D.

7.B

(第 6 题`)

7

解析:这三个集合可以看作是由角± 的角的集合. 8.B 解析:∵ cos(?+?)=1, ∴ ?+?=2kπ,k∈Z. ∴ ?=2kπ-?.

2π 的终边每次分别旋转一周、两周和半周所得到 3

1 ∴ sin ?=sin(2kπ-?)=sin(-?)=-sin ?=- . 3
9.C 解析:作出在(0,2π)区间上正弦和余弦函数的图象,解出两交点的横坐标 由图象可得答案.本题也可用单位圆来解. 10.C 解析: 第一步得到函数 y=sin ? x ? 二、填空题 11.

5? ? 和 , 4 4

? ?

π? π? ? 第二步得到函数 y=sin ? 2 x ? ? 的图象. ? 的图象, 3? 3? ?

15 . 4

π π 15 ?π π? 解析:f(x)=sin2 x+ 3 tan x 在 ? , ? 上是增函数,f(x)≤sin2 + 3 tan = . 4 3 3 ?4 3?
12.-2. 解析:由 sin ?= 13.
5 2 5 π , ≤?≤π?cos ?=- ,所以 tan ?=-2. 5 5 2

3 . 5

3 3 ?π ? 3 ?π ? 解析:sin ? + ? ? = ,即 cos ?= ,∴ sin ? - ? ? =cos ?= . 5 5 ?2 ? 5 ?2 ?
14.

1 . 2

π? π ? 解析:函数 y=tan ? ?x+ ? (ω>0)的图象向右平移 个单位长度后得到函数 4 6 ? ?

? ? π π ? π ? π? π π π ? y=tan ?? ? x- ?+ ? =tan ? ?x+ - ? ? 的图象,则 = - ω+kπ(k∈Z), 4 6 6 4 6 4 6 ? ? ? ? ? ?

ω=6k+

1 1 ,又 ω>0,所以当 k=0 时,ωmin= . 2 2

8

15. ?-1,

? ?

2? ?. 2 ?
1 1 ?cos x(sin x ≥ cos x) (sin x+cos x)- |sin x-cos x|= ? 2 2 ?sin x(sin x<cos x)

解析:f(x)= 即

f(x)等价于 min{sin x,cos x},如图可知,

2 ?π? f(x)max=f ? ? = ,f(x)min=f(π) =-1. 2 4 ? ?

(第 15 题)

16.①③.
π? π? ? ?π 解析:① f(x)=4sin ? 2 x ? ? =4cos ? ? 2 x ? ? 3? 3? ? ?2 π? ? =4cos ? ? 2 x ? ? 6? ? π? ? =4cos ? 2 x ? ? . 6? ?

② T=

2π =π,最小正周期为 π. 2
π π =kπ,则当 k=0 时,x=- , 3 6

③ 令 2x+

∴ 函数 f(x)关于点 ?- , 0 ? 对称.

? ?

π 6

? ?

④ 令 2x+ ∴ ①③正确. 三、解答题

1 π π π =kπ+ ,当 x=- 时,k=- ,与 k∈Z 矛盾. 3 2 6 2

17.{x|2kπ<x≤2kπ+

? ,k∈Z}. 4
① ②

? ?sin x >0 解析:为使函数有意义必须且只需 ? ? ? 2cos x ? 1 ≥ 0

先在[0,2π)内考虑 x 的取值,在单位圆中,做出三角函数线. 由①得 x∈(0,π),
9 (第 17 题)

? 7 ]∪[ π,2π]. 4 4 ? π? 二者的公共部分为 x∈ ? 0, ? . ? 4?
由②得 x∈[0, 所以,函数 f(x)的定义域为{x|2kπ<x≤2kπ+ 18.(1)-1;(2) ± 解析:(1)原式=

? ,k∈Z}. 4

2 . cos ?

sin ?-sin ?-tan ? tan ? =- =-1. tan ?+cos ?-cos ? tan ? 2 sin(?+2kπ)+sin(?-2kπ) (2)①当 n=2k,k∈Z 时,原式= = . cos ? sin(?+2kπ)cos(?-2kπ)
②当 n=2k+1,k∈Z 时,原式=

2 sin[?+(2k+ 1)π]+sin[?-(2k+ 1)π] =- . cos ? sin[?+(2k+ 1)π]cos[?-(2k+ 1)π]

π kπ π ? kπ ? 19.对称中心坐标为 ? + , 0 ? ;对称轴方程为 x= + (k∈Z). 2 12 3 2 ? ?

