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选修1-1第二章单元综合测试


单元综合测试二(第二章综合测试)
时间:120 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.抛物线 y=x2 的准线方程是( A.4y+1=0 C.2y+1=0 【答案】 A ) B.4x+1=0 D.2x+1=0 分值:150 分

1 p 1 【解析】 p=2,准线方程为 y=-2=-4,即 4y+1=0. 2.设 k>1,则关于 x,y 的方程(1-k)x2+y2=k2-1 所表示的曲线 是( ) A.长轴在 y 轴上的椭圆 C.实轴在 y 轴上的双曲线 【答案】 C y2 x2 【解析】 ∵k>1,方程可化为 2 - =1. k -1 k+1 表示实轴在 y 轴上的双曲线. 6 3.下列曲线中离心率为 2 的是( x2 y2 A. 2 - 4 =1 x2 y2 C. 4 - 6 =1 【答案】 B 4+2 x2 y2 6 【解析】 双曲线 4 - 2 =1 的离心率 e= 2 = 2 . ) x2 y2 B. 4 - 2 =1 x2 y2 D. 4 -10=1 B.长轴在 x 轴上的椭圆 D.实轴在 x 轴上的双曲线

4.在平面直角坐标系 xOy 中,已知△ABC 的顶点 A(-4,0)和 sinA+sinC x2 y2 C(4,0),顶点 B 在椭圆25+ 9 =1 上,则 sinB 等于( 4 A.5 5 C.4 【答案】 C x2 y2 【解析】 椭圆25+ 9 =1 中,长半轴长 a=5,短半轴长 b=3, 半焦距 c=4, sinA+sinC BC+BA 2a 5 sinB = AC =2c=4. ) 5 B.2 5 D.3 )

a 5.椭圆 a2x2-2y2=1 的一个焦点是(-2,0),则 a 等于( 1- 3 A. 4 -1± 3 C. 4 【答案】 B a 2 x2 y2 【解析】 椭圆 a x -2y =1 可化为 1 + 2=1, a2 -a
2 2

1- 5 B. 4 -1± 5 D. 4

∴a<0,排除 C、D. 当 a= 1- 5 1 2 时, 2=6+2 5,- =2( 5+1), 4 a a

∴6+2 5-2 5-2=4,∴一个焦点是(-2,0). 6.(2013· 重庆文)设双曲线 C 的中心为点 O,若有且只有一对相 交于点 O,所成的角为 60° 的直线 A1B1 和 A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其 中 A1,B1 和 A2,B2 分别是这对直线与双曲线 C 的交点,则该双曲线 的离心率的取值范围是( )

2 3 A.( 3 ,2] 2 3 C.( 3 ,+∞) 【答案】 A

2 3 B.[ 3 ,2) 2 3 D.[ 3 ,+∞)

b b 【解析】 由条件知a>tan30° 或a≤tan60° 2 3 2 3 此时 e> 3 或 e≤2,所以离心率取值范围是( 3 ,2]. 7.抛物线 y=x2 到直线 2x-y=4 距离最近的点的坐标是( 3 5 A.(2,4) 3 9 C.(2,4) 【答案】 B 【解析】 设 P(x,y)为抛物线 y=x2 上任一点,则 P 到直线的距 |2x-y-4| |x2-2x+4| ?x-1?2+3 离 d= = = ,所以当 x=1 时,d 取最小 5 5 5 3 5 值 5 ,此时 P 为(1,1). x2 y2 8.(2014· 江西文)过双曲线 C:a2-b2=1 的右顶点作 x 轴的垂线, 与 C 的一条渐近线相交于 A.若以 C 的右焦点为圆心、 半径为 4 的圆经 过 A、O 两点(O 为坐标原点),则双曲线 C 的方程为( x2 y2 A. 4 -12=1 x2 y2 C. 8 - 8 =1 【答案】 A x2 y2 B. 7 - 9 =1 x2 y2 D.12- 4 =1 ) B.(1,1) D.(2,4) )

