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江西省南昌市2016届高三数学第一次模拟考试试题 理


江西省南昌市 2016 届高三数学第一次模拟考试试题 理
第I卷 一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. (1)设复数 z1,z2 在复平面、内的对应点关于实轴对称,z1=1+i,则 z1z2= (A) -2 (B)2 (C)1 一 i (D)1+i (2)已知集合 A={x|y= x ? x ) ,B= {y| y=ln(1-x)},则 A U B=
2

(A) [0,1] (B) [0,1) (C) (一∞,1] (D) (一∞,1) 3 (3)已知命题 p:函数 f (x)=|cosx|的最小正周期为 2π ;命题 q:函数 y=x +sinx 的图像关于原点 中心对称,则下列命题是真命题的是 (A)p ? q (B) p ? q (C)( ? p) ? ( ? q) (D)p ? ( ? q) (4)为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 5 次试验,得到 5 组数据 (x1,y1),(x2,y2),(X3,y3),(x4,y4),(x5,y5).根据收集到的数据可知 x1+x2 +x3 +x4 +x5 =150, 由最小二乘法求得回归直线方程为 $ y = 0.67x+ 54.9,则 y1+y2+y3+y4+y5 的值为 (A)75 (B)155.4 (C)375 (D)466.2 2 3 (5)(x 一 x+1) 展开式中 x 项的系数为 (A) -3 (B) -1 (C)1 (D)3 (6)从 1,2,3,4,5,6,7,8 中随机取出一个数为 x,执行如图所示的程序框图, 则输出的 x 不小于 40 的概率为

3 4 7 (C) 8
(A)

5 8 1 (D) 2
(B)

(7)若等比数列的各项均为正数,前 4 项的和为 9,积为 (A)

81 ,则前 4 项倒数的和为 4

3 2

(B)

9 4

(C)1

(D)2

(8)甲乙两人从 4 门课程中各选修两门,则甲乙所选的课程中至少有 l 门不相同的选法共有 (A)30 种 (B)36 种 (C)60 种 (D)72 种 2 (9)已知抛物线 C:y =8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直线 PF 与 C 的一个交 点,若 FP=3FQ,则|QF|= (A)

8 3

(B)

5 2

(C)3 (D)2 (10)如图网格纸上小正方形的边长为 l,粗实线画出的是某几何体的 三视图,则这个几何体的体积为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (11)已知点 P 在直线 x+3y-2=0 上, 点 Q 在直线 x+3y+6=0 上, 线段 PQ 的中点为 M(x0, y0), 且 y0<x0 +2, 则 的取值范围是 (A)[一

y0 x0

1 ,0) 3 1 (C)(一 ,+∞) 3

(B)(一

1 ,0) 3 1 ) U (0,+∞) 3

(D)(一∞,一

(12)已知函数 f(x)的定义域为 D,若对于 ? a,b,c∈D, .f(a),f (b),f(c)分别为某个三角形的 三边长,则称 f(x)为“三角形函数” .给出‘F 列四个函数:

1

①f(x)f=lnx(x>1),②f(x)=4+sinx,③f(x)= x 3 (1≤x≤8),④f(x)= 其中为“三角形函数”的个数是 (A)1 (B) 2

2x ? 2 , 2x ? 1

(C)3 (D)4 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两个部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个考生都必须作答,第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. (13)已 知向量 a=(1, 3 ),向量 a,c 的夹角是

? ,a·c=2,则|c|等于 3



(14) 数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn+Sn 一 1=2n-l (n>2),且 S2 =3,则 a1+a3 的值为 。 (15)正三角形 ABC 的边长为 2,将它沿高 AD 翻折,使点 B 与点 C 间的距离为 2 ,此时四面体 ABCD 外接球表面积为____. 2 (16)已知抛物线 C:x =4y 的焦点为 F,过点 F 且斜率为 l 的直线与抛物线相交于 M,N 两点.设 直线 l 是抛物线 C 的切线,且 l∥MN,P 为 l 上一点,则 PM ? PN 的最小值为 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=( 3 sin ? x+ cos ? x)cos ? x 一
uuu r uuu r

.

