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专题1.1 集合的概念及其基本运算(教学案)-2014年高考数学(理)一轮复习精品资料(原卷版)


【2014 考纲解读】 1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系. 2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题. 3.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. 4.在具体情境中,了解全集与空集的含义. 5.理解两个集合并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集. 6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集. 7.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算. 2014 高考对此部分内容考查的热点与命题 趋势为: 1.集合的 概念与运算是历年来必考内容之一,题型主要以选择填空题为主,单纯的集合问题以解 答题的形式出现的机率不大,多数与函数的定义域、值域、不等式的解法相联系,解题时要注意利用 韦恩图、数轴、函数图象相结合.另外,集合新定义信息题是近几年命题的热点,注意此种类型. 2.2014 年的高考将会继续保持稳定,坚持考查集合运算,命题形式会更加灵活、新颖. 【重点知识梳理】 一、集合有关概念 1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个总体,这个总体就叫集合,其中每一个 对象叫元素。 2、集合中元素的三个特性: 确定性、互异性、无序性。 (1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集 合的元素,这叫集合元素的确定性。 (2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算 一个元素,这叫集合元素的互异性。 (3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定 两个集合是否一样,仅需比较它们的元素 是否一样,不需考查排列顺序是否一样,这叫集合元素的无序性。 3、元素与集合之间只能用“ ? ”或“ ? ”符号连接。

4、集合的表示:常见的有四种方法。 (1)自然语言描述法:用自然的文字语言描述。如:英才中学的所有团员组成一个集合。 (2)列举法:把集合中的元素一一列举出来,元素之间用逗号隔开,然后用一个花括号全部括 上。如: {0,1, 2,3} (3)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在花括号内表示集合的方法。它的一般 格式为 {x | P( x)} ,“|”前是集合 元素的一般形式,“|”后是集合元素的公共属性。如

{x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0} 、 {x | y ? x 2 ? 2 x ? 3} 、 { y | y ? x 2 ? 2 x ? 3} 、 {( x, y ) | y ? x 2 ? 2 x ? 3} 。
(4)Venn 图法:如:

3 1 7
5、常见的特殊集合:(1)非负整数集(即自然数集)N(包括零)(2)正整 数集 N*或 N ? (3)整数集 Z (包括负整数、零和正整数) (4) 有理数集 Q (5)实数集 R

5

6、集合的分类: (1)有限集:含有有限个元素的集合。(2)无限集:含有无限个元素的集 合。(3)空集 :不含任何元素的集合 二、集合间的基本关系 1、子集 对于两个集合 A 与 B ,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们就说集合 A 包含于集合 B ,或集合 B 包含集合 A ,也说集合 A 是集合 B 的子集。记为 A ? B 或 B ? A 。 2 、真子集 对于两个集合 A 与 B ,如果 A ? B ,且集合 B 中至少有一个元素不属于集合 A ,则称集 合 A 是集合 B 的真子集。记为 A ? B 。 3 、空集 不含任何 元素的集合叫做空集,记为 Φ。规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合 的真子集。 4、集合之间只能用“ ? ”“ ? ”“=”等连接,不能用“ ? ”或“ ? ”符号连接。 三、集合的运算

1.交集的定义:一般地,由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合叫做 A、B 的交集. 记 作 A∩B(读作”A 交 B”),即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B}。 2、并集的定义:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做 A、B 的并集。记作:A∪B(读作”A 并 B”),即 A∪B={x|x∈A,或 x∈B}。 3、交集与并集的性质: A∩A = A A∩Φ= Φ A∩B = B∩A,A∪A = A A∪Φ= A A∪B = B∪A.

4、全集与补集 (1)全集:如果集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。 通常用 U 来表示。 (2) 补集:设 U 是一个集合,A 是 U 的一个子集,由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合,叫 做 U 中子集 A 的补集。 记作: CU A ? {x | x ?U 且x ? A} 四、温馨提示 1、 集合的问题, 一般按照读懂→化简→解答的步骤解答。 如: {x | y ? f ( x)} 表示函数 y ? f ( x) 的定义域,而 { y | y ? f ( x)} 表示函数的值域, {( x, y) | f ( x, y) ? 0} 表示方程 f ( x, y) ? 0 对应的 曲线。如果是点集,要知道是什么样的点组成的集合,如果是数集,要知道是什么样的数组成的集 合。 2、涉及集合(子集、真子集和相等)关系和(交、并、补)运算,不要遗忘了空集这个特殊的 集合。空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。[来源:Z+xx+k.Com] 3、集合的运算要注意灵活运用韦恩图和数轴,一般情况下,有限集的运算用维恩图分析,无 限集的运算用数轴,这实际上是数形结合的思想的具体运用。 4、集合的运算注意端点的取等问题。最好是直接代入原题检验。 5、 n 个元素的集合的子集个数为 2 个。 n 个元素的集合的真子集个数为 2 ? 1 个。减去
n n

