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2014届高三高考数学解题方法专题复习学案:二次函数在闭区间上的最值问题

二次函数在闭区间上的最值问题 二次函数在闭区间上的最值问题, 可以归纳为以下几类: 一、 抛物线开口方向定、 对称轴定、 区间定 例 1 函数 f ( x) ? cos x ? 3cos x ? 2 的最小值为 2 . (答案:0) 二、抛物线开口方向定、对称轴定、区间定 例 2 已知 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 ,当 x ? [t,t ? 1](t ? R ) 时,求 f ( x) 的最小值与最大值. 2 解:由已知可求对称轴为 x ? 1 . (1)当 t ? 1 时, f ( x) 在 [t,t ? 1] 上单调递增, ? f ( x) min ? f (t ) ? t 2 ? 2t ? 3,f ( x) max ? f (t ? 1) ? t 2 ? 2 . (2)当 t ≤ 1 ≤ t ? 1 ,即 0 ≤ t ≤ 1 时, f ( x) min ? f (1) ? 2 . 1 根据对称性, 当 0 ≤ t ≤ 时,f ( x) max ? f (t ) ? t 2 ? 2t ? 3 . f (t ? 1) ? f (t ) ? 2t ? 1 , 2 1 当 ? t ≤ 1 时, f ( x) max ? f (t ? 1) ? t 2 ? 2 . 2 (3)当 t ? 1 ? 1 即 t ? 0 时, f ( x) 在 [t,t ? 1] 上单调递减, ? f ( x) min ? f (t ? 1) ? t 2 ? 2 , f ( x) max ? f (t ) ? t 2 ? 2t ? 3 . 三、抛物线开口方向定、对称轴变、区间定 例 3 f ( x) ? ? x ? 2ax ? 1 ? a 在 [0, 1] 上有最大值 2,求 a 的值. 2 [] 解: f ( x) ? ?( x ? a ) ? a ? a ? 1 . 2 2 (1)当 a ? 0 时, f ( x) max ? f (0) ? 2, 得 a ? ?1 . (2)当 0 ≤ a ≤ 1 时, f ( x) max ? f (a ) ? 2 ,解得 a ? 无解. [] 1? 5 ? [0, 1] ,故该方程在 [0, 1] 上 2 (3)当 a ? 1 时, f ( x) max ? f (1) ? 2 ,得 a ? 2 . 综上: a ? ?1 或 a ? 2 . 四、抛物线开口方向变、对称轴定、区间定 2 [] 例 4 f ( x) ? ax ? 2ax ? 1 在 [?3, 2] 上有最大值 4,求 a 的值(分 a ? 0 和 a ? 0 两种情况, 解略) . 例 5 已知 f ( x) ? ax ? (2a ? 1) x ? 3 在 ? ? , 2 ? 上的最大值为 1,求实数 a 的值. 2 ? 3 ? ? 2 ? [] 第 1 页 共 2 页 解: f ( x) 的最大值只能在 x1 ? ? (1)令 f (? ) ? 1 ,解得 a ? ? 可能在 x1 处取得. (a ? ? 3 1 ? 2a ,或 x2 ? 2 ,或 x3 ? 处取得, 2 2a 3 2 10 1 ? 2a 23 ? 3 ? ,此时 x0 ? ? ? ? ?? , 2 .故 y 的最大值不 3 2a 20 ? 2 ? ? 10 ,抛物线开口向下) 3 1 ? 2a 1 3 (2)令 f (2) ? 1 ,解得 a ? ,此时 x0 ? ?? ? 2a 3 4 3 a ? ,符合题意. 4 (3) 令f? 3 ? ?2 2 .故 f ( x) max ? f (2) ,得 2 ?3 ? 2 2 1 ? 2a ? 3 ? ? 1 ? 2a ? 解得 a ? . 根据题意必须 a ? 0 且 x0 ? ? ?? , 2 . ? ? 1, 2 2a ? 2a ? ? 2 ? ? 3? 2 2 ? 3 ? 时,才有 x0 ? ? ? , 2 . 2 ? 2 ? ? 经经检验,只有 a ? ? [] 综上有 a ? 3? 2 2 3 ,或 a ? ? . 2 4 第 2 页 共 2 页