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概率的题目


用列举法求概率

思考2:
如图,袋中装有两个完全相同的球,分别标有数 字“1”和“2”.小明设计了一个游戏:游戏者 每次从袋中随机摸出一个球,并自由转动图中 的转盘(转盘被分成相等的三个扇形).
1 2 3

游戏规则是: ?如果所摸球上的数字与转盘转出的数 字之和为2,那么游戏者获胜.求游戏者 获胜的概率.

驶向胜利 的彼岸

解:每次游戏时,所有可能出现的结果如下:
转盘 摸球

1 3 2

1 (1,1) (2,1)

2

3

1
2

(1,2)
(2,2)

(1,3)
(2,3)

总共有6种结果,每种结果出现的可能性相 同,而所摸球上的数字与转盘转出的数字之 和为2的结果只有一种:(1,1),因此游戏者 获胜的概率为1/6.

思考:

小明和小亮做扑克游戏,桌面上放有两堆牌,分 别是红桃和黑桃的1,2,3,4,5,6,小明建议:我从红桃 中抽取一张牌,你从黑桃中取一张,当两张牌数字 之积为奇数时,你得1分,为偶数我得1分,先得 到10分的获胜”。如果你是小亮,你愿意接受这 个游戏的规则吗?

这个游戏对小亮和小明公 平吗? 你能求出小亮得分的概率吗?

?用表格表示
红桃 黑桃

1 (1,1)

2 (1,2)

3 (1,3)

4 (1,4)

5 (1,5)

6 (1,6)

1 2 3 4 5 6

(2,1)
(3,1) (4,1)

(2,2)
(3,2) (4,2)

(2,3)
(3,3) (4,3)

(2,4)
(3,4) (4,4)

(2,5)
(3,5) (4,5)

(2,6)
(3,6) (4,6)

(5,1)
(6,1)

(5,2)
(6,2)

(5,3)
(6,3)

(5,4)
(6,4)

(5,5)
(6,5)

(5,6)
(6,6)

解:由表中可以看出,在两堆牌中分别取一张,它可 能出现的结果有36个,它们出现的可能性相等 满足两张牌的数字之积为奇数(记为事件A) 的有(1,1)(1,3)(1,5)(3,1)(3,3)(3,5)(5,1)(5,3)(5,5) 这9种情况,所以

1 P(A)= 9 ? 36 4 总结经验:

当一次试验要涉及两个因素,并且可能出 现的结果数目较多时,为了不重不漏的列 出所有可能的结果,通常采用列表的办法

课堂练习:

1.一黑一红两张牌.抽一张牌 ,放 回,洗匀后再抽一张牌.这样先后 抽得的两张牌有哪几种不同的可 能?他们至少抽到一张黑牌的概率 是多少?

2.这是一个抛掷两个筹码的游戏,准备两个筹 码,一个两面都画上×;另一个一面画上×, 另一面画上○,甲乙各持一个筹码,抛掷手中 的筹码。
游戏规则:掷出一对×,甲得1分;掷出一个× 一个○,乙得1分。 那么这个游戏公平吗?

当一次试验要涉及两个因素并且可能出现 的结果数目较多时,为避免重复遗漏,经 常采用列表法

例:为活跃联欢晚会的气氛,组织者设计了以下转盘游戏:A、B两 个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形,转盘A上的数字 分别是1,6,8,转盘B上的数字分别是4,5,7(两个转盘除表面 数字不同外,其他完全相同).每次选择2名同学分别拨动A、B两个 转盘上的指针,使之产生旋转,指针停止后所指数字较大的一方为 获胜者,负者则表演一个节目(若箭头恰好停留在分界线上,则重 转一次).作为游戏者,你会选择A、B中哪个转盘呢?并请说明理 由.
1 6
A

4

8
5
B

7

联欢晚会游戏转盘

分析:首先要将实际问题转化为数学问题,即:“停止转动后, 哪个转盘指针所指数字较大的可能性更大呢?”这个问题涉及 两个带指针的转盘,即涉及两个因素,产生的结果数目较多, 列举时很容易造成重复或遗漏.为了避免这种重复或遗漏, 可 以用列表法求解,列表的时候,注意左上角的内容要规范,中 间结果一般要用有序数对的形式表示;每一个转盘转动,都有 3种等可能的结果,而且第二个转盘转动的结果不受第一个结果 的限制,因此一共有=9种等可能的结果.
解:列表如下 B A 1 (1,4) (1,5) (1,7) 4 5 7

6
8

(6, 4)
(8,4)

(6,5)
(8,5)

(6,7)
(8,7)

从表中可以发现: 5种. 5 A盘数字大于B盘数字的结果共有 4 ∴P(A数较大)= 9 ,P(B数较大)= 9 . ∴P(A数较大)>P(B数较大),∴选择A装置的获胜可能性较大.

