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江苏省启东中学2013-2014学年高二上学期期中考试数学试题(文)


启东中学 2013-2014 学年度第一学期期中考试 高二数学(文科)试卷 命题人:施海英
(考试时间:120 分钟,满分:160 分) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。不需写出解答过程,请把答案直 Y C 接填写在答题卡相应位置上。 Y 1.命题“ ?x ? R, ln x ? x ? 1”的否定是 。

2.“ p且q为真 ”是“ p或q为真 ”的______________条件。 (填充要,充分不必要,必要 不充分,既不充分又不必要) 3.若直线 x ? y ? m ? 0 与圆 x ? y ? m 相切,则 m 为
2 2



x2 y2 ? ? 1 的焦点在 x 轴上,则 k 的取值范围为 4.若椭圆 1? k 2 ? k
5.抛物线 y ? ax 的准线方程为 y ? 1 ,则焦点坐标是
2



。 。

6.双曲线的两准线间的距离是焦距的

4 ,则双曲线的离心率为 5

y2 7.双曲线 x2- 4 =1 的渐近线被圆 x2+y2-6x-2y+1=0 所截得的弦长为________。 8.已知命题 p : x ? a ? 4; q : ( x ? 1)( 2 ? x) ? 0 ,若 ?p是?q 的充分不必要条件,则 a 的取 值范围是 。
2

9.下列命题:① ?x ? R, x ? 1 ? 0 ;
2 2

② ?x ? N , x ? 1 ;
2

③ ?x ? Z , x ? 1 ;
3 2

④ ?x ? Q, x ? 3 ; ⑤ ?x ? R, x ? 3x ? 2 ? 0 命题的序号是
2 2

⑥ ?x ? R, x ? 1 ? 0 .其中所有真


2

10.过点 A(a, a) 可作圆 x ? y ? 2ax ? a ? 2a ? 3 ? 0 的两条切线,则实数 a 的取值范围 为 。

2 2 11.直线 ax+by+c=0 与圆 O: x +y =1 交于 A,B 两点,且 AB = 3 ,则 OA · OB =

__

_____。 。

12.若直线 y=x+b 与曲线 x= 1 ? y 2 恰有一个公共点,则 b 的取值范围是 13.对于直线 l:y=k(x+1)与抛物线 C:y =4x,k=±1 是直线 l 与抛物线 C 有唯一交点的 条件(填充要,充分不必要,必要不充分,既不充分又不必要) 。
2

1

14.已知椭圆

2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率是 ,过椭圆上一点 M 作直线 MA, MB 交 2 2 a b

椭圆于 A, B 两点, 且斜率分别为 k1 , k 2 ,若点 A, B 关 于原点对称,则 k1 ? k2 的 值 为
13.



二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤 15. (本题满分 14 分)已知命题 p :方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的正实数根,命题 q : 方程 4 x 2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实数根 若“ p 或 q ”为真命题, p且q ” “ 为假命题, m 求

16. (本题满分 14 分)已知椭圆或双曲线的两个焦点为 F1 ( ? 5 ,0) , F2 ( 5 ,0) , P 是此曲线 上的一点,且 PF1 ? PF2 , PF1 ? PF2 ? 2 ,求该曲线的方程。

17.(本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? x ? x ? a ,试探究函数 f (x) 为偶函数的充要条件,
2

并证明。

2

18.(本题满分 15 分)椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,两焦点分别为 F1 ? F2 , 2 a b 5

点 M ( x0 , y0 ) 是椭圆 C 上一点,且 ?F1 F2 M 的周长为 16 ,设线段 MO ( O 为坐标原点) 与圆 O ? x ? y ? r 交于点 N ,且线段 MN 长度的最小值为
2 2 2

15 . 4

(1)求椭圆 C 以及圆 O 的方程; (2)当点 M ( x0 , y0 ) 在椭圆 C 上运动时,判断直线 l : x0 x ? y0 y ? 1 与圆 O 的位置关系.

