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常熟一中2016年初三数学二模试卷


初三数学二模试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分. ) 1.- A.5

1 的倒数是( 5

) C.

B.-5

1 5

D.-

1 5

2. 下列各式计算正确的是() A.-14=4 B.-2a+3b=-5ab C.-8ab÷ (-2a)=-4 D.-2× 3=-6 3. 某小组 5 名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示, 关于“劳动时间”的这组数据, 以下说法正确的是( ) 3 3.5 4 4.5 劳动时间(小时) 1 1 2 1 人 数 A.中位数是 4,平均数是 3.75B.众数是 4,平均数是 3.75 C.中位数是 4,平均数是 3.8 D.众数是 2,平均数是 3.8 4.长江是中国第一长河,是世界第三长,中国科学院利用卫星遥感影像测量计算,测出长 江长度为 6 397 000 米.6 397 000 这个数字用科学记数法表示为( ) 4 5 6 7 A.6.397× 10 B.6.397× 10 C.6.397× 10 D.6.397× 10 5.从 2,3,4,5 中任意选两个数,记作 a 和 b,那么点(a,b)在函数 y= 率是( A. B. ) C. D. 图象上的概

6.将直线 y=-2x 向下平移两个单位,所得的直线是( ) A.y=-2x+2 B.y=-2x-2 C.y=-2(x-2)D.y=-2(x+2) 7.下列图形中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( ) A.等边三角形 B.平行四边形 C.正方形 D.正五边形 8.已知圆锥的底面半径为 4cm,母线长为 5cm,则这个圆锥的侧面积是() . 2 2 2 A.20πcm B.20 cm C.40πcm D.40cm 9. 抛物线 y ? ax ? bx ? c 的顶点为 D(一 1,2),与 x 轴的一个交点 A
2

在点(一 3,0)和(一 2,0)之间, 其部分图象如图,则以下结论: ① b ? 4ac ? 0 ;
2

② a ? b ? c ? 0 ;③c—a=2;④方程 ax ? bx ? c ? 2 ? 0 有两个相等的实数根.
2

其中正确结论的个数为( ) A.1 个 B.2 个

C.3 个

D.4 个

10.如图,在矩形 ABCD 中,AD>AB,将矩形 ABCD 折叠,使点 C 与点 A 重合,折痕为 MN,连结 CN.若△CDN 的面积与△CMN 的面积比为 1︰4, 则

MN 的值为() BM
A.2B.4 C. 2 5 D. 2 6

1

二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分. ) . 11.下列数据 1,3,5,5,6,2 的极差是 12.如图,直线 a∥b,∠1=50°,∠2=30°,则∠3= x?2 13.函数 y ? 中自变量 x 的取值范围是_______. x?3 14.分解因式:a3-2a2b+ab2=_______.



15. 如图,AB 是⊙O 的直径, BD, CD 分别 是过⊙O 上点 B, C 的切线, 且∠BDC=110° . 连 接 AC,则∠ A 的度数是 ° . 16.如图,在平面直角坐标系中,四边形 OABC 是平行四边形,O(0,0) ,A(1,-2) , B(3,1) ,反比例函数 y ?
k 的图象过 C 点,则 k 的值为. x 17.如图,在边长为 2 的菱形 ABCD 中,∠A=60°,点 M 是 AD 边的中点,若线段 MA 围绕点 M 旋转得到线段 MA? ,连结 A?C ,则 A?C 长度的最小值是.

18.如图,已知二次函数 y ? ? x ? 3x ? 4 的图象交 x 轴于 A,B 两点(A 在 B 左边) ,交 y 轴于 C 点,点 P 是直线 AC 上方抛物线上一动点(不与 A,C 重合) ,求 P 点到直线 AC 距 离的最大值.
2

y C

B(3,1) O A(1,-2) x

三、解答题(本大题共 10 题,共 76 分)
0 ?1 19. (本题满分 5 分) 计算: 9 ? (? ? 3) ? ?2 ? ( )

1 3

? x ? 2 ? 2( x ? 1) ? 20.(本题满分 5 分)解不等式组: ? x ? 4? x ? ?3

21 . ( 本题 5 分 )

? a2 ? 4 1 ? 2 ? 先化简,再求值: ? 2 ,其中 a 是方程 ?? 2 ? a ? 4a ? 4 2 ? a ? a ? 2a

x 2 ? 3x ? 1 ? 0 的根

2

22.(本题 7 分)如图,在△ ABC 中,AB=CB,∠ABC=90°,D 为 AB 延长线上 一点,点 E 在.BC 边上,且 BE=BD,连结 AE、DE、DC. (1)求证: .△ A BE≌△CBD; (2)若∠CAE=30°,求∠BDC 的度数.

