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2007级数学分析第1学期期终考试2008-01-16


上 海 交 通 大 学 试 卷
( 2007 至 20078 学年 第 1 学期 2008 年 2 月 16 日) 班级_______________________ 学号______________________ 姓名 课程名称 《数学分析》 类电、软院用) (C 成绩

A卷

一、填空题(每题 4 分,共 24 分)

π ? arctan x 2 1.极限 lim = x ??? 3 sin x p p 1 ? 2 ??? np 2.极限 lim = n ?? n p ?1
3.积分 ? [ x2008 (ex ? e? x ) ? 2sin 2 x]dx =
?π π

.

(其中 p ? 0 ). . .

4.

d x 2 x3 ? t 3 t e dt = dx ?0
x 0

5.设曲线方程为 y ? ?

sin t dt , 0 ? x ? π ,则曲线的长度为
.

.

6.常微分方程 y? ? y ? 1 的通解是 二、单项选择题(每题 3 分,共 12 分)

1.设 f ( x) ? ( x2 ? a2 ) g ( x) ,其中 g ( x) 在 a 点连续,则 f ?( a ) =( (A) [2 xg ( x) ? ( x 2 ? a 2 ) g ?( x)] x ? a ; (C) 0 ; 2.设 ? xf ( x) dx ? arcsin x ? C ,则 ? (B) 2ag (a) ; (D)不存在.
1 dx =( f ( x)





(A) 1 ? x2 ? C ; (B) x 1 ? x2 ? C ; 3 3 1 1 (C) ? (1 ? x 2 ) 2 ? C ; (D) ? (1 ? x 2 ) 2 ? C . 2 3 3.设 F '( x) ? f ( x), x ?[a, b] .则下列结论正确的是( ) (A) ? f ( x)dx ? F ( x) ? C ;
x a

(B) f ( x) 在 [a, b] 上必 Riemann 可积;
b a

(C) F ( x) ? ? f (t )dx ? C , ?x ? [a, b] ; (D) ? f ( x)dx ? F (b) ? F (a) . 4.考虑下列断语( I )
b b a a

设 f 、g ? R[a, b] .若 f ( x) ? g ( x) (等号仅在有限个点取得) ,则 ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx ;
b b a a

II 设 f 、g ? R[a, b] .若 f ( x) ? g ( x) ,则 ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx . (A)命题 I、命题 II 都正确; (C)命题 I 不正确,命题 II 正确;
总 6 页 第 1 页(管院用)

(B) 命题 I 正确,命题 II 不正确; (D) 命题 I、命题 II 都不正确.

题 得

号 分















总 分

批阅人

三、计算下列各题(每题 6 分,共 24 分). 1. ? arc cot x dx .

2.设 (0, ??) 上的连续函数 f ( x) 满足 f ( x) ? 2ln x ? x 2 ?

e

1

f ( x) dx ,求 f ( x) . x

3. ?

? 2

x2 x2 ?1

?2

dx .

总 6 页 第 2 页(管院用)

4. 求方程 yy?? ? y?2 ? 0 满足 y(1) ? 1, y?(1) ? 1 的特解.

( x ? 2) 2 x2 ? 2 x 2 四、(10 分)全面讨论函数 y ? 的性态(已知 y? ? ) ,并列表作 , y?? ? 2 x ?1 ( x ? 1) ( x ? 1)3 图.(此页用于分析讨论和列表,图形画在下页空白处)

总 6 页 第 3 页(管院用)

五、(12 分)设直线 y ? ax 与抛物线 y ? x2 所围成的图形面积为 S1 ,他们与直线 x ? 1 所围 成图形面积为 S2 ,且 0 ? a ? 1 , (1)试确定 a 值,使 S1 ? S2 达到最小,并求出最小值; (2)求该最小值所对应的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积.

总 6 页 第 4 页(管院用)

六、(8 分)设 f ( x) 在 [a, b] 上二阶可导, f ?(a) ? 0, f ?(b) ? 0, f (a) ? f (b) .证明: (1) f ?( x ) 在 ( a, b) 内至少存在两个零点; (2)在 ( a, b) 内至少存在一点 ? 满足 f ??(? )? f (t )dt ? f ?(? ) f (? ) ? 0 .
a

?

总 6 页 第 5 页(管院用)

七、 (10 分)设 f ( x) 在 [a, b] 上有定义,且 ?x? ?[a, b] , lim f ( x ) ? 0 .证明:
x ? x?

