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浙江省嘉兴一中2014-2015学年高一上学期期中考试数学

2014 学年第一学期期中考试高一数学

试题卷

满分[ 100]分 ,时间[120]分钟 2014 年 11 月 一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.设集合 A ? {x |1 ? x ? 4}, ,集合 B = B ? {x x2 ? 2x ? 3 ? 0} 则 A

(?R B) =(



A?. (1, 4)

B?. (3, 4)

C. (1,3)


D?. (1, 2) (3, 4)

2.下列各组函数中,表示同一函数的是(

x2 A?. f ( x)? x? 1 , g ( x ? ) x
C. f ( x) ? x, g ( x) ? 3 x3

? 1

B?. f ( x) ?| x |, g ( x) ? ( x )2
D?. f ( x) ? 2 x, g ( x) ? 4 x 2


3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是(

A?. y ? ?x 3 , x ? R C. y ? x, x ? R
0.3

B?. y ? ( x)?1

1 D?. y ? ( ) x , x ? R 2
)

?1? ?2 4.已知 a ? ? ? , b ? 0.3 , c ? log 1 2 ,则 a, b, c 的大小关系是 ( ?2? 2
A?. a ? b ? c B?. a ? c ? b C. c ? b ? a
)

D?. b ? a ? c

5.已知函数 f ( x ) ? ?

? x ? 1,?x ? 0? ,则 f ?? 2? ? ( ? ? ? ? f x ? 2 , x ? 0 ?
C. ? 2

A?.0

B .1

D. ? 1


6.如图所示,阴影部分的面积 S 是 h 的函数 ?0 ? h ? H ? .则该函数的图象是(

7.某商场对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额: (1)如果不超过 200 元,则不给予优惠; (2)如果超过 200 元但不超过 500 元,则按标价给予 9 折优惠; (3)如果超过 500 元, 500 元内的按第(2)条给予优惠,超过 500 元部分给予 7 折优惠. 某人两次去购物,分别付款 168 元和 423 元,假设他一次性购买上述两次同样的商品,则应 付款是( ) A?. 413.7 元 B?. 513.7 元 C. 546.6 元 D?. 548.7 元 8.已知函数 f ( x) ? ax ? x ? a ? 1 在 (??, 2) 上单调递减,则 a 的取值范围是(
2



1 A?. (0, ] 4

1 B?. [0, ] 4

C. [2, ??)

D?. [0, 4]

9.已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? ( x 2 ? 5x ? 6) g ( x) ? x 2 ? 8 , 其中函数 y ? g ( x) 的图 象是一条连续曲线,则方程 f ( x) ? 0 在下面哪个范围内必有实数根( )

A?. (0,1)

B?. (1, 2)

C. (2,3)

D?. (3, 4)

10.设函数 f ( x) ? ( x2 ? 8x ? c1 )( x2 ? 8x ? c2 )( x2 ? 8x ? c3 )( x2 ? 8x ? c4 ) ,集合

M ? ? x f ( x) ? 0? ? {x1 , x2 ,
A?. 11 B?. 13

, x7 } ? N * ,设 c1 ? c2 ? c3 ? c4 ,则 c1 ? c4 ? (
C. 7 D?. 9



二.填空题(本大题共 7 小题,每小题 3 分,满分 21 分) 11.函数 y ? 2 ? x ? log2 ?x ? 1? 的定义域为_______ _____. 12.当 a ? 0 且 a ? 1 时,函数 f ( x) ? a x?2 ? 3 必过定点
2

.

13 .已知函数 f ( x ) 是偶函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? ? ? x ? 1? ? 1 ,则当 x ? 0 时, f ( x ) = .
2

14.函数 f ( x) ? log1 (5 ? 4 x ? x ) 的单调递增区间
2

.