23.(本题 8 分)某市共有 35000 余名学生参加中考体育测试,为了了解九年级男生立定跳远 的成绩,从某校随机抽取了 50 名男生的测试成绩,根据测试评分标准,将他们的得分按 优秀、良好、及格、不及格(分别用 A、B、C、D 表示)四个等级进行统计,并绘制成下面 的扇形图和统计表:

请你根据以上图表提供的信息,解答下列问题: (1)m=, n=, x=, y= (2)在扇形图中,C 等级所对应的圆心角是度; (3)如果该校九年级共有 500 名男生参加了立定跳远测试,那么请你估计这些男生成绩等级 达到优秀和良好的共有多少人?

3

24. (本题 8 分)将如图所示的牌面数字分别是 1,2,3,4 的四张扑克牌背面朝上,洗匀后 放在桌面上. (1)从中随机抽出一张牌,牌面数字是偶数的概率是 ; (2)从中随机抽出二张牌,两张牌牌面数字的和是 5 的概率是 ; (3) 先从中随机抽出一张牌, 将牌面数字作为十位上的数字, 然后将该牌放回并重新洗匀, 再随机抽取一张, 将牌面数字作为个位上的数字, 请用画树状图或列表的方法求组成的两位 数恰好是 4 的倍数的概率.

25. (本题 8 分)如图, 在一笔直的海岸线 l 上有 A、 B 两个观测站, 点 A 在点 B 的正东方向, AB=4 km ,有一艘小船在点 P 处,从点 A 测得小船在北偏西 60°方向,从点 B 测得小船 在北偏东 45°的方向. (1)求小船到海岸线 l 的距离; (2)小船从点 P 沿射线 AP 方向航行一段时间后,到 C 处,此时,从点 B 测得小船在北 偏西 15°的方向,求此时小船到观测点 B 的距离.(结果保留根号)

4

26. (本题满分 10 分)如图,直线 l:y=x+1 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,点 C 与原 点 O 关于直线 l 对称.反比例函数 y= 的图象经过点 C,点 P 在反比例函数图象上且位于 C 点左侧,过点 P 作 x 轴、y 轴的垂线分别交直线 l 于 M、N 两点. (1)求反比例函数的解析式; (2)求 AN?BM 的值.

27. (本小题满分 10 分)如图 1,在 Rt△ ABC 中,∠C=90°,AC=6,BC=8,动点 P 从点 A 开始沿边 AC 向点 C 以 1 个单位长度的速度运动,动点 Q 从点 C 开始沿边 CB 向点 B 以 每秒 2 个单位长度的速度运动,过点 P 作 PD∥BC,交 AB 于点 D,连接 PQ 分别从点 A,C 同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为 t 秒(t≥0) . (1)直接用含 t 的代数式分别表示:QB=,PD=. (2)是否存在 t 的值, 使四边形 PDBQ 为菱形?若存在, 求出 t 的值; 若不存在, 说明理由. 并 探究如何改变 Q 的速度(匀速运动) ,使四边形 PDBQ 在某一时刻为菱形,求点 Q 的速度; (3)如图 2,在整个运动过程中,线段 PQ 中点 M 所经过的路径长为 .

图1

图2

5

28. (本小题满分 10 分)在平面直角坐标系中,抛物线 y=x2+(k﹣1)x﹣k 与直线 y=kx+1 交于 A,B 两点,点 A 在点 B 的左侧. (1)如图 1,当 k=1 时,直接写出 A,B 两点的坐标; (2)在(1)的条件下,点 P 为抛物线上的一个动点,且在直线 AB 下方,试求出△ABP 面 积的最大值及此时点 P 的坐标; (3)如图 2,抛物线 y=x2+(k﹣1)x﹣k(k>0)与 x 轴交于点 C、D 两点(点 C 在点 D 的 左侧) ,在直线 y=kx+1 上是否存在唯一一点 Q,使得∠OQC=90° ?若存在,请求出此时 k 的值;若不存在,请说明理由.

6

常熟市第一中学 2015-2016 学年第二学期 九年级数学学科二模答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 题 号 答 案 1 B 2 D 3 C 4 C 5 D 6 B 7 C 8 A 9 C 10 D

二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分) 11.____5________;12.______20°______;13._____ x ? 3 ____;14.___ a?a ? b? __; 15._____35°___;16. _____6________;17.______ 7 _____; 18.____ 2 2 _____. 学号考试号 三、解答题(本大题共 76 分)
0 ?1 19. (本题满分 5 分) 计算: 9 ? (? ? 3) ? ?2 ? ( )

2

1 3

=5 姓名__________ 班级

? x ? 2 ? 2( x ? 1) ? 20. (本题满分 5 分)解不等式组: ? x ? 4? x ? ?3

?x ? 0 , ? ?x ? 3

0? x?3

2 分+2 分+1 分

21 . ( 本题 5 分 )

先化简,再求值: ?

