东莞市2013届高三文科数学模拟试题及答案

东莞市 2013 届高三文科数学模拟试题(一)
参考公式: 锥体的体积公式: V ?

1 Sh .其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高. 3

柱体的体积公式: V ? Sh .其中 S 是柱体的底面积， h 是柱体的高.
2 球的表面积、体积公式: S ? 4?R 、 V ?

4 3 ?R .其中 R 是球的半径. 3

一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的） 1.已知集合 M ? x ( x ? 2)(x ? 1) ? 0 , N ? x x ? 1 ? 0 ,则 M ? N ? A. (?1,1) B. (?2,1) C. (?2,?1) D. (1,2)

?

?

?

?

z2 ? 2.已知复数 z ? 1 ? i ，则 z ?1
C. 2i ? ? ? ? ? ? 3.设 x ? R ,向量 a ? ( x,1), b ? (1, ?2), 且 a ? b ,则 | a ? b |? A． 5 B． 10 C． 2 5 A. 2 B. ? 2 D. ? 2i

D． 10

?1 x ?( ) , x ? 3 4.已知函数 f ( x) ? ? 3 , 则f (2 ? log 3 2) 的值为 ? f ( x ? 1), x ? 3 ?
A． ?

2 27

B．

1 54

C．

2 27

D． ?54

“ 5. sin ? ?

1 1 ” “cos 2? ? ” 的 是 2 2
B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件

2 2 6.已知圆 C1 : ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1 ，圆 C 2 与圆 C1 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称，则圆 C 2 的方程为

A. ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 1
2 2

B. ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 1
2 2

C. ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 1
2 2

D. ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 1
2 2

7.已知双曲线

y2 x2 ? ? 1 ，抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) ，若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离 9 16

为 3 ，则 p ?

A.

15 4

B. 5

C.

15 2

D. 10

8.下图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

9.甲、乙两名同学在 5 次体育测试中的成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别为

x甲， ，则下列结论正确的是 x乙
A. x甲 ? x乙 ；乙比甲成绩稳定 C. x甲 ? x乙 ；甲比乙成绩稳定 B. x甲 ? x乙 ；甲比乙成绩稳定 D. x甲 ? x乙 ；乙比甲成绩稳定

甲

乙

8 7

2

7
8 9

8
2 2

6
2

8 5

10.在区间 [0,1] 上任意取两个实数 a ， b ，则函数 f ( x) ? 个零点的概率为 A.

1 3 x ? ax ? b 在区间 [?1,1] 上有且仅有一 2

1 8

B.

1 4

C.

7 8

D.

3 4

二、填空题： （本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）
（一）必做题（11～13 题） 11.在等差数列 {an } 中，若 a1 ? a5 ? a9 ?

?
4

，

20

则 tan(a4 ? a6 ) ? _________________. 12.某路口的机动车隔离墩的三视图如右图所示， 其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成， 根据图中标出的尺寸（单位： cm ）可求得 隔离墩的体积为 ______ cm .
3

30

x 13.在同一平面直角坐标系中，已知函数 y ? f ( x) 的图象与 y ? e 的图象关于直线 y ? x 对称，则

函数 y ? f ( x) 对应的曲线在点（ e, f (e) ）处的切线方程为

．

（二）选做题：请在 14、15 题中选做一题,如果两题都做,以第一题的得分为最后得分.

14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线 ? ? 交于 A 、 B 两点，则 | AB |? ．

π （ ? ?R ）与圆 ? ? 4 cos? ? 4 3 sin ? 3

15. (几何证明选讲选做题) 如图所示， O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D ，CD ? 4, BD ? 8 ， 圆 则线段 DO 的长等于 ．

三、解答题(共 80 分)
16.( 本 小 题 满 分 12 分 ） 向 量 a ? ( ,

1 1 3 si nx ? c o sx) , b ? (1, y) , 已 知 a // b ， 且 有 函 数 2 2 2

y ? f (x) .
（1）求函数 y ? f (x) 的周期； （ 2 ） 已 知 锐 角 ?A B C的 三 个 内 角 分 别 为 A, B, C ， 若 有 f ( A ?

?
3

)? 3 ，边

BC ? 7 , sin B ?

