当前位置:首页 >> 数学 >>

18版高中数学第三章指数函数和对数函数5.3第2课时习题课——对数函数的图像及其性质的应用课件北师大_图文

第2课时

习题课——对数函数

的图像及其性质的应用

学习目标

1. 进一步加深理解对数函数的概念 ( 重点 ) ; 2. 掌握

对数函数的性质及其应用(重、难点).

1.下列函数是对数函数的是(

)

A.y=loga(2x)
C.y=log2x+1 解析

B.y=log22x
D.y=lg x

选项 A 、 B 、 C 中的函数都不具有“ y = logax(a>0 ,

a≠1)”的形式,只有D选项符合.
答案 D

1 2.函数 f(x)= +lg(3x+1)的定义域是( 1-x
? 1 ? A.?-3,+∞? ? ? ? 1 1? C.?-3,3? ? ?
? ?1-x>0, 由? ? ?3x+1>0,

)

? 1? B.?-∞,-3? ? ? ? 1 ? D.?-3,1? ? ?

解析

1 可得-3<x<1.

答案 D

3.已知函数f(x)=lg(x2+1),则( A.f(x)是偶函数

)

B.f(x)是奇函数
C.f(x)是R上的增函数 D.f(x)是R上的减函数 解析 因为 f( - x) = lg[( - x)2 + 1] = lg(x2 + 1) = f(x) ,且定义 域为R,关于原点对称,所以f(x)是偶函数.故选A. 答案 A

4. 已知定义域为 R 的偶函数 f(x)在[0, +∞)上是增函数, 且 =0,则不等式 f(log4x)<0 的解集是________.
解析

?1? f?2? ? ?

1 1 1 - 由 题 意 可 知 , f(log4x)<0 ? - 2 <log4x< 2 ? log44 2

1 <log4x<log442

1 ?2<x<2.

答案

? ? ?1 ?x? ? ? ?2

? ? <x<2? ? ?

题型一 简单对数不等式
【例1】 已知函数f(x)的图像与 g(x)=logax(a>0且a≠1)的图像

关于x轴对称,解不等式f(2x)<f(x-1).
解 因为 f(x)与 g(x)的图像关于 x 轴对称,所以 f(x)=log1 x,
a a a

故 f(2x)<f(x-1)?log1 (2x)<log1 (x-1). ?2x>0, ? 当 a>1 时,原不等式??x-1>0,?x>1, ?2x>x-1, ?

?2x>0, ? 当 0<a<1 时,原不等式??x-1>0, ?2x<x-1, ? 原不等式的解集为空集.

无解.

所以当 a>1 时,原不等式的解集是(1,+∞),当 0<a<1 时,

规律方法 解对数不等式的两种类型及转化方法 (1)当 a>1 时,①logaf(x)>b=logaab?f(x)>ab;
? ?f?x?>g?x?, ②logaf(x)>logag(x)?? ? ?g?x?>0.

(2)当 0<a<1

b ? f ? x ? < a , ? b 时,①logaf(x)>b=logaa ?? ? ?f?x?>0;

? ?f?x?<g?x?, ②logaf(x)>logag(x)?? ? ?f?x?>0.

提醒 解简单对数不等式时不要忘记真数大于0这一条件.

【训练 1 】

(1) 已知 log0.7(2x)<log0.7(x - 1) ,则 x 的取值范围是

________. (2) 若 a∈R ,且 loga(2a + 1)<loga(3a)<0 ,则 a 的取值范围是 ________.
?2x>0, ? 解析 (1)原不等式??x-1>0, ?2x>x-1 ? ?x>0, ? ??x>1, ?x>-1 ?

?x>1.

? ?a>1, ?2a+1>0, (2)原不等式等价于? ?2a+1<3a, ? ?3a<1

?0<a<1, ? 或?2a+1>3a, ?3a>1, ?

?1 ? 1 解得 a∈?或3<a<1,故 a 的取值范围是?3,1?. ? ?

答案 (1)x>1

?1 ? (2)?3,1? ? ?