19.已知圆 O : x ? y ? 4 .
2 2

(1)直线 l1 : 3 x ? y ? 2 3 ? 0 与圆 O 相交于 A 、 B 两点,求 AB ; (2)如图,设 M ( x1 ,

y1 ) 、 P( x2 ,

y2 ) 是圆 O 上的两个动点,点 M 关于原点的对称点为

M 1 ,点 M 关于 x 轴的对称点为 M 2 ,如果直线 PM 1 、 PM 2 与 y 轴分别交于 (0, m)
和 (0,

n ) ,问 m? n 是否为定值?若是求出该定值;若
y

不是,请说明理由。

M P

3

x O

20.已知点 Q( x, y ) 位于直线 x ? ?3 右侧, 且到点 F (?1,0) 与到直线 x ? ?3 的距离之和等于 4. (1)求动点 Q( x, y ) 的坐标之间满足的关系式,并化简且指出横坐标 x 的范围; (2)设(1)中的关系式表示的曲线为 C,若直线 l 过点 M (1,0) 且交曲线 C 于不同的两点 A、

??? 1 ??? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? B,①求直线 l 的斜率的取值范围,②若点 P 满足 FP ? ( FA ? FB) ,且 EP ? AB ? 0 , 2
其中点 E 的坐标为 ( x0 ,0) ,试求 x0 的取值范围。 l Q y

-3

F

O M x

江苏省启东中学 2013-2014 第一学期期中试卷 高二数学(文) 答案

一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。不需写出解答过程,请把答案直 接填写在答题卡相应位置上 1.?x ? R, ln x ? x ? 1 2. 充分不必要 3. 2 4.(?2,? ) 5. (0,?1)

1 2

6.

5 2

7. 4

8. 2 ? a ? 5 ?

9.①③ 10. a ? ?3 或

1? a ?

3 2 11. 1 ? 2

( 12. ?1,1] ? {? 2}

13.充分不必要

14. ?

1 2

二.解答题:本大题共 6 小题,共 90 分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤 15.(本题满分 14 分)
4

?? ? 0 ? 解:设方程 x ? mx ? 1 ? 0 的两根为 x1 , x2 ,则 ? x1 ? x2 ? ?m ? 0 ,---------------3 分 ?x x ? 1 ? 0 ? 1 2
2

? p : m ? ?2 -------------------------------------------------------------------------------------6 分
又 ? ? 16(m ? 2) ? 16 ? 0 ,? q : ?3 ? m ? ?1 --------------------------------------------8 分
2

当 p 真 q 假,则 m ? ?3 --------------------------------------------------------------------------10 分 当 p 假 q 真,则 ? 2 ? m ? ?1 -------------------------------------------------------------------12 分 综上所述: m ? ?3 或 ? 2 ? m ? ?1 。---------------------------------------------------------14 分 16.(本题满分 14 分) 解: 设PF1 ? m, PF2 ? n ,若是椭圆,方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

?m 2 ? n 2 ? 20 则? ---------------------------- --- ---------------------------------------------------3 分 mn ? 2 ?
解得 m ? n ? 2 6 ,? a ?

6 , b ? 1 ,--------------------------------------------------------7 分

若是双曲线,方程为

x2 y2 ? ? 1, m ? n , a2 b2

?m 2 ? n 2 ? 20 则? ,解得 a ? 4, b ? 1 -----------------------------------------------------------12 分 ?mn ? 2

x2 x2 2 ? y ? 1 或 ? y 2 ? 1 --------------------------------------------------------14 分 综上,方程为 6 4
17.(本题满分 15 分) 解: f (x) 为偶函数的充要条件是 a ? 0 。----------------------------------------------------------5 分 证明:充分性,若 a ? 0 ,则 f ( x) ? x ? x ,? f (? x) ? f ( x) ,? f (x) 为偶函数。----9 分
2

必 要 性 , 若 f (x) 为 偶 函 数 , 则 f (? x) ? x ? ? x ? a ? f ( x) ? x ? x ? a ,
2 2

? x ? a ? x ? a ,? 4ax ? 0 ,此式对一切 x ? R 恒成立,?a ? 0 --------------------------15 分
18.(本题满分 15 分) 解:(1) 设椭圆 C 的半焦距为 c ,则

c 3 3 ? ,即 c ? a ① ,??????1 分 a 5 5
② , ?????2 分
5

又 | MF1 | ? | MF2 | ? | F1 F2 |? 2a ? 2c ? 16

联立①②,解得 a ? 5 , c ? 3 ,所以 b ?

a2 ? c2 ? 4 ,

????? 4 分

x2 y 2 所以椭圆 C 的方程为 ? ?1 ; 25 16

??????6 分

而椭圆 C 上点 M ( x0 , y0 ) 与椭圆中心 O 的距离为
2 2 2 MO ? x0 ? y0 ? x0 ? 16 ?

