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3.2.2空间向量与垂直关系


3.2.2 空间向量与垂直关系(高二理普导学案)
命题人:李玉芹 时间:2010 年 12 月 13 日

变式:1、在棱长为 a 的正方体 OABC ? O1 A1 B1C1 中, E 、 F 分别是 AB 、 BC 上的动点,且

AE ? BF. 求证: A1 F ? C1E.

一、教学目标
进一步理解直线的方向向量和平面的法向量,并能用向量判断和证明线线、 线面、面面垂直关系.

二、教学重点难点:利用向量并判断和证明线线、线面、面面垂直关系. 三、知识导学:空间垂直关系的向量表示
1)线线垂直 设直线 l 的方向向量为 a ? (a1 , a2 , a3 ) ,直线 m 的方向向量为 b ? (b1 , b2 , b3 ) 则 l ⊥ m ? 2)线面垂直 ※ 类型之二:证明线面垂直

?

?

例 2、 如图所示, 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,O 为 AC 与 BD 的交点,

? ? 设直线 l 的方向向量是 a ? (a1 , b1 , c1 ) ,平面 ? 的法向量为 u ? (a2 , b2 , c2 ) ,则 l ⊥ ? ?
3)面面垂直

G 为 CC1 的中点,求证: OA1 ⊥平面 GBD .
【分析】由题目可获取以下主要信息: ① ABCD ? A1 B1C1 D1 为正方体;② O 为 AC 与 BD 的交点, G 为 CC1 的中点. 解答本题可证明 A1O 与平面 GBD 内两个不共线向量垂直或建系后,证明 A1O 与平面 GBD 的法 向量平行. 【证明】 :如图所示,取 D 为坐标原点, DA 、 DC 、 DD1 所在直线为

? ? 若平面 ? 的法向量 u ? (a1 , b1 , c1 ) ,平面 ? 的法向量 v ? (a2 , b2 , c2 ) ,则 ? ⊥ ? ?

????

????

四、例题解析



类型之一:证明线线垂直

例 1、 已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的各棱长都为 1,M 是底面上 BC 边的中点,

1 N 是侧棱 CC1 上的点,且 CN ? CC1 .求证: AB1 ? MN . 4
证明:设 AB 中点为 O ,作 OO1 ∥ AA1 . 以 O 为坐标原点, OB 为 x 轴, OC 为 y 轴, OO1 为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已 知得 A(?

x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标.设正方体棱长为 2,
则 O(1,1, 0), A1 (2, 0, 2), G(0, 2,1), B(2, 2, 0), D(0, 0, 0),

???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ? OA1 ? (1, ?1, 2), OB ? (1,1, 0), BG ? (?2, 0,1), 而? OA1 ? ? 1 ? 1 ? 0 ? 0, OB ???? ??? ? ???? ??? ???? ??? ? ? ? OA1 ?BG ? ?2 ? 0 ? 2 ? 0. ? OA1 ? OB, OA1 ? BG, 即? OA1 ? OB, OA1 ? BG,
而 OB ? BG ? B, 且 A1O ? 面 GBD ,? OA1 ? 面GBD. 【点评】向量法证明线面平行的关键是熟练掌握证明线面垂直的向量方法,准确求解各点坐标或 用基向量表示所需向量. 变式:2、如图所示,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E , F 分别是 BB , D B 的中点.求证 1 1 1

1 1 3 3 1 1 , 0, 0), B( , 0, 0), C (0, , 0), N (0, , ), B1 ( , 0,1), 2 2 2 2 4 2 (1, 0 , 1) ,

???? ? 1 3 1 3 1 ???? , ), 1 ? AB , 0). ? MN ? (? , ? M 为 BC 中点, M ( , 4 4 4 4 4 ???? ???? ? ???? ???? ? 1 1 ? MN ?AB1 ? ? ? 0 ? ? 0. ? MN ? AB1 ? AB1 ? MN . 4 4

EF ? 面 B AC . 1

【点评】将线线垂直问题转化为向量垂直问题后,注意选择其向量法还是坐标法,熟练掌握证明 线线垂直的向量方法是关键.
-

-1-(3.2.2)

※ 类型之三:证明面面垂直 例 3、 (2008 年陕西高考改编)三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如图所示,截 面为 A1 B1C1 , ?BAC ? 90?, AA1 ? 平面 ABC. A1 A ? 3, AB ? AC ? 2 A1C1 ? 2, D 为 BC 中点. 证明:平面 A1 AD ? 平面BCC1B1. 【分析】由题目可获取以下主要信息: ①由所给几何体的性质知易于建系;②证明面面垂直.



当堂测验: ?? ? ? ? ? ? 1.若向量 m 同时垂直于向量 a 和 b ,向量 n ? ? a ? ? b(? , ? ? R, ? , ? ? 0) ,则(
A. m ∥ n



??

?