随堂练习 (基础练习) 1、一个袋子中装有2个红球和2个绿球,任意摸出一 球,记录颜色放回,再任意摸出一球,记录颜色放回,请 1 。 你估计两次都摸到红球的概率是________ 2、某人有红、白、蓝三件衬衫和红、白、蓝三条 长裤,该人任意拿一件衬衫和一条长裤,求正好 1。 是一套白色的概率_________

4

9

4.现有两组电灯,每一组中各有红、黄、蓝、绿四盏灯,各组 中的灯均为并联,两组等同时只能各亮一盏,求同时亮红灯的 概率。

将所有可能出现的情况列表如下: (红,红)(黄,红)(蓝,红)(绿,红) (红,黄)(黄,黄)(蓝,黄)(绿,黄) (红,蓝)(黄,蓝)(蓝,蓝)(绿,蓝) (红,绿)(黄,绿)(蓝,绿)(绿,绿)

5.某商场在今年“十·一”国庆节举行了购物摸奖活动.摸奖 箱里有四个标号分别为1,2,3,4的质地、大小都相同的小球, 任意摸出一个小球,记下小球的标号后,放回箱里并摇匀,再 摸出一个小球,又记下小球的标号.商场规定:两次摸出的小 球的标号之和为“8”或“6”时才算中奖.请结合“列表法”, 求出顾客李老师参加此次摸奖活动时中奖的概率. 6.如图,有三张不透明的卡片,除正面写有不同的数字外,其 它均相同.将这三张卡片背面向上洗匀,从中随机抽取一张, 记录数字后放回,重新洗匀后再从中随机抽取一张,记录数 字.试用列表的方法,求抽出的两张卡片上的数字都是正数的 概率.
-3 1 2

正 面 背 面

7.同时掷两个质地均匀的骰子,计算下列事件的概率: (1)两个骰子的点数的和是5; (2)至少有一个骰子的点数为5.
8. “六一”儿童节期间,某儿童用品商店设置了如下促销活 动:如果购买该店100元以上的商品,就能参加一次游戏,即 在现场抛掷一个正方体两次(这个正方体相对的两个面上分 别画有相同图案),如果两次都出现相同的图案,即可获得 价值20元的礼品一份,否则没有奖励.求游戏中获得礼品的 概率是多少? 9.甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛,要从中 选出两位同学打第一场比赛, ⑴请用列表法,求恰好选中甲、乙两位同学的概率; ⑵若已确定甲打第一场,再从其余三位同学中随机选取一位, 求恰好选中乙同学的概率。

10.在一个不透明的盒子里,装有四个分别标有数字1,2,3,4 的小球,它们的形状、大小、质地等完全相同.小明先从盒子里 随机取出一个小球,记下数字为x;放回盒子摇匀后,再由小华 随机取出一个小球,记下数字为y. (1)用列表法表示出(x,y)的所有可能出现的结果; (2)求小明、小华各取一次小球所确定的点( x,y)落在反比 4 例函数 y ? x 的图象上的概率; 4 y ? (3)求小明、小华各取一次小球所确定的数x、y满足 x 的 概率.
11.一个口袋中有4个小球,这4个小球分别标记为1,2,3,4. (1)随机模取一个小球,求恰好模到标号为2的小球的概率; (2)随机模取一个小球然后放回,再随机模取一个小球,求两 次摸取的小球的标号的和为3的概率.

12.如图,有A、B两个转盘,其中转盘A被分成4等份,转盘B 被分成3等份,并在每一份内标上数字。现甲、乙两人同时 各转动其中一个转盘,转盘停止后(当指针指在边界线上时 视为无效,重转),若将A转盘指针指向的数字记为x,B转 盘指针指向的数字记为y,从而确定点P的坐标为P(x,y)。 记S=x+y。 (1)请用列表法写出所有可能得到的点P的坐标; (2)李刚为甲、乙两人设计了一个游戏:当S<6时甲获胜, 否则乙获胜。你认为这个游戏公平吗?对谁有利?

1 4

2
3

2 6

4

A

B

13.如图11,一转盘被等分成三个扇形,上面分别标有-1,1, 2中的一个数,指针位置固定,转动转盘后任其自由停止,这 时,某个扇形会恰好停在指针所指的位置,并相应得到这个 扇形上的数(若指针恰好指在等分线上,当做指向右边的扇 形). (1)若小静转动转盘一次,求得到负数的概率; (2)小宇和小静分别转动转盘一次,若两人得到的数相同, 则称两人“不谋而合”.用列表法求两人“不谋而合”的概率.