的 “1” 是集合本身,不是减去的空集。 6 、集合中的元素具有确定性、互异性和无序性三个特征,尤其是确定性和互异性。在解 题中,要注意把握与运用,例如在解答含有参数问题时,千万别忘了检验,否则很可能会因 为不满足 “ 互异性 ” 而导致结论错误。 7、集合在高考中涉及的综合性解答题不多,因此不宜要求过高。

【高频考点突破】 考点一 集合的基本概念的理解 例 1、 已知 A={a+2, (a+1)2, a2+3a+3}, 若 1∈A, 则实数 a 构成的集合 B 的元素个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 例 2.已知集合 A={x|x2+mx+4=0}为空集,则实数 m 的取值范围是( A.(-4,4) B.[-4,4] C.(-2,2) D.[-2,2] ) )

【变式探究】下列结论不正确的是( A. 2∈{x|x=a+b 2,a,b∈Z} B. 3∈{x|x= 2+a 3,a∈R} C.i∈{x|x=a+bi,a,b∈C} D.1+i? {x|x=a+bi,a,b∈C}

)

(2)已知集合 M={4-a, log2a2}, 若 2∈M, 则由实数 a 构成的集合 N 的子集的个数是________. 考点二 集合间基本关系的认识 例 1. 确的是( (1)设集合 M={x|x=5-4a+a2,a∈R},N={y|y=4a2+4a+2,a∈R},则下列关系正 ) B.N?M D.M?N

A.M=N C.M?N

例 2.已知集合 A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件 A?C?B 的集 合 C 的个数为( A.1 C.3 ) B.2 D.4 )

【变式探究】 (1)数集 X={x|x=(2n+1)π, n∈Z}与 Y={y|y=(4k±1)π, k∈Z}之间的关系是( A.X Y B.Y D.X≠Y X

C.X=Y

(2)设 U={1,2,3,4},M={x∈U|x2-5x+p=0},若? UM={2,3},则实数 p 的值是( A.-4 B.4

)

C.-6

D.6

考点三 集合的基本运算的求解 例 1.若全集 U={x∈R|x2≤4},则集合 A={x∈R||x+1|≤1}的补集? UA 为( A.{x∈R|0<x<2} C.{x∈R|0<x≤2} B.{x∈R|0≤x<2} D.{x∈R|0≤x≤2} )

例 2.已知全集 U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合 A={0,1,3,5,8},集合 B={2, 4,5,6,8},则(? UA)∩(? UB)=( A.{5,8} B.{7,9} ) C.{0,1,3} D.{2,4,6}

【点评】集合有三种运算关系:交集、并集和补集,进行运算时,先将集合化简,再用数轴、 图象或 Venn 图求得运算的结果. 归纳总结 ①一般来讲,集合中的元素是离散的,则用 Venn 图表示;集合中的元素是连续的实 数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况. ②运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用,灵活使用这些关系,会使运算简化.如下面的 五个关系是等价的:A?B,A∩B=A,A∪B=B,?UA??UB,A∩(?UB)=?. 【变式探究 1】全集 U=R,集合 A={x|x2-4≤0},集合 B={x|2x 1>1},则 A∩B=(


)

A.[1,2] B.(1,2]

C.[1,2) D.(-∞,2] )

【变式探究 2】若全集 U={a,b,c,d,e,f},A={b,d},B={a,c},则集合{e,f}=( A.A∪B B.A∩B 【经典考题精析】 (2013· 新课标 I 理)1、已知集合 A={x|x2-2x>0} ,B={x|- 5<x< 5}, 则 A、A∩B=? ( ) B、A ? B=R C、B ? A D、A ? B C.(?UA)∩(?UB) D.(?UA)∪(?UB)

(2013· 新课标Ⅱ理) (1)已知集合 M={x|(x-1)2 < 4,x∈R} ,N={-1,0,1,2,3} ,则 M∩N= ( ) (A) {0,1,2} (C){-1,0,2,3} (B) {-1,0,1,2} (D){0,1,2,3}
2

(2013· 浙江理)2.设集合 S ? {x | x ? ?2}, T ? {x | x ? 3x ? 4 ? 0} ,则 (CR S ) ? T ? (



(?2,1]

B. (??,?4]

C.

