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数学 必修四 三角函数部分 正弦函数、余弦函数、正切函数的主要性质和诱导公式


数学 必修四 0 特殊角三 角函数值
sin α

三角函数部分

π
6

π
4

π
3

π
2

2π 3

3π 4

5π 6

0° 0

30° 30°
1 2

45° 45°
2 2 2 2

60° 60°
3 2 1 2

90° 90° 1

120° 120°
3 2
?

135° 135°
2 2 2 2

150° 150°
1 2

cos α

1

3 2
3 3

0

1 2

?

?

3 2

tan α

0

1

3

不 存 在 5π 3 300° 300° 3 ? 2 1 2 3

? 3

-1 ?

3 3

π
180° 180° 0

7π 6 210° 210° ? 1 2

5π 4 225 225° 2 ? 2 2 ? 2 1

4π 3 240° 240° 3 ? 2 ? 1 2 3

3π 2 270° 270° -1

7π 4 315° 315° 2 ? 2 2 2 -1

11π 6 330° 330° ? 1 2

2π 360° 360° 0

-1

3 ? 2 3 3

0

3 2 3 ? 3



0

不 存 在 tan α



sin α 三角函数正负值

cos α

α在第一象限 α在第二象限 α在第三象限 α在第四象限

+ + -

+ +

+ + -

csc α 1 sin α +
+ -

sec α 1 cos α +
+

cot α 1 tan α + + -

三角函数的定义: 三角函数的定义: 正弦: 正弦: sin α =
y 定义域:R) (定义域:R) r

余割: 余割: csc α = 正割: 正割: sec α =

r 1 (= ) y sin α r 1 (= ) x cos α

x 余弦: 定义域:R) 余弦: cos α = (定义域:R) r 正切: 正切: tan α =

y π x 1 定义域: 余切: (定义域:{ α | α ≠ kπ + , k ∈ z }) 余切: cot α = (= ) x 2 y tan α

同角三角函数基本关系式: 同角三角函数基本关系式: 倒数: 1.倒数: 1) sin α ? csc α = 1 (2) cos α ? sec α = 1 (3) tan α ? cot α = 1 ( sin α cos α 商数关系: (1 2.商数关系: 1) tan α = ( (2) cot α = cos α sin α ( 1+tan 3.平方关系: 1)sin2 α + cos2 α = 1 (2)1+tan2 α =sec2 α 平方关系: (3)1+cot2 α = csc 2 α (4)( sin α + cos α )2=1+2 sinα ? cos α 诱导公式: 诱导公式: 角 α 与角 α + k ? 2π (k ∈ z ) 的三角函数间的关系: 的三角函数间的关系: (1) sin(α + k ? 2π ) = sin α (2) cos(α + k ? 2π ) = cos α (3) tan(α + k ? 2π ) = tan α
(k ∈ z ) (k ∈ z ) (k ∈ z ) 1 , tan(α + k ? 2π ) = tan α , tan α

[cot α + k ? 2π ) ,同它相反的函数,例: cot α = cot ( 等 同它相反的函数,

就有 cot(α + k ? 2π ) = cot α .两者分别的函数名不变 符号也相同, csc α 、sec α 同 两者分别的函数名不变,符号也相同, 两者分别的函数名不变 符号也相同 上,后同.] 后同. 与角– 的三角函数间的关系: 角 α 与角 α 的三角函数间的关系: (1) sin(?α ) = ? sin α (2) cos(?α ) = cos α (3) tan(?α ) = ? tan α 角 α 与角 α + (2k + 1)π (k ∈ z ) 的三角函数间的关系: 的三角函数间的关系: (1) cos[α + (2k + 1)π ] = ? cos α (2) sin[α + (2k + 1)π ] = ? sin α

(3) tan[α + (2k + 1)π ] = tan α
sin(α + nπ ) = ① ? sin α ,当 n 为奇数. 为奇数.

为偶数. ② sin α ,当 n 为偶数.
cos(α + nπ ) = ① ? cos α ,当 n 为奇数. 为奇数.

