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成都七中高二上期末数学模拟试题(理科一)


成都七中高二上期末数学模拟试题(理科一)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分。 1.下列问题中,最适合用系统抽样抽取样本的是( )B A.从 10 名学生中,随机抽取 2 名参加义务劳动 B.从全校 3000 名学生中,随机抽取 100 名参加义务劳动 C.从某市 30000 名学生中,其中小学生 14000 人,初中生 10000 人,高中生 6000 人,抽取 300 名了解该市学生的近视情况 D.从某班周二值日小组 6 人中,随机抽取 1 人擦黑板 2.某人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( ) D A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 C.只有一次中靶 D.两次都不中靶 3.三棱锥 A ? BCD 中, ?ABC 和 ?DBC 是全等的正三角形,边长为 2,且 AD ? 1 ,则三棱 A 锥 A ? BCD 的体积为( )B

11 11 11 2 3 B. C. D. 2 6 3 3 4.已知一个 k 进制数 132 与十进制数 30 相等,那么 k 等于( ) C
A. A.7 或 4 B.-7 C.4 D.都不对

B C

D

5.给出下列四个命题: ①若直线 l ? 平面 ? , l // 平面 ? ,则 ? ? ? ; ②若平面 ? 内有不共线的三点到平面 ? 的距离相等,则 ? //? ; ③若一个二面角的两个半平面所在的平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面所在的 平面,则这两个二面角的平面角相等或互补; ④过空间中任意一点一定可以作一个和两条异面直线都平行的平面。 其中正确命题的个数有( )A A.1 B.2 C.3 D.4 6.从分别写有 A、B、C、D、E 的 5 张卡片中任取 2 张,则这 2 张卡片上的字母恰好是按字母 顺序相邻的概率为( ) C A.

1 5

B.

3 10

C.

2 5
) B

D.

7 10

7.给出下列程序,此程序的功能为 (

INPUT “实数”;x1,y1,x2,y2 a=x1-x2 m=a^ 2 b=y1-y2 n=b^ 2 s=m+n d=SQR? s? PRINT d END A.求点到直线的距离 C.求一个多项式函数的值 B.求两点之间的距离 D.求输入的值的平方和

8.右图是一个空间几何体的三视图,该几何体的外接球的体积 记为 V1 ,俯视图绕长度为 2 的边所在直线旋转一周形成的几何体

2 2 正视图 2

2 1 侧视图

的体积记为 V2 ,则 A. 12 2 C. 6 2

V1 ?( V2

)D

B. 8 2 2 2 D. 4 2 俯视图 9. 如图,用一边长为 2 的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个 小三角形,做 成一个蛋巢,将表面积为 4? 的鸡蛋(视为球体)放入其中,则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底 面的距离为( )D

2 1 ? 2 2 3 C. 2
A.

6 1 ? 2 2 3 1 D. ? 2 2
B.

10.平面四边形 ABCD 中,AD=AB= 2 ,CD=CB= 5 ,且 AD ? AB ,现将 ?ABD 沿着对角线 BD 翻折成 ?A BD ,则在 ?A BD 折起至转到平面 BCD 内的过程中,直线 A/ C 与平面
/ /

BCD 所成的最大角的正切值为(
A1 B

)C C

1 2

3 3

D

3

二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分。 11.某校开展“爱我成都,爱我家乡”摄影比赛,9 位评委为参赛作品 A 给出的分数如茎叶 图所示.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后,算得平均分为 91,复核员在复核时, 发现有一个数字(茎叶图中的 x)无法看清,若记分员计算无误,则数字 x 应该是___1_____.

12.930 与 868 的最大公约数是________. 答案: 62 13. 下图给出的是计算 1+2+4+?+2 的值的一个程序框图,则其中判断框内应填入的是
19

i≥20?

14 已知正四面体 ABCD 的棱长为 1,M 为 AC 的中点,P 在线段 DM 上,则 ( AP ? BP) 的
2

最小值为______ 1 ?

6 _______; 3

15.已知平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 , AC 1 与 平面 A1 BD , CB1 D1 交于 E , F 两点。给出以下命题, 其中真命题有__①⑤______(写出所有正确命题的序号) ①点 E , F 为线段 AC 1 的两个三等分点; ② ED1 ? ?

D1 A1 F D A E C B B1

C1

???? ?