1 (x ? R, ? >0) .若 f(x))的最小止周期为 4 ? . 2

( I )求函数 f(x)的单调递增区间; (II)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足(2a-c)cosB=bcosC,求函数 f(A) 的取值范围. (18)(本小题满分 12 分) 某校高三数学备课组为了更好的制定二轮复习的计划,开展了试卷讲评后效果的调研,从 上学期期末数 学试题中选出一些学生易错题,重新进行测试,并认为做这些题不出任何错误的 同学为“过关” ,出了错误的同学认为“不过关” ,现随机抽查了年级 50 人,他们的测试成绩 的频数分布如下表:

(I)由以上统计数据完成如下 2×2 列联表,并判断是否有 95%的把握认为期末数学成绩不 低于 90 分与测试“过关”是否有关?说明你的理由.

(II)在期末分数段[105,120)的 5 人中,从中随机选 3 人,记抽取到过关测试“过关”的人 数为 X,求 X 的分布列及数学期望. 下面的临界值表供参考:

(19)(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 S- ABCD 中,SD⊥底面 ABCD,AB//DC,AD ⊥ DC,,AB=AD=1 DC=SD=2, E 为棱 SB 上的一点,且 SE=2EB. (I)证明:DE⊥平面 SBC; (II)证明:求二面角 A- DE -C 的大小。 .

(20)(本小题满分 12 分 ) 已知椭圆 C:

x2 y 2 ? =1(a>0,b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形,直 a 2 b2

线 x+y+2 2 一 1=0 与以椭圆 C 的右焦点为圆心,以椭圆的长 半轴长为半径的圆相切. (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设点 B,C,D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点,点 B 与点 D 关于原点 O 对称.设直线 CD,CB,OB,OC 的斜率分别为 k1,k2,k3,k4,且 k1k2=k3k4. 2 2 (i)求 k1k2 的值: (ii)求 OB + OC 的值.

(21)(本小题满分 l2 分) 2 已知函数 f(x)=lnx+x 一 2ax+1. ( a 为常数) (I)讨论函数 f(x)的单凋性; a 2 (II)若存在 x0∈(0,1],使得对任意的 a∈(-2,0],不等式 2me +f(x0)> a +2a+4(其中 e 为自然对数 的底数)都成立,求实数 m 的取值范围.

请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做, 则按所做第一个题目计分,做答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, 圆 M 与圆 N 交于 A, B 两点, 以 A 为切点作两圆的切线分别交圆 M 和圆 N 于 C、 D 两点,延长 DB 交圆 M 于点 E, 延长 CB 交圆 N 于点 F.已知 BC=5, DB=10. (I)求 AB 的长; (II)求

CF 。 DE

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 己知曲线 C 的极坐标方程是ρ = 4cosθ .以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正 半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 ( I)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; ( II)若直线,与曲线 c 相交于 A、B 两点,且|AB|= 14 ,求直线的倾斜角 a 的值. (24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f(x)= (t 是参数) .

x ? 2 ? 11 ? x 的最大值为 M.

(I)求实数 M 的值; (II)求关于 x 的不等式|x 一 2 |+| x+2 2 |≤M 的解集。

NCS20160607 项目第一次模拟测试卷 数学(理科)参考答案及评分标准 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 答案: (1) (B) (2) (C) (3) (B) (4) (C) (5) (A) (6) (B) (7) (D) (8) (A) (9) (A) (10) (D) (11) (D) (12)(B) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 答案: (13) 2 (14) ?1 (15) 5? (16) ?14 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分) 解: (I)? f ( x ) ?
?
3 sin ? x cos ? x ? cos ? x ?
2

1 2

3 2

sin 2? x ?

1

? cos 2? x ? sin(2? x ? ) . 2 6

4 4π 2π ? x ? 4kπ ? ,k ? Z . 得 4kπ ? 3 3
∴ f ( x) 的单调递增区间为 ?4k ? ?

?T ?

