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1.5.2 平行关系的性质----直线与平面平行的性质


第一章 立体几何初步

5.2 平行关系的性质---直线与平面平行的性质

复习旧知 线面平行、面面平行判定定理的内容是什么?判 定定理中的线与线、线与面应具备什么条件? 答:直线和平面平行的判定定理是:平面外一 条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此 平面平行.定理中的线与线、线与面应具备的条 件是:一线在平面外,一线在平面内;两直线互相 平行。 平面和平面平行的判定定理是:一个平面内 有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这 两个平面平行。定理中的线与线、线与面应具 备的条件是:两条直线必须相交,且两条直线都平 行于另一个平面。

提出问题、引入新课

提出问题:如果已知直线与平面平 行,会有什么结论?

直线与平面平行的性质

探研新知

探究1.如果一条直线与平面平行,那么 这条直线是否与这个平面内的所有直线 都平行? 这条直线与这个平面内有多少条直线平 行?
结合实例(教室内的有关例子)得出结论: 如果一条直线与平面平行,这条直线不会 与这个平面内的所有直线都平行,但在这个 平面内却有无数条直线与这条直线平行。

探研新知 探究2.如果一条直线与一个平面平行,那么这条 直线与这个平面内的直线有哪些位置关系?
a a b α

b α

答:由直线与平面平行的定义,如果一条直线a 与平面α 平行,那么a与平面α 无公共点,即a 上的点都不在平面α 内,平面α 内的任何直线 与a都无公共点,这样,平面α 内的直线与平面 α 外的直线a只能是异面直线或平行直线。

探研新知

探究3.如果一条直线a与平面α 平行,在 什么条件下直线a与平面α 内的直线平 行呢? 答:由于a与平面α 内的任何直线无公共 点,所以过直线a的某一平面,若与平 面α 相交,则直线a就平行于这条交线。 下面我们来证 明这一结论.

探研新知

已知:如图,a∥α , a ?β ,α ∩β =b。 求证:a∥b。

证明:∵α ∩β =b,∴b?α ∵ a∥α ,∴a与b无公共点, ∵a?β ,b?β ,∴a∥b。
我们可以把这个结论作定理来用.

直线与平面平行的性质定理5.3: 如果一条直线与一个平面平行,那么过 该直线的任意一个平面与已知平面的交线与 该直线平行。 符号表示: a // ? , a ? ? , ? ? ? ? b

a // b

作用: 可证明两直线平行。

β

a

α
欲证“线线平行”,可先证明“线面平 行”。

b

直线和平面平行的判定定理: 直线与直线平行 直线与平面平行

直线和平面平行的性质定理: 注意:

平面外的一条直线只要和平面内的任一条直 线平行,则就可以得到这条直线和这个平面平行; 但是若一条直线与一个平面平行,则这条直线并 不是和平面内的任一条直线平行,它只与该平面 内与它共面的直线平行.

探研新知

探究4.教室内的日光灯管所在的 直线与地面平行,如何在地面上 作一条直线与灯管所在的直线平 行?

答:只需由灯管两端向地面 引两条平行线,过两条平行 线与地面的交点的连线就 是与灯管平行的直线。

例题示范 例1:已知平面外的两条平行直线中的一条平行 于这个平面,求证:另一条也平行于这个平面。 第一步:将原题改写成数学 符号语言 如图,已知直线a,b,平面α, 且a//b,a//α ,a,b都在平面 α 外.求证:b//α. 第二步:分析:怎样进行平 行的转化?→如何作辅助平 面? 第三步:书写证明过程

例题示范

如图,已知直线a,b,平面α, 且a//b,a//α ,a,b都在平面 α 外.求证:b//α.
证明:过a作平面β ,使它与 平面α相交,交线为c. ?=c,所 因为a//α,a ?β ,α β 以 a// c. 因为a//b,所以,b//c. 又因为c ?α, b? α, 所以 b// α。

例题示范 例2:有一块木料如图,已知棱BC平行于面 A′C′(1)要经过木料表面A′B′C′D′ 内的 一点P和棱BC将木料锯开,应怎样画线?(2)所 画的线和面AC有什么关系? 解:(1)过点P作EF∥B’C’, 分别交棱A’B’,C’D’于点E, F。连接BE,CF,则 D1 E EF,BE,CF就是应画的线。
P

C1

A1
D

F

B1
C B

A

例题示范 例2:有一块木料如图,已知棱 BC平行于面A′C′(1)要经过木料表面 A′B′C′D′ 内的一点P和棱BC将木料锯开,应 怎样画线?(2)所画的线和面AC有什么关系?

(2)因为棱BC平行于平面A'C',平面BC'与平 面A'C'交于B'C',所以BC∥B'C',由(1)知, EF∥B'C',所以,EF∥BC,因此,EF//BC, EF?平面AC,BC?平面AC.所以,EF//平面AC. BE、CF显然都与平面AC相交。

小结
线面平行的判定定理 线线平行 线面平行 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的 一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。 线面平行的性质定理
线面平行 线线平行

如果一条直线和一个平面平行,经过这条直 线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线 平行。


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