?

a2 ? 4 1 ? 2 ? ,其中 a 是方程 ?? 2 2 ? a ? 4a ? 4 2 ? a ? a ? 2a

x 2 ? 3x ? 1 ? 0 的根

a 2 ? 3a 1 ?? 2 2

化简 3 分结果 2 分
7

22.(本题 7 分) (1) 略 (2) 75° (3 分) (4 分)

23.(本题 8 分) (1)m=20, n=8, x=0.4, y=0.16(每空 1 分) (2)在扇形图中,C 等级所对应的圆心角是 57.6 度; (2 分)

(3)如果该校九年级共有 500 名男生参加了立定跳远测试,那么请你估计这些男生成绩等级 达到优秀和良好的共有多少人? 24. (本题 8 分) (1) 390 人 (2) (2 分) (2 分)

1 2

(2 分)

1 3

(3)根据题意,画树状图:

由树状图可知,共有 16 种等可能的结果:11,12,13,14,21,22,23,24,31,32,33, 34,41,42,43,44.其中恰好是 4 的倍数的共有 4 种:12,24,32,44. 所以,P(4 的倍数)= 第一次 第二次 1 2 3 4 .或根据题意,画表格: 1 11 21 31 41 2 12 22 32 42 3 13 23 33 43 4 14 24 34 44 .

由表格可知, 共有 16 种等可能的结果, 其中是 4 的倍数的有 4 种, 所以, P (4 的倍数) = (画图 2 分,答案 2 分) 25.(本题 8 分) (1) 2 3 ? 1 (2) 2 2

?

?

(4 分) (4 分)

8

26. (本题满分 10 分) 解: (1)连接 AC,BC,由题意得:四边形 AOBC 为正方形, 对于一次函数 y=x+1,令 x=0,求得:y=1;令 y=0,求得:x=﹣1, ∴OA=OB=1, ∴C(﹣1,1) , 将 C(﹣1,1)代入 y= 得:1= 则反比例函数解析式为 y=﹣ ; (2)过 M 作 ME⊥y 轴,作 ND⊥x 轴, 设 P(a,﹣ ) ,可得 ND=﹣ ,ME=|a|=﹣a, ∵△AND 和△ BME 为等腰直角三角形, ∴AN= × (﹣ )=﹣ ?(﹣ ,BM=﹣ a)=2. a, (10 分) ,即 k=﹣1, (4 分)

则 AN?BM=﹣

27. (本小题满分 10 分) (1)QB= 8 ? 2t ,(1 分)PD=

4 t .(1 分) 3

图1 (2)不存在(1 分),理由略 (2 分)

图2

a?

16 15

(2 分) (3 分)

(3) 2 5

28. (本小题满分 10 分)
9

(1)当 k=1 时,抛物线解析式为 y=x2﹣1,直线解析式为 y=x+1. 联立两个解析式,得:x2﹣1=x+1, 解得:x=﹣1 或 x=2, 当 x=﹣1 时,y=x+1=0;当 x=2 时,y=x+1=3, ∴A(﹣1,0) (1 分),B(2,3) . (1 分) 2 (2)设 P(x,x ﹣1) . 如答图 2 所示,过点 P 作 PF∥y 轴,交直线 AB 于点 F,则 F(x,x+1) . ∴PF=yF﹣yP=(x+1)﹣(x2﹣1)=﹣x2+x+2. S△ABP=S△PFA+S△PFB= PF(xF﹣xA)+ PF(xB﹣xF)= PF(xB﹣xA)= PF ∴S△ABP= (﹣x2+x+2)=﹣ (x﹣ )2+ 当 x= 时,yP=x2﹣1=﹣ . ∴△ABP 面积最大值为 ,此时点 P 坐标为( ,﹣ ) . (2 分) (2 分)

(3)设直线 AB:y=kx+1 与 x 轴、y 轴分别交于点 E、F, 则 E(﹣ ,0) ,F(0,1) ,OE= ,OF=1.

在 Rt△EOF 中,由勾股定理得:EF=

=



令 y=x2+(k﹣1)x﹣k=0,即(x+k) (x﹣1)=0,解得:x=﹣k 或 x=1. ∴C(﹣k,0) ,OC=k. 假设存在唯一一点 Q,使得∠OQC=90° ,如答图 3 所示, 则以 OC 为直径的圆与直线 AB 相切于点 Q,根据圆周角定理,此时∠OQC=90° . 设点 N 为 OC 中点,连接 NQ,则 NQ⊥EF,NQ=CN=ON= . ∴EN=OE﹣ON= ﹣ . ∵∠NEQ=∠FEO,∠EQN=∠EOF=90° , ∴△EQN∽△EOF,



,即:

,解得:k=±

,∵k>0,

∴k=



∴存在唯一一点 Q,使得∠OQC=90°,此时 k=

(4 分)

10

11


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