(??,1]

D. [1,??) )

(2013· 天津理)1. 已知集合 A = {x∈R| |x|≤2}, A = {x∈R| x≤1}, 则 A ? B ? ( (A) (??,2] (B) [1,2] (C) [-2,2] (D) [-2,1]

(2013· 山东理)2.设集合 A ? ?0,1, 2? ,则集合 B ? x ? y x ? A, y ? A 中元素的个数是 A. 1 B. 3 C. 5 D. 9

?

?

(2013· 辽宁理)(2)已知集合 A ? ? x | 0 ? log 4 x ? 1? , B ? ? x | x ? 2?,则A ? B ?

1? A. ? 0,

2? B. ? 0,

C. ?1, 2 ?

2? D. ?1,

(2013· 广东理)8.设整数 n ? 4 ,集合

X ? ?1, 2,3, ?, n?

.令集合

S ? ?? x, y, z ? | x, y, z ? X , 且三条件x ? y ? z , y ? z ? x, z ? x ? y恰有一个成立?
若 A. C.

? x, y, z ? 和 ? z, w, x ? 都在 S 中,则下列选项正确的是( ? y , z , w ? ? S , ? x, y , w ? ? S ? y , z , w ? ? S , ? x, y , w ? ? S
B. D.

)

? y , z , w ? ? S , ? x, y , w ? ? S ? y , z , w ? ? S , ? x, y , w ? ? S

(2013· 大纲理)1.设集合 A={1,2,3} , B={4, 5} , M ={x|x=a+b,a ? A,b ? B} ,则 M 中元素 的个数为( A.3 ) B.4 C.5 D.6 ( )

(2013· 北京理)1.已知集合 A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则 A∩B= A.{0} B.{-1,0} C.{0,1} D.{-1,0,1}

(2013· 广东理)1.设集合

M ? ? x | x 2 ? 2 x ? 0, x ? R? N ? ? x | x 2 ? 2 x ? 0, x ? R?
,

,则

M ?N ?(
A.

) B.

?0?

?0, 2?

C.

??2, 0?
2

D.

??2, 0, 2?

1.【2012 高考真题浙江理 1】设集合 A={x|1<x<4},集合 B ={x| x -2x-3≤0}, 则 A∩(CRB)= ( ) A .(1,4) B .(3,4) C.(1,3) D .(1,2)∪(3,4)

2.【2012 高考真题新课标理 1】已知集合

A ? {1, 2,3, 4,5} , B ? {( x, y ) x ? A, y ? A, x ? y ? A} ;,则 B 中所含元素的个数为( ( A) 3
( D) ??
3.【2012 高考真题陕西理 1】集合 M ? {x | lg x ? 0} , N ? {x | x ? 4} ,则 M ? N ? (
2



( B) 6

(C ) ?



A. (1, 2)

B. [1, 2)

C. (1, 2]

D. [1, 2]

4.【2012 高考真题山东理 2】已知全集 U ? ?0,1, 2,3, 4? ,集合 A ? ?1, 2,3? , B ? ?2, 4? ,则

CU A ? B 为
(A) ?1, 2, 4? (B) ?2, 3, 4? (C) ?0, 2, 4? (D) ?0, 2,3, 4?

5.【2012 高考真题辽宁理 1】已知全集 U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ,集合 A={0,1,3,5,8} ,集合 B= {2,4,5,6,8} ,则 (CU A) ? (CU B) 为 (A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6}

6.【2012 高考真题江西理 1】若集合 A={-1,1} ,B={0,2} ,则集合{z︱z=x+y,x∈A,y∈B} 中的元素的个数为 A.5 B.4 C.3 D.2

7.【2012 高考真题湖南理 1】设集合 M={-1,0,1},N={x|x2≤x},则 M∩N= A.{0} B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0,0}

8【2012 高考真题广东理 2】设集合 U={1,2,3,4,5,6}, M={1,2,4 },则 CuM= A.U B. {1,3,5} C.{3,5,6} D. {2,4,6}