2π 2?

? 4 π ,? ? ?

1

.由 2k? ?

? x ? ? ? ? ? 2k? ? ,k ? Z , 2 2 6 2

?? ? (k ? Z).------------------(6 分) 3 3? ? (Ⅱ)由正弦定理得, (2sinA ? sinC ) cos B ? sinB cos C , ∴ 2sinA cos B ? sin(B ? C ) . ?? , 4k ? ?

? ?

∵ sin(B ? C ) ? sinA ? 0 ,∴ cos B ?

1 . 2
1 . 2

或: (2a ? c) cos B ? b cos C , 2a cos B ? b cos C + c cos B = a ,∴ cos B ? 又0? B? ?,
? ? ? A ? ? ? ? ?B ? ?

3

.

?0 ? A ?

2? 3

1 1) .------------------(12 分) . ? f ( A) ? ( , 2 6 2 6 2 (18)(本小题满分 12 分) 解:(I)依题意得 a ? 12, b ? 18, c ? 14, d ? 6
分数低于 90 分人数 过关人数 不过关人数 合计 12 18 30 分数高于 90 分人数 14 6 20 合计 26 24 50

50( 12 ? 6 ? 18 ?14) 2 225 ? ? 4.327>3.841 30 ? 20 ? 26 ? 24 52 因此有 95 %的把握认为期末数学成绩不低于 90 分与测试 “过关”有关.(6 分) K2=
(II)在期末分数段[105,120)的 5 人中,有 3 人 测试“过关” ,随机选 3 人,抽取到过关测试“过关” 3 的人数为 X 的可能取值为 1, 2,
2 1 1 2 3 C2 C3 3 C2 C3 C3 6 1 P( X ? 1) ? 3 ? ,P( X ? 2) ? 3 ? ,P( X ? 3) ? 3 ? C5 10 C5 10 C5 10

X 的分布列为:

X

P

1 3 10

2 6 10

3 1 10
------------------(12 分)

E ( X ) ? 1?

3 6 1 18 ? 2 ? ? 3? ? ? 1.8 10 10 10 10

(19)(本小题满分 12 分)

解:分别以 DA , DC , DS 所在直线为 x 轴, y 轴,z 建立空间直角坐标系(如图) , 则 A(1,0,0), B(1,1,0), C (0, 2,0), S (0,0, 2) , DB ? (1,1,0), DS ? (0,0, 2) (Ⅰ)∵SE=2EB, ∴ DE ?

??? ?

??? ?

? 1 ??? ? 2 2 ??? 1 2 2 2 DB ? DS ? (1,1, 0) ? (0, 0, 2) ? ( , , ) 3 3 3 3 3 3 3 ??? ? ??? ? 又 BC ? (?1,1,0), BS ? (?1, ?1, 2) ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ∴ DE ? BC ? 0, DE ? BS ? 0 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ∴ DE ? BC, DE ? BS 又 BC ? BS ? B ∴DE ? 平面 SBC ----------(6 分)

????

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知,DE⊥平面 SBC, ∵ EC ? 平面 SBC,∴ DE ? EC 当 SE ? 2 EB 时,知 E ( ,

???? 2 2 2 2 2 2 , ) , DE ? ( , , ) , 3 3 3 3 3 3 ??? ? 1 1 1 2 1 1 ( ,,) ( , ? , ? ) 取 DE 中点 F ,则 F , FA ? 3 3 3 3 3 3 ??? ? ??? ? 故 FA ? DE ? 0 ,由此得 FA⊥DE ? ??? ? ??? ∴向量 FA 与 EC 的夹角等于二面角 A ? DE ? C 的平面角 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? FA ? EC 1 ? ??? ? ?? , 又 cos? FA, EC? ? ??? 2 | FA || EC | ∴二面角 A ? DE ? C 的大小为 1200 .------------------(12 分)
(20)(本小题满分 12 分)
D C F1 O F2 B x

x2 y 2 解: (Ⅰ)所求椭圆方程为 ? ?1 4 3 (Ⅱ) (i)设 B( x1 , y1 ), C( x2 , y2 ) ,则 D(? x1 , ? y1 ) ,