【解析】 本题主要考查双曲线的性质及其与圆结合形成的几何

关系. b 如图设双曲线的右焦点 F, 右顶点 B, 设渐近线 OA 方程为 y=ax(也 b 可设为 y=-ax),

由题意知,以 F 的半径的圆过点 O,A, ∴|FA|=|FO|=r=4. b ∵AB⊥x 轴,A 为 AB 与渐近线 y=ax 的交点, ∴可求得 A 点坐标为 A(a,b). ∴在 Rt△ABO 中,|OA|2= OB2+AB2= a2+b2=c=|OF|=4, ∴在△OAF 为等边三角形且边长为 4,B 为 OF 的中点,从而解 得|OB|=a=2,|AB|=b=2 3, x2 y2 ∴双曲线的方程为 4 -12=1,故选 A. 9.(2013· 全国卷大纲文)已知抛物线 C:y2=8x 与点 M(-2,2),过 →· → =0,则 k C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A、B 两点,若MA MB =( ) 1 A.2 C. 2 2 B. 2 D.2

【答案】

D

【解析】 抛物线 y2=8x 焦点坐标为(2,0),直线方程为 y=k(x-
2 ? ?y =8x 2),由? , ?y=k?x-2? ?

得 k2(x-2)2=8x,即 k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,设 A(x1,y1),B(x2, → =(x +2,y -2),MB → =(x +2,y -2),由MA →· → =0 得 y2),则MA MB 1 1 2 2 (x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2)=0, 将 y1=k(x1-2),y2=k(x2-2), 4k2+8 x1+x2= k2 . x1 · x2=4 代入上式中,整理得(k-2)2=0,∴k=2. x2 y2 y2 x2 10.连接双曲线a2-b2=1 与b2-a2=1 的四个顶点构成的四边形 的面积为 S1, 连接它们的四个焦点构成的四边形的面积为 S2, 则 S1?S2 的最大值是( A.2 1 C.2 【答案】 C 【解析】 x 轴上的两个顶点为(a,0),(-a,0), y 轴上的两个顶点为(0,b),(0,-b). 这四个顶点构成的四边形为菱形, 1 面积 S1=2· 2a· 2b=2ab, 焦点分别为(± c,0),(0,± c), 则四个焦点构成的四边形为正方形, ) B.1 1 D.4

1 面积 S2=2· 2 c· 2c=2c2.
2 2 ab a +b 1 ∴S1?S2= c2 ≤ 2c2 =2.

当且仅当 a=b 时,等号成立,故选 C. x2 2 11.(2013· 浙江文)如图,F1,F2 是椭圆 C1: 4 +y =1 与双曲线 C2 的公共焦点,A,B 分别是 C1,C2 在第二、四象限的公共点,若四 边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是( )

A. 2 3 C.2 【答案】 D

B. 3 6 D. 2

x2 y2 c 【解析】 设双曲线的方程为a2-b2=1,离心率 e=a,由椭圆的 定义得|AF1|+|AF2|=4,①由双曲线的定义得|AF2|-|AF1|=2a,②将① ②两边分别平方相加后得 2(|AF1|2+|AF2|2)=16+4a2, 而四边形 AF1BF2 为矩形,所以|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2=4c2=12 代入上式得 a2=2,a= 2,所以 e= 3 6 = 2 ,选 D. 2

注意椭圆、双曲线的定义在解题过程中的应用. x2 y2 12. 过椭圆 C: a2+b2=1(a>b>0)的左顶点 A 的斜率为 k 的直线交

1 椭圆 C 于另一个点 B,且点 B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点 F,若3 1 <k<2,则椭圆离心率的取值范围是( 1 4 A.(4,9) 1 2 C.(2,3) 【答案】 C b2 1 【解析】 点 B 的横坐标是 c,故 B 的坐标为(c,±a ),又 k∈(3, 1 b2 2),∴B(c, a ). b2 a a2-c2 1-e2 b2 斜率 k= = = = . c+a ac+a2 ac+a2 e+1 1 1 1 2 由3<k<2,解得2<e<3. 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13.已知长方形 ABCD,AB=4,BC=3,则以 A、B 为焦点,且 过 C、D 两点的椭圆的离心率为________. 1 【答案】 2 【解析】 ∵AB=2c=4,∴c=2. 又 AC+CB=5+3=8=2a,∴a=4. c 1 即椭圆的离心率为a=2. x2 y2 14.(2013· 天津文)已知抛物线 y =8x 的准线过双曲线a2-b2=
2

) 2 B.(3,1) 1 D.(0,2)

1(a>0,b>0)的一个焦点,且双曲线的离心率为 2,则该双曲线的方程 为________.

y2 [答案] x - 3 =1
2

[解析] 抛物线 y2=8x 的准线方程为 x=-2,则双曲线的一个焦 c 点为(-2,0),即 c=2,离心率 e=a=2.a=1,由 a2+b2=c2 得 b2=3, y2 所以双曲线的方程为 x - 3 =1.
2

15.抛物线形拱桥的跨度是 20 米,拱高是 4 米,每隔 4 米用一支 柱支撑,其中最长支柱的长是________. 【答案】 3.84 米 【解析】 如图,建立如图所示的平面直角坐标系.

