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高一数学必修1创新应用演练教师用书:第一部分 第3章 3.4 3.4.1 第一课时 (苏教版)

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一、填空题 1.若函数 f(x)=x2-2x+a 有两个零点,则实数 a 的取值范围是________. 解析:由条件知,Δ=(-2)2-4a>0,解得 a<1. ∴实数 a 的取值范围是(-∞,1). 答案:(-∞,1) 2.若函数 f(x)=mx+n 有一个零点是 2,则函数 g(x)=nx2-mx 的零点是________. 解析:由条件知,f(2)=2m+n=0,∴n=-2m. 1 ∴g(x)=nx2-mx=-2mx(x+2),由 g(x)=0 得 1 x=0 或 x=-2. 1 ∴g(x)的零点是 0 和-2. 1 答案:0 和-2
1 1 x 3.(2012· 北京高考改编)函数 f(x)=x2-?2? 的零点个数为________.

? ?

1 1 解析:因为 y=x2在 x∈[0,+∞)上单调递增,y=(2)x 在 x∈R 上单调递减,所以 f(x) 1 1 1 1 1 =x2-(2)x 在 x∈[0,+∞)上单调递增,又 f(0)=-1<0,f(1)=2>0,所以 f(x)=x2-(2)x 在

定义域内有唯一零点. 答案:1 4.已知方程 ax=x+a(a>0 且 a≠1)有两解,则 a 的取值范围为________. 解析:如图.当 0<a<1 时,y=ax 与 y=x+a 的图象只有一个交点,当 a>1 时 y=ax 与 y=x+a 的图象必存在两个交点,故 a>1.

答案:(1,+∞)

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5.(2011· 新课标高考改编)在下列区间中,函数 f(x)=ex+4x-3 的零点所在的区间为 ________. 1 ①(-4,0) 1 1 ③(4,2) 1 ②(0,4) 1 3 ④(2,4)

1 1 1 1 1 1 1 1 解析:因为 f(4)=e4+4×4-3=e4-2<0,f(2)=e2+4×2-3=e2-1>0,

1 1 所以 f(x)=ex+4x-3 的零点所在的区间为(4,2). 答案:③ 6.已知函数 f(x)=x2+(a-1)x+(a-2)的一个零点比 1 大,一个零点比 1 小,则实数 a 的取值范围为__________. 解析:∵函数 f(x)的图象开口向上,又两个零点分别在 1 的两侧,∴f(1)=1+(a-1) +(a-2)<0, 即 2a-2<0.∴a<1. 答案:(-∞,1) 二、解答题 7.求下列函数的零点: (1)f(x)=2x+7; (2)f(x)=2x2-5x+1; (3)f(x)=(x-1)(x-2)(x+3). 7 解:(1)令 f(x)=2x+7=0,解得 x=-2. 7 ∴函数的零点为 x=-2. (2)令 f(x)=2x2-5x+1=0,解得 x1= 5- 17 5+ 17 , x 2= 4 4 .

5- 17 5+ 17 ∴函数的零点为 x1= 4 ,x2= 4 . (3)令 f(x)=(x-1)(x-2)(x+3)=0,解得 x1=-3,x2=2,x3=1.∴函数的零点为 x1=-3,x2=2,x3=1. 8. 已知函数 f(x)=ax2-(a+3)x+4.若 y=f(x)的两个零点为 α, β, 且满足 0<α<2<β <4, 求实数 a 的取值范围.
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解:∵函数 y=f(x)的两个零点是 α,β,且 α<β, 则当 a=0 时,显然不可能有两个不同零点. a>0 ? ?f(0)=4>0 则应有? f(2)=2a-2<0 ? ?f(4)=12a-8>0 a<0 ? ?f(0)<0 或? f(2)=2a-2>0 ? ?f(4)=12a-8<0 2 解①得3<a<1,②无解. 2 综上可知,a 的取值范围为{a|3<a<1}. 9.已知二次函数 y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3,其中 m 为实数. (1)试讨论当 m 取任意实数时,这个二次函数的零点个数,并证明你的结论; 2 (2)若这个二次函数有两个零点 x1,x2,且 x1,x2 的倒数和为3,求二次函数的解析式. 解:(1)记二次函数对应的方程为 x2-2(m-1)x+m2-2m-3=0, 则 Δ=4(m-1)2-4(m2-2m-3) =4m2-8m+4-4m2+8m+12=16>0, ∴方程 x2-2(m-1)x+m2-2m-3=0 必有两个不相等的实数根, 即不论 m 取何值,这个二次函数必有两个零点. (2)依题意,x1,x2 是方程 x2-2(m-1)x+m2-2m-3=0 的两个实数根, ∴x1+x2=2(m-1),x1x2=m2-2m-3. x1+x2 2 1 1 2 又x +x =3,即 x x =3,
1 2 1 2







2(m-1) 2 = ,① m2-2m-3 3

解之得 m=0 或 m=5. 经检验 m=0 或 m=5 都是方程①的解. 故所求二次函数的解析式为 y=x2+2x-3 或 y=x2-8x+12.

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