解析:∵ y=sin x 的对称中心是(kπ,0),k∈Z,

kπ π π =kπ,得 x= + . 6 2 12 π ? kπ ? ∴ 所求的对称中心坐标为 ? + , 0 ? ,k∈Z. 12 ? ? 2
∴ 令 2x- 又 y=sin x 的图象的对称轴是 x=kπ+ ∴ 令 2x-

? , 2

kπ π ? π =kπ+ ,得 x= + . 6 2 3 2 kπ π + (k∈Z). 3 2

∴ 所求的对称轴方程为 x=

20. (Ⅰ) x ?

?
8

?

k? ? 5? 2 7 (k ? Z ) ; ? k? ](k ? Z ) , (Ⅱ) [ ? k? , (Ⅲ)[3 ? , ]. 2 8 8 2 2

试题解析: (Ⅰ)令 2 x ?

?
4

?

?
2

? k? (k ? Z ) ,解得 x ?

?
8

?

所以函数 f ( x ) 对称轴方程为 x ? (Ⅱ)∵ f ( x) ? ?

?
8

?

k? (k ? Z ) 2

k? (k ? Z ) , 2

2 ? sin(2 x ? ) ? 2 , 2 4

∴函数 f ( x ) 的单调增区间为函数 y ? sin(2 x ? 令

?
4

) 的单调减区间,

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
4

?

3? ? 2 k? ( k ? Z ) , 2

10



?
8

? k? ? x ?

5? ? k? ( k ? Z ) , 8

∴函数 f ( x ) 的单调增区间为 [

?

8

? k? ,

(Ⅲ)方程 f ( x) ? m ? 1 ? 0 在 x ? [0, 图象有交点. ∵ x ? [0, ∴?

?
2

5? ? k? ](k ? Z ) 8 ] 上有解,等价于两个函数 y ? f ( x) 与 y ? m ? 1 的

?
2

] ∴ 2x ?

?

? 5? ?[ , ] , 4 4 4

2 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 , 2 4
2 5 2 5 ? f ( x) ? ,∴ 2 ? ? m ?1 ? 2 2 2 2

即得 2 ?

∴ m 的取值范围为 [3 ? 21、 (1) [k? ?

2 7 , ]. 2 2
17 2? ]( k ? Z ) ; (2) [1, ] 。 2 3

?
6

, k? ?

3 ? 1 ? a?b? , ? ?a ? , ? 2 22、由已知条件得 ? 解得 ? 2 ∴ y ? ?2 sin 3x , ?a ? b ? ? 1 ; ? ?b ? 1; ? 2 ?
其最大值为 2,最小正周期为

2? , 3 ? 2k? ? 2k? 在区间[ ? ? ]( k ? Z )上是增函数, , ? 6 3 6 3 ? 2k? ? 2k? 在区间[ ? ]( k ? Z )上是减函数. , ? 6 3 2 3
23.(1)有最小值无最大值,且最小值为 1+a; 解析:(1) f(x)= (2)0.

sin x+ a a =1+ ,由 0<x<π,得 0<sin x≤1,又 a>0,所以 sin x sin x

当 sin x=1 时,f(x)取最小值 1+a;此函数没有最大值. (2)∵-1≤cos x≤1,k<0, ∴ k(cos x-1)≥0, 又 sin2 x≥0, ∴ 当 cos x=1,即 x=2k?(k∈Z)时,f(x)=sin2 x+k(cos x-1)有最小值 f(x)min=0.

11


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