3 3 2 (4 ? x2 ) ? (4 ? x12 ) y ? y1 y2 ? y1 y ? y 3 4 ? ? ?4 ?? 于是 k1k2 ? 2 2 2 x2 ? x1 x2 ? x1 x ? x x2 ? x1 4 3 3 (ii)由(i)知, k3 k4 ? k1k2 ? ? ,故 y1 y2 ? ? x1 x2 . 4 4 9 2 2 3 3 2 2 x1 x2 ? y12 y2 ? (4 ? x2 ) ? (4 ? x12 ) 所 以, 16 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 即 x1 x2 ? 16 ? 4( x1 ? x2 ) ? x1 x2 ,所以, x1 ? x2 ? 4.
2 2 2 2 2 1 2 1
2 2 x12 y12 x2 y 2 x 2 ? x2 y 2 ? y2 2 ? )?( 2 ? 2)? 1 ? 1 ? 3. ,故 y12 ? y2 4 3 4 3 4 3 2 2 2 2 所以,OB +OC ? OB2 ? OC 2 ? x12 ? y12 ? x2 ? y2 ?7.

又2?(

(21)(本小题满分 12 分) 解: (I)函数 f ( x ) 在区间 (

a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 , ) 上单调递减, 2 2 a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 在区间 (0, ),( , ??) 上单调递增. 2 2 2 (II) m 的取值范围是 (1, e ] .
(22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 解: (Ⅰ)根据弦切角定理, 知 ?BAC ? ?BDA , ?ACB ? ?DAB ,

AB BC ? , DB BA 故 AB2 ? BC ? BD ? 50, AB ? 5 2 .--------(5 分) 2 2 (Ⅱ)根据切割线定理,知 CA ? CB ? CF , DA ? DB ? DE , CA2 CB CF ? ? 两式相除,得 (*). DA2 DB DE
∴△ ABC ∽△ DBA ,则

AC AB 5 2 2 CA2 1 ? , , ? ? ? DA2 2 DA DB 10 2 CF CB 5 1 ? 1 . ------------------(10 分) ? ? ,由(*)得 又 DE DB 10 2
由△ ABC ∽△ DBA ,得 (23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (I)由 ? ? 4cos? 得: ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 (II)将 ? ------------------(3 分)

? x ? 1 ? t cos? 代入圆的方程得 (t cos? ?1) 2 ? (t sin ? ) 2 ? 4 , ? y ? t sin ?
2

化简得 t ? 2t cos? ? 3 ? 0 . 设 A 、 B 两点对应的参数分别为 t1 、 t 2 ,则 ?

?t1 ? t 2 ? 2 cos? , ? t1t 2 ? ?3

? AB ? t1 ? t 2 ?
2

?t1 ? t 2 ?2 ? 4t1t 2

? 4 cos2 ? ? 12 ? 14 ,

∴ 4 cos ? ? 2 ,故 cos? ? ?

2 ? 3? ,即 ? ? 或 .------------------(10 分) 2 4 4

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解: (I) f ? x ? ? 当且仅当 x ?

x ? 2 ? 11 ? x ? 2

( x ? 2) ? (11 ? x) ?3 2, 2

13 时等号成立. 故函数 f ? x ? 的最大值 M ? 3 2 ---------------(5 分) 2

(II)由绝对值三角不等式可得 x ? 2 ? x ? 2 2 ? ( x ? 2) ? ( x ? 2 2) ? 3 2 . 所以不等式 | x ? 2 | ? | x ? 2 2 |? 3 2 的解 x 就是 方程 | x ? 2 | ? | x ? 2 2 |? 3 2 的解. 由绝对值的几何意义得,当且仅当 ?2 2 ? x ?

2 时, | x ? 2 | ? | x ? 2 2 |? 3 2 .
2} --------------(10 分)

所以不等式 | x ? 2 | ? | x ? 2 2 |? M 的解集为 {x | ?2 2 ? x ?


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