题型二 对数型复合函数的值域或最值
1 【例 2】 求 y=(log1 x) -2log1 x+5 在区间[2,4]上的最大值和 2 2
2

最小值.
解 因为 2≤x≤4,所以 log1 2≥log1 x≥log1 4,
2 2 2 2

即-1≥log1 x≥-2. 设 t=log1 x,则-2≤t≤-1,
2

1 1 所以 y=t -2t+5,其图像的对称轴为直线 t=4,
2

13 所以当 t=-2 时,ymax=10;当 t=-1 时,ymin= 2 .

规律方法

(1)这类问题一般通过换元法转化为一次函数或

二次函数的最值问题.
(2)注意换元时新元的范围.

【训练 2】

已知实数 x 满足 4x-10· 2x+16≤0,求函数 y=

(log3x)2-log3 x+2 的值域.
解 不等式 4x-10· 2x+16≤0 可化为(2x)2-10· 2x+16≤0, 即(2x-2)(2x-8)≤0.从而有 2≤2x≤8,即 1≤x≤3. 所以 0≤log3x≤1. 由于函数 y=(log3x)2-log3 x+2 可化为 ? 1?2 31 1 2 y=(log3x) -2log3x+2=?log3x-4? +16, ? ? 1 31 5 当 log3x=4时,ymin=16;当 log3x=1 时,ymax=2. ?31 5? 所以,所求函数的值域为?16,2?. ? ?

考查 方向
方向 1

题型三 对数型函数的综合应用

对数型函数的单调性与奇偶性

1-mx 【例 3-1】 已知函数 f(x)=loga (a>0,a≠1,m≠1)是奇 x-1 函数. (1)求实数 m 的值; (2)探究函数 f(x)在(1,+∞)上的单调性.

解 立.

(1)由已知条件得 f(-x)+f(x)=0 对定义域中的 x 均成

mx+1 1-mx ∴loga +loga =0, -x-1 x-1 mx+1 1-mx 即 · =1, -x-1 x-1 ∴m2x2-1=x2-1 对定义域中的 x 均成立. ∴m2=1,即 m=1(舍去)或 m=-1.

1+x (2)由(1)得 f(x)=loga . x-1 x+1 x-1+2 2 设 t= = =1+ , x -1 x-1 x-1 ∴当 x1>x2>1 时, 2?x2-x1? 2 2 t1-t2= - = <0, x1-1 x2-1 ?x1-1??x2-1? ∴t1<t2. 当 a>1 时,logat1<logat2,即 f(x1)<f(x2), ∴当 a>1 时,f(x)在(1,+∞)上是减函数. 同理当 0<a<1 时,f(x)在(1,+∞)上是增函数.

方向2 定义域或值域为R的问题 【例3-2】 已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1). (1)若函数的定义域为R,求实数a的取值范围;

(2)若函数的值域为R,求实数a的取值范围.
解 (1)若 f(x)的定义域为 R, 则关于 x 的不等式 ax2+2x+1>0 的解集为 R,
? ?a>0, 结合二次函数图像可得? 2 ? a· 1<0, ?2 -4·

解得 a>1.即实数 a 的取值范围是(1,+∞).

(2)若函数 f(x)的值域为 R, 则 ax2+2x+1 可取一切正实数, 结合函数图像可得 a=0
? ?a>0, 或? 2 ? a· 1≥0, ?2 -4·

解得 0≤a≤1.即实数 a 的取值范围是[0,1].

方向 3

利用数形结合思想解有关对数函数的问题 已知函数 f(x)=|log2x|,正数 m,n 满足 m<n,且 ) 1 B.4,2 1 D.4,4

【例 3-3】

f(m)=f(n).若 f(x)在区间[m2,n]上的最大值为 2,则 m,n 的值分别是( 1 A.2,2 2 C. 2 , 2

解析 示

画出函数 f(x) = |log2x| 的图像的大致示意图,如图所

已知正数m,n满足m<n,且f(m)=f(n), 所以0<m<1<n.