? x 2 ? 1, x ? 0 15 .已知函数 f ( x) ? ? , 则满足不等式 f (1 ? x 2 ) ? f (2x) 的实数 x 的取值范 ? 1, x ? 0
围 .
2 x x ?1

16. 函数 y ? lg(3 ? 4 x ? x ) 的定义域为 M, 当 x ? M 时, 关于 x 方程 4 ? 2 有两不等实数根,则 b 的取值范围为 17.已知函数 y ? f ? x ? 和 y ? g ? x ? 在 ? ?2, 2? 上的图象如下所示: .

? b(b ? R)

y ? f ? x?
给出下列四个命题:

y ? g ? x?

①方程 f ? ? g ? x ?? ? ? 0 有且仅有 6 个根; ②方程 g ? ? f ? x ?? ? ? 0 有 且仅有 3 个根; ③方程 f ? ? f ? x ?? ? ? 0 有且仅有 7 个根; ④方程 g ? ? g ? x ?? ? ? 0 有且仅有 4 个根. 其中正确命题的序号为 . 三.解答题(本大题共 5 小题,满分 49 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 18.(本小题满分 8 分)求值:

(1) (3 ) 3 ? 0.0625

3 8

2

?0.25

1 7 ? ( ? ) ?2 ? (2 ) 2 ? ( 2 ? 1) 0 7 9

1

(2) log3 (9 ? 272 ) ? log2 6 ? log2 3 ? log4 3 ? log3 16

2 19.(本小题满分 8 分)已知集合 M ? {x x ? 3 x ? 10} , N ? {x a ? 1 ? x ? 2a ? 1} .

(1)若 a ? 2 ,求 M (2)若 M

( ? R N );

N ? M ,求实数 a 的取值范围.

20.(本小题满分 9 分)已知函数 f ( x) ? log 1 ( x2 ? mx ? m) .
2

(1)若 m ? 1 ,求函数 f ( x ) 的定义域; (2)若函数 f ( x ) 的值域为 R ,求实数 m 的取值范围; (3)若函数 f ( x ) 在区间 (??,1 ? 3) 上是增函数,求实数 m 的取值范围.

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (1)求实数 a 的值

a ? 3x ? a ? 2 ,函数 f ( x) 为奇函数. x 3 ?1

(2)判断 f ( x) 的单调性,并用定义证明. (3)若解不等式 f (3m2 ? m ? 1) ? f ? 2m ? 3? ? 0 .

9 22.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?| x ? a | ? ? a, x ? [1,6], a ? R . x
⑴若 a ? 6 ,写出函数 f ( x) 的单调区间,并指出单调性; ⑵若函数 f ( x) 在 [1, a] 上单调,且存在 x0 ?[1, a] 使 f ( x0 ) ? ?2 成立,求 a 的取值范围; ⑶当 a ? (1,6) 时,求函数 f ( x) 的最大值的表达式 M (a ) .

3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( A )

A?. y ? ?x 3 , x ? R C. y ? x, x ? R

B?. y ? ( x)?1

1 D?. y ? ( ) x , x ? R 2

?1? ?2 4.已知 a ? ? ? , b ? 0.3 , c ? log 1 2 ,则 a, b, c 的大小关系是 ( D ) ?2? 2
A?. a ? b ? c B?. a ? c ? b C. c ? b ? a D?. b ? a ? c

0.3

5.已知函数 f ( x ) ? ?

? x ? 1,?x ? 0? ,则 f ?? 2? ? ( B ) ? ? ? ? f x ? 2 , x ? 0 ?
C. ? 2 D. ? 1

A?.0

B .1

6.如图所示,阴影部分的面积 S 是 h 的函数 ?0 ? h ? H ? .则该函数的图象是( A )