21 ，求 AC 的长及 ?ABC 的面积. 7

17． （本小题满分 12 分）从某学校高三年级 800 名学生中随机抽取 50 名测量身高，据测量被抽取的 学 生 的 身 高 全 部 介 于 155cm 和 195cm 之 间 ， 将 测 量 结 果 按 如 下 方 式 分 成 八 组 ： 第 一 组

?155,160? ．第二组 ?160,165? ；?第八组 ?190,195? ，下图是按上述分组方法得到的条形图. ．．．

(1)根据已知条件填写下面表格：

组 别 样本数

1

2

3

4

5

6

7

8

(2)估计这所学校高三年级 800 名学生中身高在 180cm 以上（含 180cm ）的人数； (3)在样本中，若第二组有 1 人为男生，其余为女生，第七组有 1 人为女生，其余为男生，在第二 组和第七组中各选一名同学组成实验小组，问：实验小组中恰为一男一女的概率是多少？

18． （本小题满分 14 分）如图， AA1 、 BB1 为圆柱 OO1 的母线， BC 是底面圆 O 的直径， D 、 E 分 别是 AA1 、 CB1 的中点， DE ? 面CBB1 ． (1)证明： DE // 面ABC ； (2)证明： 面A1 B1C ? 面A1 AC ； (3)求四棱锥 C ? ABB A1 与圆柱 OO1 的体积比. 1

A1
O1
B1
D

E
A

C

O
B
19.（本小题满分 14 分） 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ，数列 {S n ? 1} 是公比为 2 的等比数列，a2 是 a1 和 a3 的等比中项. （1）求数列 {an } 的通项公式； （2）求数列 nan 的前 n 项和 Tn .

? ?

20.（本小题满分 14 分）已知函数 f ( x) ? ln x ? （1）讨论 f (x) 的单调性；

a , g ( x) ? f ( x) ? ax ? 6 ln x ，其中 a ?R. x

（2）若 g (x) 在其定义域内为增函数，求正实数 a 的取值范围；
2 （3） 设函数 h( x) ? x ? mx? 4 ,当 a ? 2 时， ?x1 ? (0,1) ，?x2 ? [1,2] ， 若 总有 g ( x1 ) ? h( x2 ) 成

立，求实数 m 的取值范围．

21.（本小题满分 14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C : 点为 F1 (?1,0) ，且椭圆 C 的离心率 e ? (1)求椭圆 C 的方程；

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦 a2 b2

1 . 2

(2)设椭圆 C 的上下顶点分别为 A , A2 , Q 是椭圆 C 上异于 A , A2 的任一点,直线 QA，QA2 分 1 1 1 别交 x 轴于点 S, T ,证明: OS ? OT 为定值,并求出该定值； (3)在椭圆 C 上，是否存在点 M (m, n) ，使得直线 l : m x ? ny ? 2 与圆 O : x ? y ?
2 2

16 相交于 7

不同的两点 A、B ，且 ?OAB 的面积最大？若存在，求出点 M 的坐标及对应的 ?OAB 的面积； 若不存在，请说明理由.

东莞市 2013 届高三文科数学模拟试题(一) 参考答案 一、选择题（每小题 5 分，共 50 分）
题号 答案 C 1 A 2 B 3 B 4 A 5 B 6 D 7 C 8 D 9 C 10

二、填空题：(每小题 5 分，共 20 分)
11.

3 3

12.

11000 ? 3

13. x ? ey ? 0

14. 8

15. 3

三、解答题：(共 80 分)
16. 解：由 a // b 得

1 1 3 y ? ( sin x ? cos x) ? 0 2 2 2

?????????3 分

即 y ? f ( x) ? 2 sin( x ?

?
3

)

?????????5 分 ??????????????6 分

（1）函数 f (x) 的周期为 T ? 2? （2）由 f ( A ?

?
3

) ? 3 得 2 sin( A ?

?
3

?

?
3

)? 3

即 sin A ?

3 2

∵ ? ABC 是锐角三角形∴ A ?

?
3

???????????????????8 分

由正弦定理：

BC AC 21 ? 及条件 BC ? 7 , sin B ? sin A sin B 7

BC ? sin B ? 得 AC ? sin A
2 2

7? 3 2
2

21 7 ? 2 ， ???????????????10 分

又∵ BC ? AB ? AC ? 2 AB ? AC ? cos A 即 7 ? AB ? 4 ? 2 ? AB ? 2 ?
2

1 2

解得 AB ? 3 ????????????11 分

∴ ? ABC 的面积 S ?