? ? 2 ???? 1 ??? 1 ???? DC ? AD ? AA1 ; 3 3 3

③设 A1 D1 中点为 M , CD 的中点为 N ,则直线

MN 与面 A1 DB 有一个交点;
④ E 为 ?A1 BD 的内心; ⑤设 K 为 ?B1CD1 的外心,则

VK ? BED 1 ? . VA1 ? BFD 3

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分。16—19 题每题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分. 16.如图, 四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为平行四边形, ∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面 ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值。 解: (Ⅰ)因为 ?DAB ? 60?, AB ? 2 AD , 由余弦定理得 BD ? 3 AD 从而 BD +AD = AB ,故 BD ? AD
2 2 2

又 PD ? 底面 ABCD,可得 BD ? PD 所以 BD ? 平面 PAD. 故 PA ? BD (Ⅱ)如图,以 D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直 角坐标系 D- xyz ,则

A ?1, 0, 0 ? , B 0,3, 0 , C ?1, 3, 0 , P ? 0, 0,1? 。
uuv u uuv uuu v AB ? (?1, 3, 0), PB ? (0, 3, ?1), BC ? (?1, 0, 0)

?

? ?

?

设平面 PAB 的法向量为 n=(x,y,z) ,则

{

uuu r n ? AB ? 0, uur u n ? PB ? 0,



?x ? 3y ? 0 3y ? z ? 0

因此可取 n= ( 3,1, 3)

设平面 PBC 的法向量为 m,则 可取 m=(0,-1, ? 3 )

{

uur u m? PB ? 0, uuu r m? BC ? 0,

cos m, n ?

?4 2 7 ?? 7 2 7

故二面角 A-PB-C 的余弦值为

?

2 7 7

17.将 4 个新转入的学生分到高二的 4 个指定的班,每班分入的人数不限. (1)求这 4 个班各分到 1 个新生的概率; (2)求至少有 1 个班未分到新生的概率; (3)求其中恰有 1 个班未分到新生的概率. 解:将 4 个新生分到 4 个指定班的所有不同分法数为 4 .
4

4

(1)每班各分到 1 个新生的分法数为 A4 ,故所求概率为

4 A4 3 ? . 4 4 32

(2)“至少有 1 个班未分到新生”是“这 4 个班各分到 1 个新生”的对立事件,故由(1) 可得所求概率为 1 ?

3 29 . ? 32 32
2

(3)恰有 1 个班未分到新生,则另 3 个班中必有 1 个班分到 2 个新生,其余 2 个班各分到 1 个新生,不同分法数为 C4 ? 4! (先将 4 个人按 1+1+2+0 分成 4 组,再将分好的每个组配给 1

个班),故所求概率为

4 ? C32 ? 2 ? 3! 9 ? . 44 16

18.甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头,它们在一昼夜内任何时刻到达 是等可能的. (1)如果甲船和乙船的停泊的时间都是 4 小时 , 求它们中的任何一条船不需要等待码头 空出的概率; (2)如果甲船的停泊时间为 4 小时,乙船的停泊时间为 2 小时,求它们中的任何一条船 不需要等待码头空出的概率. 解:

(1)设甲、乙两船到达时间分别为 x、y,则 0≤x<24,0≤y<24 且 y-x>4 或 y-x<-4. 作出区域

?0≤x<24, ? ?0≤y<24, ?y-x<4或y-x<-4 ?
设“两船无需等待码头空出”为事件 A, 1 2× ×20×20 2 25 则 P(A)= = . 24×24 36 (2)当甲船的停泊时间为 4 小时,两船不需等待码头空出,则满足 x-y>2 或 y-x>4,

设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件 B,画出区域

?0≤x<24, ? ?0≤y<24, ?y-x>4或x-y>2 ?

.

1 1 ×20×20+ ×22×22 2 2 P(B)= 24×24 442 221 = = . 576 288 19.如图四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形, PG ? 平面 ABCD ,垂足为 G , 1 G 在 AD 上且 AG ? GD , BG ? GC ,GB ? GC ? 2 , E 是 BC 的中点,四面体 P ? BCG 3 的体积为 . (1)求二面角 P ? BC ? D 的正切值; (2)求直线 DP 到平面 PBG 所成角的正弦值; (3)在棱 PC 上是否存在一点 F ,使异面直线 DF 与 GC 所成的角为 600 ,若存在,确定 点 F 的位置,若不存在,说明理由.
P

8 3

8 解: (1)由四面体 P ? BCG 的体积为 . 3
设 二 面 角 P ? BC? D的 大 小 为 ? E 为中点,

∴ PG ? 4

? GB ? GC ? 2
A G D

B

E

C

∴ GE ? BC

同理 PE ? BC

∴ ?PEG ? ?