设抛物线方程为:x2=-2py(p>0), 点 A(10,-4)在抛物线上, 25 ∴100=8p,p= 2 ,∴x2=-25y, 其中最长一根长柱与抛物线的交点为 B(x0,y0), 4 由题意知 x0=2,∴y0=-25, 4 96 ∴最长的支柱长为 4-25=25=3.84(米).

x2 y2 16.(2014· 山东文)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的焦距为 2c, 右顶点为 A, 抛物线 x2=2py(p>0)的焦点为 F, 若双曲线截抛物线的准 线所得线段长为 2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程为________. 【答案】 y=± x 【解析】 本题考查双曲线、抛物线的几何性质及坐标运算. 如图所示.

p 由题意知 A(a,0),F(0,2), p2 2 ∵|AF|=c,∴a + 4 =c
2

p2 又 c =a +b ,∴b = 4
2 2 2 2

p ? y =- ? 2 联立? 2 x y2 ? ?a2-b2=1 得 x2=2a2,∴x=± 2a,即 2c=2 2a. ∴c= 2a,又 c2=a2+b2 即 c2=2a2=a2+b2,∴a=b 故所求渐近线方程为 y=± x. 三、解答题(共 74 分)

17.(本题满分 12 分)求以椭圆 3x2+13y2=39 的焦点为焦点,以 x 直线 y=± 2为渐近线的双曲线方程. x2 y2 【解析】 椭圆 3x +13y =39 可化为13+ 3 =1,
2 2

其焦点坐标为(± 10,0), ∴所求双曲线的焦点为(± 10,0), x2 y2 设双曲线方程为:a2-b2=1(a>0,b>0) 1 ∵双曲线的渐近线为 y=± 2x,
2 2 2 b 1 b2 c -a 10-a 1 ∴a=2,∴a2= a2 = a2 =4,

∴a2=8,b2=2, x2 y2 即所求的双曲线方程为: 8 - 2 =1. x2 2 18.(本题满分 12 分)设 F1,F2 分别是椭圆 4 +y =1 的左、右焦 →· → 点.若点 P 是该椭圆上的一个动点,求PF 1 PF2的最大值和最小值. 【解析】 由题意知 a=2,b=1,c= 3,所以 F1(- 3,0),

→· → F2( 3,0),设 P(x,y),则PF ( 3-x,-y)= 1 PF2=(- 3-x,-y)· 1 x2+y2-3=4(3x2-8).由于 x∈[-2,2],故当 x=0,即点 P 为椭圆短 →· → 轴端点时,PF 2,即点 P 为椭圆长轴端点 1 PF2有最小值-2;当 x=± →· → 时,PF 1 PF2有最大值 1. x2 y2 19.(本题满分 12 分)如图所示,椭圆16+ 9 =1 的左、右焦点分 别为 F1,F2,一条直线 l 经过 F1 与椭圆交于 A,B 两点,若直线 l 的

倾斜角为 45° ,求△ABF2 的面积.

x2 y2 【解析】 由椭圆的方程16+ 9 =1 知,a=4,b=3, ∴c= a2-b2= 7. 由 c= 7知 F1(- 7,0),F2( 7,0), 又 k=tan45° =1, ∴直线 l 的方程为 x-y+ 7=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),

?x-y+ 7=0, 则由? x2 y2 ?16+ 9 =1,

消去 x,

整理得 25y2-18 7y-81=0, ∴|y1-y2|= ?y1+y2?2-4y1y2 = 18 7 81 72 ? 25 ?2+4×25=25 2.

1 ∴S△ABF2=2|F1F2|· |y1-y2| 1 72 =2×2 7×25 2 72 =25 14.