1 -1 2

图 11

14.“五·一”假期,某公司组织部分员工分别到A、B、C、D四地 旅游,公司按定额购买了前往各地的车票.下图是未制作完的车票 种类和数量的条形统计图,根据统计图回答下列问题: (1)若去D地的车票占全部车票的10%,请求出D地车票的数量,并 补全统计图; (2)若公司采用随机抽取的方式分发车票,每人抽取一张(所有 车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀),那么员工小胡抽 到去A地的概率是多少? (3)若有一张车票,小王、小李都想要,决定采取抛掷一枚各面 分别标有1,2,3,4的正四面体骰子的方法来确定,具体规则是: “每人各抛掷一次,若小王掷得着地一面的数字比小李掷得着地一 面的数字小,车票给小王,否则给小李”.试用“列表法或画树状 图”的方法分析,这个规则对双方是否公平?y
40 30 20 10

O

A

B

C

D

x

15.6张不透明的卡片,除正面画有不同的图形外,其它均相同, 把这6张卡片洗匀后,正面向下放在桌上,另外还有与卡片上图 形形状完全相同的地板砖若干块,所有地板砖的长都相等。 ⑴从这6张卡片中随机抽取一张,与卡片上图形形状相对应的这 种地板砖能进行平面镶嵌的概率是多少? ⑵从这6张卡片中随机抽取2张,利用列表法计算:与卡片上图 形形状相对应的这两种地板砖能进行平面镶嵌的概率是多少?

正三角 形 A

正方形

B

正五边 形 C

正六边 形
D

正八边 形 E

正十边 形
F

例2.甲、乙、丙三人打乒乓球.由哪两人先打呢? 他们决定用 “石头、剪刀、布”的游戏来决定,游戏时 三人每次做“石头” “剪刀”“布”三种手势中的一 种,规定“石头” 胜“剪刀”, “剪刀”胜“布”, “布” 胜“石头”. 问一次比赛能淘汰一人的概率是多少? 游戏开始



石 石 剪 布

















解: 由规则可知,一次能淘汰一人的结果应是:“石石剪” 由树形图可以看出 ,游戏的结果有27种, “剪剪布” “布布石”三类 . 它们出现的可能性相等. 9 =1 而满足条件(记为事件A)的结果有9种 ∴ P(A)= 27 3

乙 石剪布 石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布

1.经过某十字路口的汽车,它可能继续直行, 也可能向左转或向右转,如果这三种可能性 大小相同。三辆汽车经过这个十字路口,求 下列事件的概率: (1)三辆车全部继续直行; (2)两辆车向右转,一辆车向左转; (3)至少有两辆车向左传。

一 辆 第 二 左 辆 第 三 辆

解:画树形图如下: 第 直 左







左 直



左 直



左直右 左直右 左直右 左直右 左直右 左直右 左直右 左直右 左直右

共有27种行驶方向

1 (1) ? P (全部继续直行) ? 27

3 1 (2) ? P(两车右转,一车左传) ? ? 27 9
(3)至少有两辆车向左传,有7种情况,即: 左左左,左左直,左左右,左直左, 左右左,直左左,右左左。

7 ? P(至少有两车向左传) ? 27

2.在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌,它们分别标有

数字1,2,3,4.随机地摸取出一张纸牌然后放回,在随机摸 取出一张纸牌. (1)计算两次摸取纸牌上数字之和为5的概率; (2)甲、乙两个人进行游戏,如果两次摸出纸牌上数字之和 为奇数,则甲胜;如果两次摸出纸牌上数字之和为偶数,则乙 胜。这 是个公平的游戏吗?请说明理由 . 1
解:用树状图法。 2 3 4

1 4 (1)两次摸取纸牌上数字之和为5(记为事件A)有4个,P(A)= 16 = 4

1 2 3 4 1 2 3 4 由上表可以看出,摸取一张纸牌然后放回,再随机摸取出纸牌,可能结果有16种, 它们出现的可能性相等.

1

2

3

4

1

2

3 4

8 1 (2)这个游戏公平,理由如下: 两次摸出纸牌上数字之和为奇数(记为事件B)有8个,P(B)= 16 = 2 1 8 两次摸出纸牌上数字之和为偶数(记为事件C)有8个,P(C)= 16 = 2 两次摸出纸牌上数字之和为奇数和为偶数的概率相同,所以这个游戏公平.

