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【数学】福建省各地市2011年高考最新联考分类汇编(5)三角函数


福建省各地市 2010-2011 学年下学期高考数学最新试题分类大汇 编:第 5 部分 三角函数
一、选择题: 1. (福建省福州市 2011 年 3 月高中毕业班质量检查文科下列各选项中,与 sin2011°最接近 的数是( A ) A. ?

1 2

B.

1 2

C.

2 2

D. ?

2 2

2.(福建省厦门市 2011 年高三质量检查文科)已知α 的顶点在原点,始边与 x 轴的非负半轴 重合,终边过点 (? , ), 则 cos ? 的值为 ( D )

3 4 5 5

4 A. 5

3 B. ? 4

4 C. ? 5

D. ?

3 5

3.(福建省厦门市 2011 年高三质量检查文科)将函数 y ? 2sin x 的图象向右平移 再向上平移 1 个单位,所得函数图象对应的解析式为 ( C ) A. y ? sin(2 x ? C. y ? 2sin 2 x

? 个单位, 4

?
4

) ?1

B. y ? 2cos x
2

D. y ? ? cos 2 x

4.(福建省厦门市 2011 年高三质量检查理科)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ?) 图象如右图所 示,则 f (0) 等于 ( A )

A.

1 2

B.

2 2 6? 2 4

C.

3 2

D.

5. (福建省古田县 2011 年高中毕业班高考适应性测试文科) ?ABC 的外接圆半径 R 和 ?ABC 的面积都等于 1,则 sin A sin B sin C ? ( D ) A.

1 4
?
3

B.

3 2

C.

3 4

D.

1 2

6. (福建省四地六校联考 2011 届高三第三次月考理科)给出下面的 3 个命题: (1)函数
y ?| sin(2 x ? ) | 的最小正周期是

x?

5? 5? ) 的图象的一条对称轴. 是函数 y ? sin( 2 x ? 4 2
) C.2

? 3? 3? ) 上单调递增; ; (2)函数 y ? sin( x ? ) 在区间 [? , (3) 2 2 2

其中正确命题的个数是( C A.0 B.1

D.3

第 -1- 页 共 8 页

7. ( 福 建 省 四 地 六 校 联 考 2011 届 高 三 第 三 次 月 考 理 科 ) 已 知 ?

?
2

?? ?

?
2

,且

s i n ? c o s? a 其中 a ? ? 0,1? ,则关于 tan ? 的值,在以下四个答案中,可能正确的是 ? ? ,
( C A. ?3 ) B.3 或

1 3

C. ?

1 3

D. ?3 或 ?

1 3

8、(福建省三明市 2011 年高三三校联考文科)已知锐角△ ABC 的面积为 3 3 , BC =4, CA =3, 则角 C 的大小为( B ) A. 75° B. 60° 二、填空题: C. 45° D. 30°

9.(福建省莆田市 2011 年高中毕业班质量检查理科)如右图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 在角 ? 的终边上,且 | OA |? 4cos ? ,则当 ? ? [ 围是 。 [ 2, 2]

? ?

, ] 时,点 A 的纵坐标 y 的取值范 8 3

10.(福建省古田县 2011 年高中毕业班高考适应性测试文科)已知 cos x ? 则 tan 2x ? .

3 ? , x ? ( ? , 0) , 5 2

24 7

11. (福建省四地六校联考 2011 届高三第三次月考理科)已知 ? 为第二象限角,且 P( x, 5 ) 为其终边上一点,若 cos ? =

2 x 则 x 的值为 4

? 3

12、(福建省三明市 2011 年高三三校联考文科)给出下列四个命题,其中正确命题的序号是 ②④ ①函数 y ? sin(2 x ?

?
6

) 的图像可由函数 y ? sin 2 x 的图像向左平移

? 单位得到; 6

0 ② ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,已知 A ? 60 , a ? 7 ,则 b ? c 不可能等于 ...

15; ③若函数 f ( x ) 的导数为 f '( x) , f ( x0 ) 为 f ( x ) 的极值的充要条件是 f ?( x0 ) ? 0 ; ④在同一坐标系中,函数 y ? sin x 的图象和函数 y ? x 的图象只有一个公共点; 13. ( 福 建 省 三 明 市 2011 年 高 三 三 校 联 考 理 科 ) 函 数

f ( x? )

A s i n ?( ? ?x

?
.

k ?A ( ) ?

? ? ? 的 图 象 如 图 所 示 , 则 f ( x) 的 表 达 式 是 0 , ? 0 , | | )
2

f ( x) ?