为偶数. ② cos α ,当 n 为偶数.
tan(α + nπ ) = tan α , n ∈ z .

α 与α +
(1) cos(α +

π
2

的三角函数间的关系: 的三角函数间的关系:

π

) = cos π 2 2 在上面两个式子 面两个式子中 可得另一组公式: 在上面两个式子中,以- α 代替 α ,可得另一组公式:

) = ? sin α

(2) sin(α +

π

(1) cos(?α +

π

2

) = sin α

) = cos α 2 由三角函数之间的关系又可得 又可得: 由三角函数之间的关系又可得:

(2) sin(?α +

π

tan(α +

π
2

) = ? cot α 2

, cot(α +

π
2

) = ? tan α ) = tan α

tan(?α +

π

) = cot α , cot(?α +

π
2

我们知道,任何一个角都可表示为 我们知道,任何一个角都可表示为 k · 都可

π
2

+ α (其中 α ≤

π
4

)的形式.这样 的形式.

由前面的公式就可以把任意角的三角函数求值问题转化 由前面的公式就可以把任意角的三角函数求值问题转化为0到 函数求值问题. 函数求值问题.
1 的三角函数间的关系: 角 α 与角 π + α 的三角函数间的关系: 2 1 (1)sin( )=cos cosα (1)sin( π + α )=cosα sin 2 1 (2)cos cos( )=-sin sinα (2)cos( π + α )=-sinα 2 1 (3)tan tan( )=-cot cotα (3)tan( π + α )=-cotα 2 1 的三角函数间的关系: 角 α 与角 π ? α 的三角函数间的关系: 2 1 (1)sin( )=cos cosα (1)sin( π ? α )=cosα sin 2 1 (2)cos cos( )=sin sinα (2)cos( π ? α )=sinα 2 1 (3)tan tan( )=cot cotα (3)tan( π ? α )=cotα 2 的三角函数间的关系: 角 α 与角 π ? α 的三角函数间的关系:

π
4

之间角 之间角的三角

(1) sin(π ? α ) = sin α (2) cos(π ? α ) = ? cos α (3) tan(π ? α ) = ? tan α 的三角函数间的关系: 角 α 与角 π + α 的三角函数间的关系: (1) sin(π + α ) = ? sin α (2) cos(π + α ) = ? cos α (3) tan(π + α ) = tan α 的三角函数间的关系: 角 α 与角 2π ? α 的三角函数间的关系: (1) sin(2π ? α ) = ? sin α (2) cos(2π ? α ) = cos α (3) tan(2π ? α ) = ? tan α
3 的三角函数间的关系: 角 α 与角 π ? α 的三角函数间的关系: 2 3 (1)sin( )=-cos cosα (1)sin( π ? α )=-cosα sin 2 3 (2)cos cos( )=-sin sinα (2)cos( π ? α )=-sinα 2 3 (3)tan tan( )=cot cotα (3)tan( π ? α )=cotα 2 3 (4)cot( π ? α )=tanα (4)cot( )=tanα cot tan 2 3 的三角函数间的关系: 角 α 与角 π + α 的三角函数间的关系: 2 3 (1)sin( )=-cos cosα (1)sin( π + α )=-cosα sin 2 3 (2)cos cos( )=sin sinα (2)cos( π + α )=sinα 2 3 (3)tan tan( )=-cot cotα (3)tan( π + α )=-cotα 2 3 (4)cot( π + α )=-tanα (4)cot( )=-tanα cot tan 2 1 记忆方法:奇变偶不变( 符号看象限(原来三角函数的符号) [记忆方法:奇变偶不变( π 奇偶倍数 ± α ,符号看象限(原来三角函数的符号)] 2 两角和与差的正弦: 两角和与差的正弦:

(1) sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β

(S α + β )

(2) sin(α ? β ) = sin α cos β ? cos α sin β

(S α - β )

两角和与差的余弦: 两角和与差的余弦: (1) cos(α + β ) = cos α cos β ? sin α sin β (2) cos(α ? β ) = cos α cos β + sin α sin β tan α + tan β 1 ? tan α tan β tan α ? tan β 1 + tan α tan β (C α + β ) (C α - β )