7.某商场对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额: (1)如果不超过 200 元,则不给予优惠; (2)如果超过 200 元但不超过 500 元,则按标价给予 9 折优惠; (3)如果超过 500 元,其 500 元内的按第(2)条给予优惠,超过 500 元的部分给予 7 折优 惠. 某人两次去购物,分别付款 168 元和 423 元,假设他一次性购买上述两次同样的商品,则应 付款是( C ) A?. 413.7 元 B?. 513.7 元 C. 546.6 元 D?. 548.7 元 8.已知函数 f ( x) ? ax2 ? x ? a ? 1 在 (??, 2) 上单调递减,则 a 的取值范围是( B )

1 A?. (0, ] 4

1 B?. [0, ] 4

C. [2, ??)

D?. [0, 4]

2 2 9.已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? ( x ? 5x ? 6) g ( x) ? x ? 8 , 其中函数 y ? g ( x) 的图

象是一条连续曲线,则方程 f ( x) ? 0 在下面哪个范围内必有实数根( C )

A?. (0,1)

B?. (1, 2)

C. (2,3)

D?. (3, 4)

10.设函数 f ( x) ? ( x2 ? 8x ? c1 )( x2 ? 8x ? c2 )( x2 ? 8x ? c3 )( x2 ? 8x ? c4 ) ,集合

M ? ? x f ( x) ? 0? ? {x1 , x2 ,
A?. 11 B?. 13

, x7 } ? N * ,设 c1 ? c2 ? c3 ? c4 ,则 c1 ? c4 ? ( D )
C. 7 D?. 9

二.填空题(本大题共 7 小题,每小题 3 分,满分 21 分) 11.函数 y ? 2 ? x ? log2 ?x ? 1? 的定义域为_____ (1, 2] __ _____.
x ?2 12.当 a ? 0 且 a ? 1 时,函数 f ( x) ? a ? 3 必过定点

( 2? , 2)
2

.

13.已知函数 f ( x ) 是偶函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? ? ? x ? 1? ? 1 ,则当 x ? 0 时, f ( x ) =

? x2 ? 2 x .
14.函数 f ( x) ? log1 (5 ? 4 x ? x ) 的单调递增区间为 (2,5) .
2 2

15.已知函数 f ( x) ? ? 是 (?1, 2 ?1) .

? x 2 ? 1, x ? 0 ? 1, x ? 0

,则满足不等式 f (1 ? x 2 ) ? f (2x) 的实数 x 的取值范围

16. 函数 y ? lg(3 ? 4 x ? x 2 ) 的定义域为 M, 当 x ? M 时, 关于 x 方程 4 x ? 2 x?1 ? b(b ? R) 有两不等实数根,则 b 的取值范围为

(?1, 0)

.

17.已知函数 y ? f ? x ? 和 y ? g ? x ? 在 ? ?2, 2? 上的图象如下所示:

y ? f ? x?
给出下列四个命题:

y ? g ? x?

①方程 f ? ? g ? x ?? ? ? 0 有且仅有 6 个根; ②方程 g ? ? f ? x ?? ? ? 0 有 且仅有 3 个根; ③方程 f ? ? f ? x ?? ? ? 0 有且仅有 7 个根; ④方程 g ? ? g ? x ?? ? ? 0 有且仅有 4 个根. 其中正确命题的序号为 ①④ . 三.解答题(本大题共 5 小题,满分 49 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 18.(本小题满分 8 分)求值: (1) (3 ) 3 ? 0.0625

3 8

2

?0.25

1 7 ? ( ? ) ?2 ? (2 ) 2 ? ( 2 ? 1) 0 7 9

1

9 5 1219 ? 49 ? ? 1 ? 8 3 24
(2) log3 (9 ? 272 ) ? log2 6 ? log2 3 ? log4 3 ? log3 16

? 8 ? 1 ? 2 ? 11
2 19.(本小题满分 8 分)已知集合 M ? {x x ? 3 x ? 10} , N ? {x a ? 1 ? x ? 2a ? 1} .

(Ⅰ)若 a ? 2 ,求 M (Ⅱ)若 M

( ? R N );

N ? M ,求实数 a 的取值范围.