1 3 3 AB ? AC ? sin A ? 2 2

?????????12 分

17.解：(1)由条形图得第七组频率为 1 ? (0.04 ? 2 ? 0.08 ? 2 ? 0.2 ? 2 ? 0.3) ? 0.06 ,0.06 ? 50 ? 3 . ∴第七组的人数为 3 人 组别 样本中人数 1 2 2 4 .?????????????????1 分 3 10 4 10 5 15 6 4 7 3 8 2

???????????4 分 (2) 由 条 形 图 得 前 五 组 频 率 为 (0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)×5=0.82, 后 三 组 频 率 为 1-0.82=0.18. 估 计 这 所 学 校 高 三 年 级 身 高 在 180cm 以 上 ( 含 180cm) 的 人 数 800×0.18=144(人). ??????8 分 (3)第二组四人记为 a 、 b 、 c 、 d ，其中 a 为男生，b、c、d 为女生，第七组三人记为 1、2、 3，其中 1、2 为男生，3 为女生，基本事件列表如下： a 1 2 3 1a 2a 3a b 1b 2b 3b c 1c 2c 3c d 1d 2d 3d

所以基本事件有 12 个,恰为一男一女的事件有 1b，1c，1d，2b，2c，2d，3a 共 7 个,因 此实验小组中，恰为一男一女的概率是

7 12

????????????12 分

18.（1）证明：连结 EO ， OA .? E, O 分别为 B1C , BC 的中点，∴ EO // BB1 . 又 DA// BB1 ，且 DA ? EO ?

1 BB1 .∴四边形 AOED 是平行四边形， 2

即 DE // OA, DE ? 面ABC . ∴ DE // 面ABC . ??????4 分 (2) 证明： AA1 、 BB1 为圆柱 OO1 的母线，所以 AB // A1 B1 且 AA ? 圆O ，即 AA1 ? AB ， 1 又 BC 是底面圆 O 的直径， 所以 AB ? AC ，AC ? AA ? A ， 所以 AB ? 面A1 AC 1 由 AB // A1 B1 ，所以 A1 B1 ? 面A1 AC ， A1 B1 ? 面A1 B1C ， 所以 面A1 B1C ? 面A1 AC ??9 分 （3）解：由题 DE ? 面CBB1 ，且由（ 1）知 DE // OA .∴ AO ? 面CBB1 ，∴ AO ? BC ， ∴ AC ? AB . 因 BC 是底面圆 O 的直径，得 CA ? AB ，且 AA ? CA ， 1 ∴ CA ? 面AA B1 B ，即 CA 为四棱锥的高．设圆柱高为 h ，底半径为 r ， 1

则 V柱 ? ?r 2 h ，V锥 ?

2 1 2 h( 2r ) ? ( 2r ) ? hr 2 ∴ V锥 ：V柱 ? . 3 3 3?

????14 分

19． （1）解：∵ {S n ? 1} 是公比为 2 的等比数列， ∴ S n ? 1 ? (S1 ? 1) ? 2n?1 ? (a1 ? 1) ? 2n?1 . ∴ S n ? (a1 ? 1) ? 2 n?1 ? 1. 从而 a2 ? S 2 ? S1 ? a1 ? 1 ， a3 ? S3 ? S 2 ? 2a1 ? 2 . ∵ a2 是 a1 和 a3 的等比中项 ∴ (a1 ? 1) 2 ? a1 ? (2a1 ? 2) ，解得 a1 ? 1 或 a1 ? ?1 . 当 a1 ? ?1 时， S1 ? 1 ? 0 ， {S n ? 1} 不是等比数列， ∴ a1 ? 1 . ∴ Sn ? 2n ? 1 . 当 n ? 2 时， an ? S n ? S n?1 ? 2 n?1 . ∵ a1 ? 1 符合 an ? 2 n?1 ， ∴ an ? 2 n?1 . （2）解：∵ nan ? n ? 2n?1 ， ∴ Tn ? 1?1 ? 2 ? 21 ? 3 ? 2 2 ? ? ? n ? 2 n?1 . ① ????? 9 分 ????? 10 分 ????? 11 分 ????? 12 分 ????? 13 分 ????? 14 分 ????? 8 分 ????? 6 分 ????? 7 分 ????? 4 分 ????? 5 分 ????? 3 分 ????? 1 分

2Tn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n .②
① ? ②得 ? Tn ? 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 n?1 ? n ? 2 n

?

1 ? 2n ? n ? 2n 1? 2

? (1 ? n) ? 2 n ? 1.
∴ Tn ? (n ? 1)2 n ? 1 .

20.解： （1） f (x) 的定义域为 (0,??) ，且 f ' ( x) ?

x?a ， x2

???????1分 ??????2 分

①当 a ? 0 时， f ' ( x) ? 0 ， f (x) 在 (0,??) 上单调递增；

②当 a ? 0 时，由 f ' ( x) ? 0 ，得 x ? ?a ；由 f ' ( x) ? 0 ，得 x ? ?a ；

故 f (x) 在 (0,?a) 上单调递减，在 (?a,??) 上单调递增. （2） g ( x) ? ax ?