(1)对于 ?? ? 0 , f ( x) 在 [a, b] 上至多有有限个点的函数绝对值大于 (2)证明 f ( x) ? R[a, b] ; (3)计算 ? f ( x)dx 的值.
a b

? ; 2

总 6 页 第 6 页(管院用)

上 海 交 通 大 学 试 卷
( 2007 至 2008 学年 第 1 学期 2008 年 1 月 16 日) 班级_______________________ 学号______________________ 姓名 课程名称 《数学分析》 类电、软院用) (C 成绩

B卷

一、填空题(每题 4 分,共 24 分)
π ? arctan x 2 1.极限 lim = x ? ?? sin( x / 2)

. (其中 q ? 0 ). .

1q ? 2q ? ? ? nq 2.极限 lim = n ?? nq ?1

3.积分 ? [ x2008 (e x ? e? x ) ? 2cos2 x]dx =


π

4.

d x x2 ? t 2 te dt = dx ?0
x π ? 2

.
cos t dt , ?

5.设曲线方程为 y ? ?

6.常微分方程 y? ? y ? 1 的通解是

π π ? x ? ,则曲线的长度为 2 2 .

.

二、单项选择题(每题 3 分,共 12 分) 1.设 f ( x) ? ( x2 ? a2 ) g ( x) ,其中 g ( x) 在 a 点连续,则 f ?( a ) =( (A) [2 xg ( x) ? ( x 2 ? a 2 ) g ?( x)] ; (B) 0 ;
x?a



(C) 2ag (a) ; 2.设 ? xf ( x) dx ? arccos x ? C ,则 ?

(D)不存在.
1 dx =( f ( x)



3 1 (A) (1 ? x 2 ) 2 ? C ; (B) x 1 ? x2 ? C ; 3 3 1 (C) ? (1 ? x 2 ) 2 ? C ; (D) 1 ? x2 ? C . 2 3.设 F '( x) ? f ( x), x ?[a, b] .则下列结论正确的是( )

(A) ? f ( x)dx ? F (b) ? F (a) ;
a

b

(B) f ( x) 在 [a, b] 上必 Riemann 可积; (D) ? f ( x)dx ? F ( x) ? C .
b b

(C) F ( x) ? ? f (t )dx ? C , ?x ? [a, b] ;
a

x

4.考虑下列断语( I

)
a a

设 f 、g ? R[a, b] .若 f ( x) ? g ( x) (等号仅在有限个点取得) ,则 ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx ;
b b a a

II 设 f 、g ? R[a, b] .若 f ( x) ? g ( x) ,则 ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx . (A)命题 I,命题 II 都正确; (C)命题 I 不正确,命题 II 正确;
总 6 页 第 7 页(管院用)

(B) 命题 I 正确,命题 II 不正确; (D) 命题 I,命题 II 都不正确.

题 得

号 分















总 分

批阅人 三、计算下列各题(每题 6 分,共 24 分). 1. ? arctan x dx .

2.设 (0, ??) 上的连续函数 f ( x) 满足 f ( x) ? ln x ? x 2 ?

e

1

f ( x) dx ,求 f ( x) . x

3. ?

? 2

x2 x2 ?1

?2

dx .

总 6 页 第 8 页(管院用)

4. 求方程 yy?? ? y?2 ? 0 满足 y(1) ? 1, y?(1) ? 2 的特解.

( x ? 2)2 x2 ? 2 x 2 +1 的性态(已知 y? ? ) ,并列表 , y?? ? 2 x ?1 ( x ? 1) ( x ? 1)3 作图.(此页用于分析讨论和列表,图形画在下页空白处)

四、(10 分)全面讨论函数 y ?

总 6 页 第 9 页(管院用)

五、(12 分)设直线 y ? kx 与抛物线 y ? x2 所围成的图形面积为 S1 ,他们与直线 x ? 1 所围 成图形面积为 S2 ,且 0 ? k ? 2 , (1)试确定 k 值,使 S1 ? S2 达到最小,并求出最小值; (2)求该最小值所对应的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积.

总 6 页 第 10 页(管院用)

六、(8 分)设 f ( x) 在 [a, b] 上二阶可导, f ?(a) ? 0, f ?(b) ? 0, f (a) ? f (b) .证明: (1) f ?( x ) 在 ( a, b) 内至少存在两个零点; (2)在 ( a, b) 内至少存在一点 ? 满足 f ??(? )? f (t )dt ? f ?(? ) f (? ) ? 0 .
a

?

总 6 页 第 11 页(管院用)

七、 (10 分)设 f ( x) 在 [a, b] 上有定义,且 ?x? ?[a, b] , lim f ( x ) ? 0 .证明:
x ? x?

(1)对于 ?? ? 0 , f ( x) 在 [a, b] 上至多有有限个点的函数绝对值大于 (2)证明 f ( x) ? R[a, b] ; (3)计算 ? f ( x)dx 的值.
a b

? ; 2

总 6 页 第 12 页(管院用)


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