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4.3.2 空间两点间的距离公式


4.3.2 空间两点间的距离公式 教学分析 平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是学生已学的知识,不难把平面上的知识推广到 空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间 任意一点到原点的距离;从平面直角坐标系中的方程 x2+y2=r2 表示以原点为圆心,r 为半径的 圆,推广到空间直角坐标系中的方程 x2+y2+z2=r2 表示以原点为球心,r 为半径的球面.学生是不 难接受的,这不仅不增加学生负担,还会提高学生学习的兴趣. 三维目标 1.掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题. 2.通过探究空间两点间的距离公式,灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平面问题是 解决问题的基本思想方法,培养类比、迁移和化归的能力. 3.通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标,类比平面中两点之间的距离的求法,探索 并得出空间两点间的距离公式,充分体会数形结合的思想,培养积极参与、大胆探索的精神. 重点难点 教学重点:空间两点间的距离公式. 教学难点:一般情况下,空间两点间的距离公式的推导. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航 线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算空间两点之 间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢?这就是我们本堂课的主要内容. 思路 2.我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即 d=|x1-x2|;平面直角坐 标系中,两点之间的距离是 d= ( x 2 ? x1 ) + ( y 2 ? y1 ) .同学们想,在空间直角坐标系中,两
2 2

点之间的距离应怎样计算呢?又有什么样的公式呢?因此我们学习空间两点间的距离公式. 推进新课 新知探究 提出问题 ①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么?它是如何推导的? ②设 A(x,y,z)是空间任意一点,它到原点的距离是多少?应怎样计算? ③给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据. ④同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算? ⑤平面直角坐标系中的方程 x2+y2=r2 表示什么图形?在空间中方程 x2+y2+z2=r2 表示什么图 形? ⑥试根据②③推导两点之间的距离公式. 活动: 活动:学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师 点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.①学生回忆学过的 数学知识,回想当时的推导过程;②解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立 体几何知识来解; ③首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立 体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.④回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式, 可类比猜想相应的公式; ⑤学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用③的道理,结合 空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导.

讨论结果: 讨论结果:①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是 d= ( x 2 ? x1 ) + ( y 2 ? y1 ) ,它是
2 2

利用直角三角形和勾股定理来推导的.

图1 ②如图 1,设 A(x,y,z)是空间任意一点,过 A 作 AB⊥xOy 平面,垂足为 B,过 B 分别作 BD⊥x 轴,BE⊥y 轴,垂足分别为 D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形 ABO、 BOD 是直角三角形,所以 BO2=BD2+OD2,AO2=AB2+BO2=AB2+BD2+OD2=z2+x2+y2,因此 A 到 原点的距离是 d= x 2 + y 2 + z 2 . ③利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长的平方等 于三条边长的平方的和来算. ④由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是 d= ( x 2 ? x1 ) + ( y 2 ? y1 ) ,是同名坐标
2 2

的差的平方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是 d= ( x 2 ? x1 ) + ( y 2 ? y1 ) + ( z 2 ? z1 ) ,即在原来的基础上,加上纵坐标差的平方.
2 2 2

⑤平面直角坐标系中的方程 x2+y2=r2 表示以原点为圆心,r 为半径的圆;在空间 x2+y2+z2=r2 表 示以原点为球心,r 为半径的球面;后者正是前者的推广.

图2 ⑥如图 2,设 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离. 我们分别过 P1P2 作 xOy 平面的垂线,垂足是 M,N,则 M(x1,y1,0),N(x2,y2,0),于是可以求出 |MN|= ( x 2 ? x1 ) + ( y 2 ? y1 ) .
2 2

再过点 P1 作 P1H⊥P2N,垂足为 H,则|MP1|=|z1|,|NP2|=|z2|,所以|HP2|=|z2-z1|. 在 Rt△P1HP2 中 ,|P1H|=|MN|=