两角和与差的正切 两角和与差的正切: (1) tan(α + β ) = (T α + β )

(2) tan(α ? β ) =

(T α - β )

二倍角的正弦、余弦和正切公式: 倍角的正弦、余弦和正切公式: 的正弦 (1) sin 2α = 2 sin α cos α (2) cos 2α = cos2 α - sin2 α =2 cos2 α -1
2

(S 2 α )

=1=1-2 sin2 α (3) (3) 2tanα 2tanα tan2α ————— tan2α=—————
2 1-tan α

(C2 α )

(T 2 α ) 三倍角的正弦、余弦和正切公式: 三倍角的正弦、余弦和正切公式: (1)sin3α=3sinα-4sin3α α (1) α (2)cos3α=4cos3α-3cosα α (2) α

(3) 3tanα-tan3α α tan3α=———————— α 1-3tan2α - 三角函数的积化和差与和差化积: 三角函数的积化和差与和差化积: 考察公式: 考察公式:

cos(α + β ) = cos α cos β ? sin α sin β ; cos(α ? β ) = cos α cos β + sin α sin β ; sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β ; sin(α ? β ) = sin α cos β ? cos α sin β ;

积化和差: 积化和差: 1 cos α cos β = [cos(α + β ) + cos(α ? β )] ; 2 1 sin α sin β = ? [cos(α + β ) ? cos(α ? β )] ; 2 1 sin α cos β = [sin(α + β ) + sin(α ? β )] ; 2 1 cos α sin β = [sin(α + β ) ? sin(α ? β )] ; 2 由上可得 可得: 由上可得:
sin(α + β ) + sin(α ? β ) = 2 sin α cos β ; sin(α + β ) ? sin(α ? β ) = 2 cos α sin β ; cos(α + β ) + cos(α ? β ) = 2 cos α cos β ; cos(α + β ) ? cos(α ? β ) = ?2 cos α cos β ;

设: α + β = x , α ? β = y ,则 α =

x+ y x? y ,β = . 2 2 和差化积: 和差化积:

x+ y x? y cos ; 2 2 x+ y x? y sin x ? sin y = 2 cos sin ; 2 2 x+ y x? y cos x + cos y = 2 cos cos ; 2 2 x+ y x? y cos x ? cos y = ?2 sin sin . 2 2 sin x + sin y = 2 sin

万能公式: 万能公式: ) 2 sinα= sinα=———————— 2tan(

α

1+tan2(

2

α
2

)

2 cosα= cosα=———————

2 1-tan (

2

α α
2

)

1+tan2(

)

) 2 tanα= tanα=——————— 1-tan2(

2tan(

α

α
2

) 半角的正弦、余弦和正切公式: 半角的正弦、余弦和正切公式:

三角函数的降幂公式: 三角函数的降幂公式: 的降幂公式

asinα bcosα 化 asinα±bcosα为一个角的一个三角函数的形式 辅助角的三角函数的公式) (辅助角的三角函数的公式) :

诱导公式: 诱导公式:

诱导公式 –α
1 π ?α 2 1 π +α 2 π ?α

sin -sin α cos α cos α sin α -sin α -cos α -cos α -sin α sin α -sin α

cos cos α sin α -sin α -cos α -cos α -sin α sin α cos α cos α -cos α cos

tan -tan α cot α -cot α -tan α tan α cot α cot α -tan α tan α tan α

cot -cot α tan α -tan α -cot α cot α tan α tan α -cot α cot α cot α

π +α
3 π ?α 2 3 π +α 2 2π ? α
2kπ + α

(2k + 1)π + α

1 , tan(– α )=-tan α ,就有 cot tan( tan α (– α )= -cot α .两者分别的函数名不变 符号也相同, csc α 、 sec α 同上,后同.] 两者分别的函数名不变,符号也相同, 后同. 两者分别的函数名不变 符号也相同

[cot(– α )等,同它相反的函数,例: cot α = cot( 同它相反的函数, cot


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