∴ tan ? ? 2 2 ????????????????????3 分 (2)由 GB ? GC ? 2 ∴ ?BGC 为等腰三角形,GE 为 ?BGC 的角平分线,作 DK ? BG 交 BG 的延长线于 K, ∴ DK ? 面BPG

由平面几何知识可知:DK ? GK ?

3 2

PD ?

41 2

设直线 DP 与平面 PBG 所成角为 ?

∴ sin ? ?

DK 3 82 ??????????????????????8 分 ? DP 82

(法二:建系) (3)? GB, GC , GP 两两垂直,分别以 GB, GC , GP 为 x, y, z 轴建立坐标系 假设 F 存在且设 F (0, y,4 ? 2 y )(0 ? y ? 2)

3 3 ? D( ? , , 0), G(0, 0, 0), C (0, 2, 0) 2 2
又直线 DF 与 GC 所成的角为 600

∴ DF ? ( , y ?

????

3 2

??? ? 3 , 4 ? 2 y ), GC ? (0, 2, 0), 2

???? ??? ? | DF ? GC | | 2y ? 3| 1 ? ? ∴ cos 60 ? ???? ??? ? ???? ??? ? | DF || GC | | DF || GC | 2
0

化简得: y ? 7 y ?
2

23 ?0 2

y?

7? 3 不满足 0 ? y ? 2 2

∴这样的点不存在????????????????????????12 分 20.从某学校高三年级共 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高, 测量发现被测学生身高全部 介于 155 cm 和 195 cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160);第二组 [160,165);?;第八组[190,195],上图是按上述分组方法得到的频率分布 直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组、第七组、第八组 人数依次构成等差数列. (1)估计这所学校高三年级全体男生身高 180 cm 以上(含 180 cm)的人数; (2)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图; (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,记他们的 身高分别为 x、y,求满足|x-y|≤5 的事件概率. 解: (1)由频率分布直方图知,前五组频率为(0.008+0.016+0.04+0.04 +0.06)×5=0.82, 后三组频率为 1-0.82=0.18,人数为 0.18×50=9(人), 这所学校高三男生身高在 180 cm 以上(含 180 cm)的人数为 800×0.18= 144(人). (2)由频率分布直方图得第八组频率为 0.008×5=0.04,人数为 0.04×

50=2(人), 设第六组人数为 m,则第七组人数为 9-2-m=7-m,又 m+2=2(7-m),所以 m=4, 即第六组人数为 4 人,第七组人数为 3 人,频率分别为 0.08,0.06. 频率除以组距分别等于 0.016,0.012,见图. (3)由(2)知身高在[180,185)内的人数为 4 人,设为 a,b,c,d.身高在[190,195]的 人数为 2 人,设为 A,B. 若 x,y∈[180,185)时,有 ab,ac,ad,bc,bd,cd 共 6 种情况. 若 x,y∈[190,195]时,有 AB 共 1 种情况. 若 x,y 分别在[180,185),[190,195]内时,有 aA,bA,cA,dA,aB,bB,cB,dB 共 8 种情况. 所以基本事件的总数为 6+8+1=15(种). 事件|x-y|≤5 所包含的基本事件个数有 7 6+1=7(种),故 P(|x-y|≤5)= 15 21.如图, 四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥底面 ABCD, 四边形 ABCD 中, AB⊥AD, AB+AD=4, CD= 2 , ?CDA ? 45? . (I)求证:平面 PAB⊥平面 PAD; (II)设 AB=AP. (i)若直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 30? ,求线段 AB 的长; (ii)在线段 AD 上是否存在一个点 G,使得点 G 到点 P,B,C,D 的距离都相等?说明理由. 解法一: (I)因为 PA ? 平面 ABCD,

AC ? 平面 ABCD,
所以 PA ? AB , 又 AB ? AD, PA ? AD ? A, 所以 AB ? 平面 PAD。 又 AB ? 平面 PAB,所以平面 PAB ? 平面 PAD。 (II)以 A 为坐标原点,建立空间直角坐标系 A—xyz(如图) 在平面 ABCD 内,作 CE//AB 交 AD 于点 E,则 CE ? AD. 在 Rt ?CDE 中,DE= CD? cos 45? ? 1 ,