第 -2- 页 共 8 页

3 ? sin(2 x ? ) ? 1 . 2 3
三、解答题: 14.(福建省福州市 2011 年 3 月高中毕业班质量检查理科)(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

3 1 sin ? x ? cos ? x , x ? R . 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最大值和最小值; (Ⅱ)设函数 f ( x ) 在 [?1,1] 上的图象与 x 轴的交点从左到右分别为 M、N,图象的最高点 为 P,求 PM 与 PN 的夹角的余弦. 14.解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? = sin(? x ? ∵x?R

???? ?

??? ?

3 1 sin ? x ? cos ? x 2 2

?
6

) .-----------------------------2 分

∴ ?1 ? sin(? x ?

?
6

) ?1,

∴函数 f ( x ) 的最大值和最小值分别为 1,—1.---------------4 分 (Ⅱ)解法 1:令 f ( x) ? sin(? x ? ∵

?
6

) ? 0 得? x ? 1 6


?
6

? k? , k ? Z , 5 6


x ?[?1,1]



x??

x?

1 5 M ( ? , 0), N ( , 0), 6 6


-----------------------6 分 由

sin(? x ? ) ? 1 6

?





x ? [?

1

, 得

1 1x ? ] 3

1 P ( ,1), -----------------------------8 分 3
∴ ------------------------------------------10 分

???? ? ???? 1 1 PM ? (? , ?1), PN ? ( , ?1), 2 2

???? ??? ? ? ???? ??? ? ? 3 PM ? PN ? ??? ? ? ∴ cos ? PM , PN ?? ???? | PM | ? | PN | 5
-----13 分 解法 2:过点 P 作 PA ? x 轴于 A ,则 | PA |? 1, 由三角函数的性质知 | MN |?

.----------------------------------

1 T ?1, 2

---------------6 分

1 5 ,----------------------------------------------| PM |?| PN |? 12 ? ( )2 ? 2 2
第 -3- 页 共 8 页

------------8 分 由余弦定理得

???? ???? ? | PM |2 ? | PN |2 ? | MN |2 ---------------------------10 分 cos ? PM , PN ?? 2 | PM | ? | PN |
5 ? 2 ?1 3 4 = ? .---13 分 5 5 2? 4
解法 3:过点 P 作 PA ? x 轴于 A ,则 | PA |? 1, 由三角函数的性质知 | MN |? 1 T ? 1 ,----------------------6 分 2

1 5 ----------------------------------------8 分 | PM |?| PN |? 12 ? ( )2 ? 2 2


Rt ?PAM





c

?MPA ?

| PA ? o ? | PM 5 2

-------------------------------10 分 s

|

1

2 5

|

∵PA 平分 ?MPN

∴ cos ?MPN ? cos 2?MPA ? 2cos ?MPA ? 1
2

? 2? (

2 5 2 3 ) ? 1 ? .------------------------------------------------------13 5 5

分 15. (福建省福州市 2011 年 3 月高中毕业班质量检查文科(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

3 1 sin ? x ? cos ? x , x ? R . 2 2
y P

(Ⅰ)求函数 f(x)的最大值和最小值; (Ⅱ)如图,函数 f(x)在[-1,1]上的图象与 x 轴的交点从左到右分别为 M、N,图象的最高点为 P, 求 PM 与 PN 的夹角的余弦. 15.解:(Ⅰ)∵ f ( x) ? = sin(? x ? ∵x?R

???? ?

??? ?

-1 M O N 1 x

3 1 sin ? x ? cos ? x 2 2

?
6

y 1

P

) …………2 分
∴ ?1 ? sin(? x ?

?
6

) ?1,

-1 M O A N 1 x

∴函数 f ( x ) 的最大值和最小值分别为 1,—1.
第 -4- 页 共 8 页

…………4 分 (Ⅱ)解法 1:令 f ( x) ? sin(? x ?

? k? , k ? Z , 6 5 1 1 5 ∵ x ?[?1,1] ∴x?? 或x? ∴ M ( ? , 0), N ( , 0), …………6 分 6 6 6 6 ? 1 1 由 sin(? x ? ) ? 1 ,且 x ?[?1,1] 得 x ? ∴ P ( ,1), …………8 分 6 3 3 ???? ? ???? 1 1 ∴ PM ? (? , ?1), PN ? ( , ?1), …………10 分 2 2 ???? ??? ? ? ???? ??? ? ? 3 PM ? PN ? ??? ? .…………12 分 ? ∴ cos ? PM , PN ?? ???? | PM | ? | PN | 5 6
解法 2:过点 P 作 PA ? x 轴于 A ,则 | PA |? 1, 由三角函数的性质知 | MN |?