3.一个不透明的布袋里装有3个球,其中2个红球,1个白球,它 们除颜色外其余都相同. (1)求摸出1个球是白球的概率; (2)摸出1个球,记下颜色后放回,并搅匀,再摸出1个球,求两 次摸出的球恰好颜色不同的概率(要求画树状图); (3)现再将n个白球放入布袋,搅匀后,使摸出1个球是白球的概 5 率为 7 ,求n的值. 4.在一个不透明的口袋里,装有红、白、黄三种颜色的乒乓球 (除颜色外其余都相同),其中有白球2个,黄球1个.若从中 任意摸出一个球,这个球是白球的概率为0.5 . (1)求口袋中红球的个数. (2)若摸到红球记0分,摸到白球记1分,摸到黄球记2分,甲 从口袋中摸出一个球不放回,再摸出一个.请用画树状图的方 法求甲摸得到两个球且得2分的概率.

3.游戏者同时转动图中得两个转盘进行“配紫色”的游戏,求游戏 者获胜的概率。(配紫色即转成红蓝两种颜色)
红 白 黄 蓝

绿

4.小王将一黑一白两双相同号码的袜子一只一只的扔进抽屉里, 当他随意的从抽屉里拿出两只袜子时,恰好成双的额概率是多 少。 5.准备两组相同的牌,每组两张,两张牌的牌面数字分别是1和2, 从每组牌中各摸出一张,称为一次试验。 (1)一次试验中两张牌的牌面数字和可能有那些值, (2)两张牌的牌面数字和等于3的概率是多少。 (3)你认为哪种情况的概率最大。

5.甲、乙、丙三个布袋都不透明,甲布袋中装有1个红球和1个白 球;乙布袋中装有1个红球和2个白球;丙布袋中装有2个白球,这些 球除颜色外都相同,从这匹个布袋中各随机地取出1个小球. (1)取出的3个小球恰好是2个红球和1个白球概率是多少? (2)取出的3个小球恰好全是白球的概率是多少? 6.如图所示,小吴和小黄在玩转盘游戏,准备了两个可以自由转 动的转盘甲、乙,每个转盘被分成面积相等的几个扇形区域,并 在每个扇形区域内标上数字,游戏规则:同时转动两个转盘,当 转盘停止转动后,指针所指扇形区域内的数字之和为4,5或6时, 则小吴胜;否则小黄胜。(如果指针恰好指在分割线上,那么重 转一次,直到指针指向某一扇形区域为止)

(1)这个游戏规则对双方公平吗?说说你的理由; (2)请你设计一个对双方都公平的游戏规则。

7.小明和小华为了获得一张2010年上海世博园门票,他们各自设计了一个方案: 小明的方案是:转动如图所示的转盘,当转盘停止转动后,如果指针停在阴影 区域,则小明获得门票;如果指针停在白色区域,则小华获得门票(转盘被等 分成6个扇区,若指针停在边界处,则重新转动转盘). 小华的方案是:有三张卡片,上面分别标有数字1,2,3,将它们背面朝上洗 匀后,从中摸出一张,记录下卡片上的数字后放回,重新洗匀后再摸出一张, 若摸出两张卡片上的数字之和为偶数,则小华获得门票. (1)在小明的方案中,计算小明获得门票的概率,并说明小明的方案是否公 平? (2)用树状图法列举小华设计方案中可能出现的所有结果,计算小华获得门 票的概率,并说明小华的方案是否公平?

例:将正面分别标有数字1、2、3、4、6,背面 花色相同的五张卡片洗匀后,背面朝上放在桌 面上,从中随机抽取两张. (1)写出所有机会均等的结果,并求抽出的两 张卡片上的数字之和为偶数的概率; (2)记抽得的两张卡片的数字为(a,b),求点 P(a,b)在直线y=x-2上的概率. 分析:因为从五张卡片中随机抽取两张,它的可 能结果是有限个,并且各种结果发生的可能性 相等.因此,它可以应用“列举法”的公式概 率.注意,在问题(1)中抽出的两张卡片是没 有先后顺序的;在问题(2)中抽出的两张卡片 是有先后顺序上的.

解:(1)任取两张卡片共有10种取法,它们是:(1、 2),(1、3),(1、4),(1、6),(2、3),(2、 4),(2、6),(3、4),(3、6),(4、6);和 为偶数的共有四种情况.故所求概率为 P1 ? 4 ? 2 .
10 5

(2)抽得的两个数字分别作为点P的横、纵坐标共有20 种机会均等的结果,在直线y=x-2上的只有(3、1), (4、2),(6、4)三种情况,故所求概率 P1 ? 3 .
20


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