16 2 9 2 x0 ? x0 ? 16 ? 4 ,等号在 x0 ? 0 时成立,??7 分 25 25
1 , 4

而 MN ? MO ? r ,则 MN 的最小值为 4 ? r ,从而 r ? 则圆 O 的方程为 x 2 ? y 2 ?

1 . 16

????????8 分
2 2 x0 y0 ? ?1, 25 16

(2)因为点 M ( x0 , y0 ) 在椭圆 C 上运动,所以
2 即 y0 ? 16 ?

16 2 x0 25



???????9 分

圆心 O 到直线 l ? x0 x ? y0 y ? 1 的距离 d ?

1 x ?y
2 0 2 0

?
9 25

1 x0 2 ? 16



??11 分

当 x0 ? 0 , y0 ? ?4 , d ? 当 x0 ? 0 时, d ?

1 1 ? ? r ,则直线与圆 O 相切. 16 4

?? 13 分

1 1 ? ? r ,则直线与圆 O 相交. 16 4

????15 分

(3)(本题满分 16 分) 解: (1)圆心 O(0,

y

0) 到直线 3 x ? y ? 2 3 ? 0 的距离 d ? 3 .

M P x O

圆的半径 r ? 2 ,? AB ? 2 r 2 ? d 2 ? 2 .??????6 分 (2) M ( x1 ,

y1 ) , P( x2 ,

y2 ) ,则 M 1 (? x1 , ? y1 ) , M 2 ( x1 , ? y1 ) ,

2 2 x12 ? y12 ? 4 , x2 ? y 2 ? 4 .??????10 分

PM 1 : ( y2 ? y1 )( x ? x2 ) ? ( x2 ? x1 )( y ? y2 ) ,得 m ?

x1 y2 ? x2 y1 . x2 ? x1

PM 2 : ( y2 ? y1 )( x ? x2 ) ? ( x2 ? x1 )( y ? y2 ) ,得 n ?

? x1 y2 ? x2 y1 .????14 分 x2 ? x1

6

?m?n ?

2 2 2 2 x2 y12 ? x12 y2 x2 (4 ? x12 ) ? x12 (4 ? x2 ) ? ? 4 ??????16 分 2 2 x2 ? x12 x2 ? x12

20.(本题满分 16 分) l Q y

-3

F

O M x

解: (1)设点 Q( x, y)( x ? ?3) ,由题意得 x ? 3 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 ,-------------2 分 化简得 y ? ?4 x
2

-----------------------------------4 分 ------------------------------------------------------------------6 分

x ? (?3,0]

(2)①由题意可直线 l 的斜率 k 存在且不为 0,故可设方程为 y ? k ( x ? 1) ,

由?

? y 2 ? ?4 x ? y ? k ( x ? 1)
2

得, k x ? (4 ? 2k ) x ? k ? 0 , x ? (?3,0] ,
2 2 2 2

由 ? ? 0 ,得 k <1,

---------------------------------8 分

? f ( ?3) ? 0 ? f ( 0) ? 0 3 ? 2 2 2 2 2 由 x ? (?3,0] ,令 f ( x) ? k x ? (4 ? 2k ) x ? k ,得 ? ,即 k ? , 2 4 ?? 3 ? k ? 2 ? 0 2 ? k ?


3 ? k2 ?1 4

-------------------------------------------12 分

②由 FP ?

1 k2 ?2 2 ( FA ? FB) 可知,点 P 为线段 AB 的中点,∴ P( 2 ,? ) . 2 k k

由 EP ? AB ? 0 可知,EP⊥AB,
2 2 k ∴ ? k ? ?1 ,整理得, x0 ? ? 2 ? 1 -------------------------14 分 k k2 ?2 x0 ? 2 k

∴x0 的取值范围是 (?

11 ,?3) ------- ---------------------------------------16 分 3
7

8


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