20. (本题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中, 点 P 到两点(0, - 3), (0, 3)的距离之和为 4,设点 P 的轨迹为 C,直线 y=kx+1 与 C 交 于 A,B 两点. (1)写出 C 的方程; → ⊥OB → ,求 k 的值. (2)若OA 【解析】 (1)设 P(x,y),由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (0,- 3),(0, 3)为焦点,长半轴为 2 的椭圆.它的短半轴 b= y2 2 -? 3? =1,故曲线 C 的方程为 x + 4 =1.
2 2 2

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),

?x2+y =1, 4 其坐标满足? ?y=kx+1,

2

消去 y 并整理得(k2+4)x2+2kx-3=0,

2k 3 故 x1+x2=- 2 ,x1x2=- 2 . k +4 k +4 → ⊥OB → ,则 x x +y y =0. 若OA 1 2 1 2 而 y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1, 3 3 k2 2 k2 于是 x1x2+y1y2=- 2 - 2 - 2 +1=0, k +4 k +4 k +4 1 化简得-4k2+1=0,所以 k=± 2. 21.(本题满分 13 分)(2014· 辽宁文)圆 x2+y2=4 的切线与 x 轴正 半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为 P(如图).

(1)求点 P 的坐标; (2)焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 P,且与直线 l:y=x+ 3交于 A, B 两点,若△PAB 的面积为 2,求 C 的标准方程. 【解析】 (1)设切点坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率为

x0 x0 -y ,切线方程为 y-y0=-y (x-x0),即 x0x+y0y=4. 0 0 1 4 4 此时, 两坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为 S=2· x· y=
0 0

8 x0y0.
2 由 x2 0+y0=4≥2x0y0,知当且仅当 x0=y0= 2时,x0y0 有最大值,

即 S 有最小值,因此点 P 的坐标为( 2, 2). x2 y2 (2)设 C 的标准方程为a2+b2=1(a>b>0),点 A(x1,y1),B(x2,y2).

?x2+y2=1 2 2 由点 P 在 C 上知a2+b2=1,并由?a b ?y=x+ 3
得 b2x2+4 3x+6-2b2=0, 又 x1,x2 是方程的根,

2

2

?x +x =-4b 3 ∴? 6-2b x x = ? b
1 2 2 2 1 2 2



由 y1=x1+ 3,y2=x2+ 3得 48-24b2+8b4 |AB|= 2|x1-x2|= 2· . b2 由点 P 到直线 l 的距离为 =0, 解得 b2=6 或 3,∴b2=6,a2=3(舍去)或 b2=3,a2=6, x2 y2 从而 C 的方程为 6 + 3 =1. 22. (本题满分 13 分)(2013· 浙江文)已知抛物线 C 的顶点为 O(0,0), 焦点为 F(0,1). 3 1 3 及 S△PAB=2· |AB|=2 得 b4-9b2+18 2 2

(1)求抛物线 C 的方程;

(2)过点 F 作直线交抛物线 C 于 A,B 两点.若直线 AO,BO 分别 交直线 l:y=x-2 于 M,N 两点,求|MN|的最小值. p 【解析】 (1)由题意可设抛物线 C 的方程为 x2=2py(p>0)得2=1, 所以抛物线 C 的方程为 x2=4y. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 的方程为 y=kx+1
? ?y=kx+1 由? 2 消去 y,整理得 x2-4kx-4=0, ?x =4y ?

所以 x1+x2=4k,x1x2=-4. 从而|x1-x2|=4 k2+1.

?y=y1x, 由? x1 ?y=x-2,
解得点 M 的横坐标 xM= 2 x1 2 x1 8 = 2= x1 4-x1. x1-y1 x1- 4

同理点 N 的横坐标 xN= 所以|MN|= 2|xM-xN| 8 8 = 2| - | 4-x1 4-x2

8 . 4-x2

x1-x2 =8 2| | x1x2-4?x1+x2?+16 8 2 k2+1 = |4k-3| t+3 令 4k-3=t,t≠0,则 k= 4 . 当 t>0 时,

|MN|=2 2 当 t<0 时, |MN|=2 2

25 6 t2 + t +1>2 2.

5 3 16 8 2 ? t +5?2+25≥ 5 .

25 4 8 2 综上所述,当 t=- 3 ,即 k=-3时,|MN|的最小值是 5 .


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