??????4 分

a ? 5 ln x ， g (x) 的定义域为 (0,??) x

g ' ( x) ? a ?

a 5 ax2 ? 5 x ? a ? ? x2 x x2

??????5 分

因为 g (x) 在其定义域内为增函数，所以 ?x ? (0,??) ， g ' ( x) ? 0

? ax2 ? 5x ? a ? 0 ? a( x 2 ? 1) ? 5x ? a ?
而

5x ? 5x ? ?a?? 2 ? x ?1 ? x ? 1? max
2

5 5x 5 5 ? ? ，当且仅当 x ? 1 时取等号，所以 a ? 2 x ?1 x ? 1 2 x
2

??????8 分

2 2 x 2 ? 5x ? 2 （3）当 a ? 2 时， g ( x ) ? 2 x ? ? 5 ln x ， g ' ( x) ? x x2
由 g ' ( x) ? 0 得 x ?

1 或x ?2 2 1 2

当 x ? (0, ) 时， g ' ( x) ? 0 ；当 x ? ( ,1) 时， g ' ( x) ? 0 . 所以在 (0,1) 上， g ( x) max ? g ( ) ? ?3 ? 5 ln 2

1 2

1 2

???????10 分

而“ ?x1 ? (0,1) ， ?x2 ? [1,2] ，总有 g ( x1 ) ? h( x2 ) 成立”等价于 “ g (x) 在 (0,1) 上的最大值不小于 h(x) 在 [1,2] 上的最大值”

h 而 h(x) 在 [1,2] 上的最大值为 max{ (1), h(2)}
? 1 ? g ( 2 ) ? h(1) ? 所以有 ? ? g ( 1 ) ? h ( 2) ? 2 ?

??????12 分

?m ? 8 ? 5 ln 2 ?? 3 ? 5 ln 2 ? 5 ? m ? ? m ? 8 ? 5 ln 2 ?? ?? 1 ?? 3 ? 5 ln 2 ? 8 ? 2m ?m ? 2 (11 ? 5 ln 2) ?
所以实数 m 的取值范围是 [8 ? 5 ln 2, ? ?) ?????14 分

21.（本小题满分 14 分）

?c ? 1 ? c 1 ? 解：（1）由题意： ?e ? ? ，解得： a ? 2, b ? 3 a 2 ? ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?
所以椭圆 C :

????? 3 分

x2 y2 ? ?1 4 3

????? 4 分

(2) 由（1）可知 A1 (0, 3), A2 (0,? 3) ,设 Q( x0 , y0 ) , 直线 QA : y ? 3 ? 1

? 3x0 y0 ? 3 ; x ,令 y ? 0 ,得 x S ? x0 y0 ? 3 3 x0 y0 ? 3 ; x ,令 y ? 0 ,得 xT ? x0 y0 ? 3
3 x0

????? 5 分

直线 QA2 : y ? 3 ?

????? 6 分

2 3x0 ? ? 2 则 OS ? OT ? , y0 ? 3 y0 ? 3 y0 ? 3

? 3 x0

????? 7 分

2 2 x0 y 0 2 2 ? ? 1 ,所以 3x0 ? 4(3 ? y0 ) , 而 4 3

所以 OM ? ON ?

2 3x0 ?4 2 y0 ? 3

???? 8 分

(3)假设存在点 M (m, n) 满足题意，则

4 m2 n2 ? ? 1 ，即 m 2 ? 4 ? n 2 3 4 3

设圆心到直线 l 的距离为 d ，则 d ?

2 m2 ? n2

，且 d ?

4 7 7

?????9 分

所以 AB ? 2

16 16 4 ?d2 ? 2 ? 2 7 7 m ? n2 1 4 16 4 ? AB ? d ? ( ? 2 ) 2 2 2 m ? n 7 m ? n2

?????10 分

所以 S ?OAB ? 因为 d ?

?????11 分

7 16 4 4 7 2 2 ? 2 ?0 ，所以 m ? n ? ，所以 4 7 m ? n2 7

所以 S ?OAB ?

4 16 4 ? ? 2 2 4 16 4 7 m ? n 2 ) 2 ? 8 ? 12 分 ( ? 2 ) ? (m ?n 2 7 m2 ? n2 7 m ? n2
2

当且仅当

4 16 4 7 7 8 2 2 ? ? 2 ，即 m ? n ? ? 时， S ?OAB 取得最大值 2 2 7 m ?n 2 4 7 m ?n
2

7 ? 2 2 ?m 2 ? 2 ?m ? n ? 2 ? ? 由? ，解得 ? 3 2 ?m 2 ? 4 ? 4 n 2 ?n ? 2 ? ? 3 ?
所以存在点 M 满足题意，点 M 的坐标为

????? 13 分

( 2,

6 6 6 6 ), ( 2 ,? ), (? 2 , )或(? 2 ,? ) 2 2 2 2
8 7
?????14 分

此时 ?OAB 的面积为