?

) ? 0 得? x ?

?

1 T ?1, 2

…………6 分

1 5 ,…………8 分 | PM |?| PN |? 12 ? ( )2 ? 2 2
由余弦定理得 cos ? PM , PN ??

???? ???? ?

| PM |2 ? | PN |2 ? | MN |2 …………10 分 2 | PM | ? | PN |

5 ? 2 ?1 3 4 = ? .…………12 分 5 5 2? 4
解法 3:过点 P 作 PA ? x 轴于 A ,则 | PA |? 1, 由三角函数的性质知 | MN |? 1 T ? 1 ,…………6 分 2

1 5 …………8 分 | PM |?| PN |? 12 ? ( )2 ? 2 2
在 Rt ?PAM 中, cos ?MPA ?

| PA | 1 2 5 …………10 分 ? ? | PM | 5 5 2
2

∵PA 平分 ?MPN

∴ cos ?MPN ? cos 2?MPA ? 2cos ?MPA ? 1

? 2? (

2 5 2 3 ) ? 1 ? .…………12 分 5 5

16 (福建省古田县 2011 年高中毕业班高考适应性测试理科)(本题满分 14 分)

第 -5- 页 共 8 页

已知向量 OP ? ( 2 cos( 定义 f ( x) ? OP ? OQ

?
2

? x) , ? 1 ) , OQ ? ( ? sin(

?
2

? x) , cos 2 x ) ,

(1)求函数 f (x) 的表达式,并求其单调区间; (2)在锐角△ABC 中,角 A、B、C 对边分别为 a 、 b 、 c ,且 f ( A) ? 1, bc ? 8 ,求△ABC 的面 积. 16.(本题满分 14 分) 解: (1) f ( x) ? 由?

2 sin( 2 x ?

?
4

)

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
4

?

?
2

? 2k? ? ?

?
8

? k? ? x ?

3? ? k? ] k ? R 8 8 ? ? 3? 3? 7? ? 2k? ? ? k? ? x ? ? k? 由 ? 2k? ? 2 x ? ? 2 4 2 8 8 3? 7? ? k? , ? k? ] k ? R f (x) 的递减区间为 [ 8 8

f (x) 的递增区间为 [ ?

?

3? ? k? 8

? k? ,

(2)由 f ( A) ? 1 ? 2 sin( 2 A ? 又0 ? A ? 故S ?

?
4

) ? 1 ? sin(2 A ?

?
4

)?

2 2

?
2

? 2A ?

?
4

? (?

? 3?
4 , 4

)

所以 2 A ?

?
4

?

?
4

? A?

?
4

1 1 ? bc sin A ? ? 8 ? sin ? 2 2 2 2 4

17、(福建省三明市 2011 年高三三校联考文科)(本小题满分 12 分)已知向量 a ? (sin x,1) ,

1 b ? (cos x,? ) 2
(1)当 a ? b 时,求 x 的取值集合 (2)求函数 f ( x) ? a ? (b ? a) 的单调递增区间

第 -6- 页 共 8 页

17.

18.(福建省三明市 2011 年高三三校联考理科)(本题满分 13 分) 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,向量

设锐角△ABC 的三

?? ? ?? ? 3 m ? (1, sin A ? 3 cos A) , n ? (sin A, ) ,已知 m 与 n 共线 。 2
大小;

(Ⅰ)求角 A 的

(Ⅱ)若 a ? 2 , c ? 4 3 sin B ,且△ABC 的面积小于 3 ,求角 B 的取值范围。

(Ⅱ)因为 a ? 2 , c ? 4 3 sin B ,则

S? ABC ?

1 1 ac sin B ? ? 2 ? 4 3 sin 2 B ? 4 3sin 2 B 2 2 1 ? cos 2 B ? 4 3? ……………………(9 分) ? 2 3 ? 2 3 cos 2B . 2

第 -7- 页 共 8 页

由已知, 2 3 ? 2 3 cos 2B ? 3 ,即 cos 2 B ? 因为 B 是锐角,所以 0 ? 2 B ? (13 分)

?
3

,即 0 ? B ?

?
6

1 . 2

……………………

(11 分)

,故角 B 的取值范围是 (0,

? ) . ………… 6

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