CE ? CD ? sin 45? ? 1,
设 AB=AP=t,则 B(t,0,0) ,P(0,0,t) 由 AB+AD=4,得 AD=4-t, 所以 E (0,3 ? t ,0), C (1,3 ? t ,0), D(0, 4 ? t ,0) ,

??? ? ??? ? CD ? (?1,1, 0), PD ? (0, 4 ? t , ?t ).
(i)设平面 PCD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

? ? x ? y ? 0, ??? ? ??? ? ? (4 ? t ) y ? tx ? 0. 由 n ? CD , n ? PD ,得 ?
取 x ? t ,得平面 PCD 的一个法向量 n ? {t , t , 4 ? t} , 又 PB ? (t , 0, ?t ) ,故由直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 30? ,得

??? ?

??? ? n ? PB | 2t 2 ? 4t | 1 ??? |, 即 ? cos 60? ?| ? , 2 2 2 2 2 | n | ? | PB | t ? t ? (4 ? t ) ? 2 x

4 4 t ? 或t ? 4 AB ? . 5 5 解得 (舍去,因为 AD ? 4 ? t ? 0 ) ,所以
(ii)假设在线段 AD 上存在一个点 G,使得点 G 到点 P,B,C,D 的距离都相等, 设 G(0,m,0) (其中 0 ? m ? 4 ? t )

??? ? ???? ??? ? GC ? (1,3 ? t ? m, 0), GD ? (0, 4 ? t ? m, 0), GP ? (0, ?m, t ) , 则

???? ???? | GC |?| GD | 得 (4 ? t ? m)2 ? m2 ? t 2 , 由 (2)
2 由(1)(2)消去 t,化简得 m ? 3m ? 4 ? 0 (3) 、

由于方程(3)没有实数根,所以在线段 AD 上不存在一个点 G, 使得点 G 到点 P,C,D 的距离都相等。 从而,在线段 AD 上不存在一个点 G, 使得点 G 到点 P,B,C,D 的距离都相等。 解法二: (I)同解法一。 (II) (i)以 A 为坐标原点,建立空间直角坐标系 A—xyz(如图) 在平面 ABCD 内,作 CE//AB 交 AD 于 E, 则 CE ? AD 。 在平面 ABCD 内,作 CE//AB 交 AD 于点 E,则 CE ? AD. 在 Rt ?CDE 中,DE= CD? cos 45? ? 1 ,

CE ? CD ? sin 45? ? 1,
设 AB=AP=t,则 B(t,0,0) ,P(0,0,t) 由 AB+AD=4,得 AD=4-t,

所以 E (0,3 ? t ,0), C (1,3 ? t ,0), D(0, 4 ? t ,0) ,

??? ? ??? ? CD ? (?1,1, 0), PD ? (0, 4 ? t , ?t ).
设平面 PCD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

? ? x ? y ? 0, ??? ? ??? ? ? (4 ? t ) y ? tx ? 0. 由 n ? CD , n ? PD ,得 ?
取 x ? t ,得平面 PCD 的一个法向量 n ? {t , t , 4 ? t} ,

??? ? PB ? (t , 0, ?t ) ,故由直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 30? ,得 又

??? ? n ? PB | 2t 2 ? 4t | 1 ??? |, 即 ? cos 60? ?| ? , 2 2 2 2 2 | n | ? | PB | t ? t ? (4 ? t ) ? 2 x

4 t ? 或t ? 4 5 解得 (舍去,因为 AD ? 4 ? t ? 0 ) , 4 AB ? . 5 所以
(ii)假设在线段 AD 上存在一个点 G,使得点 G 到点 P,B,C,D 的距离都相等, 由 GC=CD,得 ?GCD ? ?GDC ? 45? , 从而 ?CGD ? 90? ,即 CG ? AD,

? GD ? CD ? sin 45? ? 1,
设 AB ? ? , 则AD=4-?,

AG ? AD ? GD ? 3 ? ? ,
在 Rt ?ABG 中,

GB ?

AB 2 ? AG 2 ? ? 2 ? (3 ? ? ) 2

3 9 ? 2(? ? ) 2 ? ? 1, 2 2
这与 GB=GD 矛盾。 所以在线段 AD 上不存在一个点 G,使得点 G 到点 B,C,D 的距离都相等, 从而,在线段 AD 上不存在一个点 G,使得点 G 到点 P,B,C,D 的距离都相等。


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