9.【2012 高考真题北京理 1】已知集合 A={x∈R|3x+2>0} B={x∈R|(x+1)(x-3)>0} 则 A∩B= A (- ? ,-1)B (-1,-

2 2 ) C (- ,3)D (3,+ ? ) 3 3
m },B={1,m} ,A ? B=A, 则 m=
D 1或3

10.【2012 高考真题全国卷理 2】已知集合 A={1.3. A 0或 3 B 0或3 C 1或 3

11.【2012 高考真题四川理 13】设全集 U ? {a, b, c, d } ,集合 A ? {a, b} , B ? {b, c, d} ,则

CU A ? CU B ___________。
12.【2012 高考真题上海理 2】若集合 A ? {x | 2 x ? 1 ? 0} , B ? {x || x ? 1 |? 2} ,则

A? B ?



13.【2012 高考真题天津理 11】已知集合 A ? {x ? R | x ? 2 ? 3}, 集合

B ? {x ? R | ( x ? m)( x ? 2) ? 0}, 且 A ? B ? (?1, n), 则 m =__________,n = __________.
1.(2011 年高考北京卷理科 1)已知集合 P={x︱x2≤1},M={a}.若 P∪M=P,则 a 的取值范 围是 A.(-∞, -1] B.[1, +∞) C.[-1,1] D.(-∞,-1] ∪[1,+∞)

2.(2011 年高考福建卷理科 1)i 是虚数单位,若集合 S= ?1.0.1 A. i ? S B. i ? S
2

?

? ,则

C. i ? S
3

D.

2 ?S i

3.(2011 年高考辽宁卷理科 2)已知 M,N 为集合 I 的非空真子集,且 M,N 不相等,若

N ? ? C1M ? ? ?, 则M ? N ? ( )
(A)M (B) N (C)I (D) ?

4.(2011 年高考广东卷理科 2)已知集合 A={ (x,y)|x,y 为实数,且 x2+y 2= l},B={(x,y) |x, y 为实数,且 y=x}, 则 A ∩ B 的元素个数为( A .0
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]



B. 1

C.2

D.3

5.(2011 年高考天津卷理科 13)已知集合

1 ? ? 则集合 A ? B =________ A ? ? x ? R | x ? 3 ? x ? 4 ? 9? , B ? ? x ? R | x ? 4t ? ? 6, t ? (0, ??) ? , t ? ?

? x | ?2 ? x ? 5? B ? ? x ? R | x ? ?2? ;由绝对值的几何意义可得: A ? ? x ? R | ?4 ? x ? 5? ,所以
A ? B = ? x | ?2 ? x ? 5?
6.(2011 年高考江苏卷 1)已知集合 A ? {?1,1, 2, 4}, B ? {?1,0, 2}, 则 A ? B ? _______,

[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

A ? B ? {?1,1, 2, 4} ?{?1,0, 2} ?

[来源:学科网 ZXXK]

7.(2011 年高考江苏卷 14)设集合 A ? {( x, y ) |

m ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? m 2 , x, y ? R} , 2

B ? {( x, y) | 2m ? x ? y ? 2m ? 1, x, y ? R} , 若 A ? B ? ? , 则 实数 m 的取值范围是
______________ 【随堂巩固】 1. 已知集合 A={1,3, m},B={1,m},A∪B=A,则 m=( A.0 或 3 B.0 或 3 C.1 或 3 D.1 或 3 )

2. 已知集合 A=[2,log2t],集合 B={x|x2-14x+24≤0},x,t∈R,且 A?B. (1)对于区间[a,b],定义此区间的“长度”为 b-a,若 A 的区间“长度”为 3,试求 t 的值; (2)某个函数 f(x)的值域是 B,且 f(x)∈A 的概率不小于 0.6,试确定 t 的取值范围. 3. 设 S 是实数集 R 的非空子集, 如果?a, b∈S, 有 a+b∈S, a-b∈S, 则称 S 是一个“和谐集”. 下 面命题为假命题 的是( ... )

A.存在有限集 S,S 是一个“和谐集” B.对任意无理数 a,集合 S={x|x=ka,k∈Z}都是“和谐集” C.若 S1≠S2,且 S1,S2 均是“和谐集”,则 S1∩S2≠? D.对任意两个“和谐集”S1,S2,若 S1≠R,S2≠R,则 S1∪S2=R 4.在整数集 Z 中, 被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类”, 记为[k], 即[k]={5n+k|n∈Z}, k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论:①2 011∈[1];②-3∈[3]; ③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]; ④“整数 a,b 属于同一?类?”的充要条件是“a-b∈[0]”. 其中,正确结论的个数是( A.1 B .2 C.3 ) D.4 )