因为 f(m)=f(n), 所以|log2m|=|log2n|,即-log2m=log2n, 所以 log2mn=0,解得 mn=1. 结合题图知,函数 f(x)=|log2x|在(0,1)为减函数,在(1,+∞) 为增函数.因为 0<m<1,所以 0<m2<m<1. 函数 f(x)在区间[m2,n]上,当 x=m2 时,f(x)取得最大值,即 1 f(m )=|log2m |=-log2m =2,解得 m=2.
2 2 2

所以 n=2.

答案 A

规律方法

1. 判断函数的奇偶性,首先应求出定义域,看

是否关于原点对称.

2.求函数的单调区间有两种思路:(1)易得到单调区间的,
可用定义法来求证; (2)利用复合函数的单调性求得单调区 间. 3 .若函数 y = logaf(x) 的定义域为 R ,只需真数大于零恒成 立;若函数y=logaf(x)的值域为R,需f(x)取遍一切正数,在 解题时,当最高次项系数带字母时,需注意分情况讨论.

课堂达标
1 1.函数 y= 的定义域为( log0.5?4x-3?
?3 ? A.?4,1? ? ?

)

?3 ? B.?4,+∞? ? ? ?3 ? D.?4,1?∪(1,+∞) ? ?

C.(1,+∞)

解析

? ?4x-3>0, 由? ? ?log0.5?4x-3?>0

3 ? ?x> , 3 4 得? 即4<x<1. ? ?x<1,

故选 A.

答案 A

2.已知函数 y=f(2x)的定义域为[-1,1],则函数 y=f(log2x)的定 义域为( A.[-1,1] C.[1,2]
-1

)
?1 ? B.?2,2? ? ?

D.[ 2,4]
x

1 解析 ∵-1≤x≤1,∴2 ≤2 ≤2,即2≤2x≤2.
?1 ? 1 ? ? ∴y=f(x)的定义域为 2,2 ,即2≤log2x≤2, ? ?

∴ 2≤x≤4.

答案 D

3.函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为 a,则a的值为________.

解析 函数 f(x)=ax+loga(x+1), 令 y1=ax, y2=loga(x+1), 显然在[0,1]上, y1=ax 与 y2=loga(x +1)同增或同减. 因而[f(x)]max+[f(x)]min=f(1)+f(0) 1 =a+loga2+1+0=a,解得 a=2.

1 答案 2

4.已知函数

? ?log2x,x>0, f(x)=? x ? ?3 ,x≤0,



? ?1?? f?f?4??等于________. ? ? ??

?1? 1 1 ? ? 解析 ∵4>0,∴f 4 =log24=-2, ? ? ? ?1?? 1 -2 ? ? ? ? ∴f f 4 =f(-2)=3 =9. ? ? ??

1 答案 9

5.若函数 y =lg(ax2 +ax + 1) 的定义域为 R ,求实数 a 的取值范 围.
解 当 a=0 时,y=lg 1,符合题意; 当 a≠0
? ?a>0, 时,由题意得? 2 ? Δ = a -4a<0, ?

得 0<a<4,

综上,得 a 的取值范围是 0≤a<4.

课堂小结
1 . 指数函数 y = ax(a>0 ,且 a≠1) 与对数函数 y = logax(a>0 ,且 a≠1)互为反函数,应从概念、图像和性质三个方面理解它

们之间的联系与区别.
2.明确函数图像的位置和形状要通过研究函数的性质,要记 忆函数的性质可借助于函数的图像.因此要掌握指数函数 和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图 像.

内部文件,请勿外传

3.与对数函数有关的复合函数y=logaf(x)的定义域为R,求参 数的取值范围,主要转化成 f(x)>0 恒成立问题; y = logaf(x) 的值域为 R,求参数的取值范围,主要应用 (0,+∞) 为函

数f(x)的值域的子集.
4.需要注意的问题 (1) 由 logaf(x)>logag(x) 利用单调性去掉对数符号时,务必保 证f(x)>0,g(x)>0,否则就扩大了自变量的取值范围. (2)复合函数的单调性规律“同增异减”:内、外层函数单 调性相同时,复合函数为增函数;内、外层函数单调性相 反时,复合函数为减函数.

内部文件,请勿外传

课前预习

课堂互动

课堂反馈

内部文件,请勿外传

课前预习

课堂互动

课堂反馈