(Ⅰ) M ? {x | ?2 ? x ? 5}, N ? {x | 3 ? x ? 5}, ?R N ? {x | x ? 3或x ? 5}

所以 M (Ⅱ) M

( ? R N ) ? {x | ?2 ? x ? 3}

N ?M ?N ?M ① a ? 1 ? 2a ? 1 ? a ? 0

? a ? 1 ? 2a ? 1 ? a ? 0 ? ? ? ?a ? 2 ? 0 ? a ? 2 ② ? 2a ? 1 ? 5 ?a ? 1 ? ?2 ?a ? ?3 ? ?
所以 a ? 2 20.(本小题满分 9 分)已知函数 f ( x) ? log 1 ( x2 ? mx ? m) .
2

(1)若 m ? 1 ,求函数 f ( x ) 的定义域; (2)若函数 f ( x ) 的值域为 R ,求实数 m 的取值范围; (3)若函数 f ( x ) 在区间 (??,1 ? 3) 上是增函数,求实数 m 的取值范围. (1) (??,

1? 5 1? 5 ) ( , ??) 2 2
2

(2) ? ? 0 ? m ? 4m ? 0 ? m ? ?4或m ? 0 (3)设 g ( x) ? x2 ? mx ? m

? g (1 ? 3) ? 0 ? ? 2?2 3 ? m ? 2 ?m ? 1 ? 3 ? ?2
21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (1)求实数 a 的值 (2)判断 f ( x) 的单调性,并用定义证明. (3)若解不等式 f (3m2 ? m ? 1) ? f ? 2m ? 3? ? 0 . (1) f (0) ? 0 ? a ? 1 (2) f ( x)在R上是增函数 ;证明(略) (3) f (3m2 ? m ? 1) ? f ? 3 ? 2m? ? 3m2 ? m ? 1 ? 3 ? 2m ? ?1 ? m ?

a ? 3x ? a ? 2 ,函数 f ( x) 为奇函数. x 3 ?1

2 3

9 22.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?| x ? a | ? ? a, x ? [1,6], a ? R . x
⑴若 a ? 6 ,写出函数 f ( x) 的单调区间,并指出单调性; ⑵若函数 f ( x) 在 [1, a] 上单调,且存在 x0 ?[1, a] 使 f ( x0 ) ? ?2 成立,求 a 的取值范围;

⑶当 a ? (1,6) 时,求函数 f ( x) 的最大值的表达式 M (a ) . 解: (1)当 a ? 6 时, f ( x) ?| x ? 6 | ?

9 9 ? 6 ? ? x ? ? 12 ,所以 f ( x) 在 [1,3] 上单调递增, x x

[3, 6] 上单调递减。

9 ? ? x ? ? 2a, x ? [1, a] ? ? x (3) f ( x) ? ? ? x ? 9 , x ? [a, 6] ? x ?
① 当 1 ? a ? 3 时 , f ( x) 在 [1, a] 单 调 递 增 , 在 [ a, 6] 上 单 调 递 增 , 则
M ( a ) ? f ( x) max ? f (6) ?

9 2

②当 3 ? a ? 6 时, f ( x) 在 [1,3] 单调递增, [3, a ] 单调递减, [ a, 6] 上单调递增 因为 f (3) ? 2a ? 6 , f (6) ? i ) 当
M (a ) ? f ( x m)

9 2 2a ? 6 ? 9 2
时 , 即

f( 3 ? f )
a

( 6,) 即 时

21 ?a?6 时 , 4

? x

f( 3 ? ) a? 2

6

ii)当 f (3) ? f (6) 时,即 2a ? 6 ?

9 21 9 时,即 3 ? a ? 时, M (a ) ? f ( x) max ? f (6) ? 2 4 2

21 ?9 , ???? 1 ? a ? ? ?2 4 综上所述, M ( a ) ? ? 21 ?2a ? 6,??? ? a ? 6 ? ? 4


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