5.设集合 A ? {x | x ? A. x ? A

1 1 9 k ? , k ? Z } ,若 x ? ,则下列关系正确的是( 2 2 4
C. {x} ? A D. {x} ? A

B. x ? A

6.设集合 P={m|-1<m≤0 } ,Q={m∈R|mx2+4mx-4<0 对任意实数 x 恒成立 } ,则下列关系中 成立的是( A.P Q ) B.Q P C.P=Q D.P∩Q=Q )

7.已知集合 A={1,2,3,4},那么 A 的真子集的个数是( A.15 B.16 C.3 D.4

3 2 8.已知全集 S ? {1,3, x ? x ? 2 x} ,A={1, 2 x ? 1 }如果 C S A ? {0} ,则这样的实数 x 是否存

在?若存在,求出 x ,若不存在,说明理由。 9.已知集合 A ? {m, m ? d , m ? 2d }, B ? {m, mq, mq } , 其中m ? 0 , 且A ? B ,求 q 的值。
2

10.已知集合 M={x|x<3 } ,N={x|log2x>1},则 M∩N=( A. ? B.{x|0<x<3 } C.{x|1<x<3 }

) D.{x|2<x<3 }

2 B 11. 设集合 A ? x x ? 2 ? 2, x ? R ,B ? y | y ? ? x , ?1 ? x ? 2 , 则 CR ?A ?

?

?

?

?

( ? 等于



A. R

B. x x ? R, x ? 0

?

?

C. ?0?

D. ? )

12.已知全集 I=N*,集合 A={x|x=2n,n∈N*},B={x|x=4n,n∈N},则( A.I=A∪B C.I=A∪( C I B) B.I=( C I A)∪B D.I=( C I A)∪( C I B)
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13.向 50 名学生调查对 A、B 两事件的态度,有如下结果 赞成 A 的人数是全体的五分之三,
特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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其余的不赞成,赞成 B 的比赞成 A 的多 3 人,其余的不赞成;另外,对 A、B 都不赞成的学生数比 对 A、 B 都赞成的学生数的三分之一多 1 人。 问对 A、 B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人?

14.求 1 到 200 这 200 个数中既不是 2 的倍数,又不是 3 的倍数,也不是 5 的倍数的自然数共 有多少个? 15.设集合 A={x||x-a|<2},B={x| 的取值范围。 16.已知{an}是等差数列,d 为公差且不为 0,a1 和 d 均为实数,它的 前 n 项和记作 Sn,设集合 A={(an,

2x ?1 <1},若 A ? B,求实数 a x?2

5的倍数 2的倍数 3的倍数

Sn 1 2 2 )|n∈N*},B={(x,y)| x -y =1,x,y∈R}。 4 n

试问下列结论是否正确,如果正确,请给予证明;如果不正确,请举例说明:

(1) 若以集合 A 中的元素作为点的坐标, 则这些点都在同一条直线上; (2)A∩B 至多有一个元素; (3)当 a1≠0 时,一定有 A∩B≠ ? 。 17. 七名学生排成一排, 甲不站在最左端和最右端的两个位置之一, 乙、 丙都不能站在正中间的位置,则有多少不同的排法? 18.A 是由定义在 [ 2,4] 上且满足如下条件的函数 ? ( x) 组成的集合:①对任意 x ? [1,2] ,都有

? (2 x) ? (1,2) ; ②存在常数 L(0 ? L ? 1) ,使得对任意的 x1 , x2 ? [1,2] ,都有
| ? (2 x1 ) ? ? (2 x2 ) |? L | x1 ? x2 |

(1)设 ? ( x) ? 3 1 ? x , x ? [2,4] ,证明: ? ( x) ? A (2)设 ? ( x) ? A ,如果存在 x0 ? (1,2) ,使得 x0 ? ? (2 x0 ) ,那么这样的 x 0 是唯一的; (3)设 ? ( x) ? A ,任取 xl ? (1,2) ,令 xn?1 ? ? (2 xn ), n ? 1,2,? ? ?, 证明:给定正整数 k,对任意的正 整数 p,成立不等式 | x k ?l ? x k |?

Lk ?1 | x2 ? x1 | 。 1? L


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