B. m ⊥ n

??

?

C. m 与 n 既不平行也不垂直

??

?

D.以上三种均有可能

???? ???? ??? ? 解答本题可证明 BC 垂直于平面 A1 AD 内的两不共线向量 AA1 和 AD 或求
两平面的法向量,再证明两个法向量互相垂直. 【证明】证法一:如图所示,建立空间直角坐标系, 则 A(0, 0, 0), B(2, 0, 0), C (0, 2, 0), A1 (0, 0, 3), C1 (0,1, 3) , ∵ D 为 BC 的中点,∴ D 点坐标为 (1,1,0), ∴ AD ? (1,1, 0), AA1 ? (0, 0, 3), BC ? ( ?2, 2, 0).

2.已知 a ? (sin ? , cos ? , 2), b ? (cos ? ,sin ? , A. ?

?

?

? ? 2 ) ,且 a ⊥ b ,则 ? 等于( 2



?
4

B.

? 4
?

C. 2k? ?

?
2

(k ? Z )
?

D. k? ?

?
4

(k ? Z )


3.若直线 l 的方向向量为 a ? (?1, 0, ?2) ,则平面 ? 的法向量为 u ? (4, 0,8) ,则(

????

????

??? ?

A. l ∥ ?

B. l ⊥ ?

C. l ? ?

D. l 与 ? 斜交

???? ??? ? ???? ??? ? ∵ AD?BC ? 1? (?2) ? 1? 2 ? 0 ? 0 ? 0, AA1 ?BC ? 0 ? (?2) ? 0 ? 2 ? 3 ? 0 ? 0, ???? ??? ???? ??? ? ? ∴ AD ? BC , AA1 ? BC , ∴ BC ? AD, BC ? AA1 , 又AA1 ? AD ? A, ∴ BC ? 平面A1 AD,
又 BC ? 平面BCC1 B1 , ∴平面 A1 AD ? 平面BCC1B1 . 证法二:同证法一建系后,得 AA1 ? (0, 0, 3), AD ? (1,1, 0), BC ? (?2, 2, 0), CC1 ? (0, ?1, 3). 设平面 A1 AD 的法向量 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ), 平面 BCC1 B1 的法向量 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ).

, ( , 3) 且 BP ? 平面 ABC ,则 y 4.已知 AB ? (1,5, ?2), BC ? (3,1, z ) ,若 AB ? BC BP ? x ? 1 , ?
实数 x, y, z 分别为( A. ) B.

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

33 15 ,? ,4 7 7

40 15 ,? ,4 7 7

C.

40 , ?2, 4 7

D. 4,

40 , ?15 7

5.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,若 E 为 A1C1 的中点,则直线 CE 与直线 BD 的位置关系是

????

????

??? ? ?? ?

???? ?

6.设 l1 的方向向量为 a ? (1, 2, ?2) , l 2 的方向向量为 b ? (?2,3, m) ,若 l1 ⊥ l 2 ,则 m ?

?

?

??

BD BD 7.在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 1 交平面 ACB1 于 E 点, 求证: 1 ⊥平面 ACB1 .

?? ???? ?? ?n1 ?AA1 ? 0 ? 3 z1 ? 0 ? ? . 令 y1 ? ?1 ,则 x2 ? 1, z1 ? 0,? n1 ? (1, ?1, 0). 由 ? ?? ???? ,得 ? ? x1 ? y1 ? 0 ? ?n1 ?AD ? 0 ? ?? ??? ? ? ? ?n2 ?BC ? 0 ? ?2 x2 ? 2 y2 ? 0 3 ?? 3 ? ? . 令 y2 ? 1 ,则 x2 ? 1, z2 ? ,? n2 ? (1,1, ). 由 ? ?? ???? ,得 ? ? ? 3 3 ? ? y2 ? 3 z 2 ? 0 ? ?n2 ? 1 ? 0 ? CC
n ∵ n1 ? 2 ? 1 ? 1 ? 0 ? 0,? n1 ? n2 ?? ?? ? ?? ?? ?
∴平面 A1 AD ? 平面BCC1B1 .

AB 8.如图所示, 在直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 底面 ABCD 是矩形, ? 2, AD ? 1, AA1 ? 3, M
是 BC 的中点.在 DD1 上是否存在一点 N , 使MN ? DC1 ?并说明理由.

【点评】向量法证明线面位置关系的优越性体现在不必考虑图形的位置关系,恰当建系中用基向 量表示后,只需经过向量运算,就可得到所要证明的结果,思路方法很“公式化”. 变式 3、 在正棱锥 P ? ABC 中, 三条侧棱两两互相垂直, 是 ?ABC 的重心,E 、F 分别为 BC 、 G

PB 上的点,且 BE : EC ? PF : FB ? 1: 2. 求证:平面 GEF ? 平面PBC.
-

-2-(3.2.2)


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