( x 2 ? x1 ) 2 + ( y 2 ? y1 ) 2 , 根 据 勾 股 定 理 , 得 ( x1 ? x 2 ) 2 + ( y1 ? y 2 ) 2 + ( z1 ? z 2 ) 2 . 因 此 空 间 中 点
2 2 2

|P1P2|=

| P1 H | 2 + | HP2 | 2 =

P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之间的距离为|P1P2|= ( x1 ? x 2 ) + ( y1 ? y 2 ) + ( z1 ? z 2 ) . 于是空间两点之间的距离公式是 d= ( x 2 ? x1 ) + ( y 2 ? y1 ) + ( z 2 ? z1 ) .它是同名坐标
2 2 2

的差的平方的和的算术平方根. 应用示例

例 1 已知 A(3,3,1),B(1,0,5),求: (1)线段 AB 的中点坐标和长度; (2)到 A,B 两点的距离相等的点 P(x,y,z)的坐标满足的条件. 活动: 活动:学生审题,教师引导学生分析解题思路,已知的两点 A、B 都是空间直角坐标系中的点, 我们直接利用空间两点间的距离公式求解即可.知识本身不难,但是我们计算的时候必须认真, 决不能因为粗心导致结果错误. 解:(1)设 M(x,y,z)是线段 AB 的中点,则根据中点坐标公式得 x=

3 +1 3+0 3 5 +1 3 =2,y= = ,z= =3.所以 AB 的中点坐标为(2, ,3). 2 2 2 2 2
2 2 2

根据两点间距离公式,得 d(A,B)= (1 ? 3) + (0 ? 3) + (5 ? 1) = 所以 AB 的长度为 29 . (2)因为点 P(x,y,z)到 A,B 的距离相等, 所以有下面等式:

29 ,

( x ? 3) 2 + ( y ? 3) 2 + ( z ? 1) 2 = ( x ? 1) 2 + ( y ? 0) 2 + ( z ? 5) 2 .
化简得 4x+6y-8z+7=0, 因此,到 A,B 两点的距离相等的点 P(x,y,z)的坐标满足的条件是 4x+6y-8z+7=0. 点评:通过本题我们可以得出以下两点: 点评 ①空间两点连成的线段中点坐标公式和两点间的距离公式是平面上中点坐标公式和两点间 的距离公式的推广,而平面上中点坐标公式和两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式 和两点间的距离公式的特例. ②到 A,B 两点的距离相等的点 P(x,y,z)构成的集合就是线段 AB 的中垂面. 变式训练 在 z 轴上求一点 M,使点 M 到点 A(1,0,2),B(1,-3,1)的距离相等. 解:设 M(0,0,z),由题意得|MA|=|MB|,

(0 ? 1) 2 + (0 ? 0) 2 + ( z + 2) 2 = (0 ? 1) 2 + (0 + 3) 2 + (0 + 3) 2 + ( z ? 1) 2 ,
整理并化简,得 z=-3,所以 M(0,0,-3). 例 2 证明以 A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的△ABC 是一等腰三角形. 活动 : 学生审题,教师引导学生分析解题思路,证明 △ABC 是一等腰三角形,只需求出 |AB|,|BC|,|CA|的长,根据边长来确定. 证明: 证明:由两点间距离公式得: |AB|= (7 ? 4) + (1 ? 3) + ( 2 ? 1) = 2 7 ,
2 2 2

|BC|= (5 ? 7) + ( 2 ? 1) + (3 ? 2) =
2 2 2

6, 6.

|CA|= ( 4 ? 5) + (3 ? 2) + (1 ? 3) =
2 2 2

由于|BC|=|CA|= 6 ,所以△ABC 是一等腰三角形. 点评:判断三角形的形状一般是根据边长来实现的,因此解决问题的关键是通过两点间的距 点评

离公式求出边长. 变式训练 三角形△ABC 的三个顶点坐标为 A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),试证明△ABC 是一直角 三角形. 活动: 活动:学生先思考或交流,然后解答,教师及时提示引导,要判定△ABC 是一直角三角形,只需 求出|AB|,|BC|,|CA|的长,利用勾股定理的逆定理来判定. 解:因为三个顶点坐标为 A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),所以 |AB|= (1 + 1) + ( ?2 + 1) + (?3 + 1) =3,
2 2 2

|BC|= (0 + 1) + (0 + 1) + ( ?5 + 1) = 3 2 ,
2 2 2

|CA|= (1 ? 0) + ( ?2 ? 0) + ( ?3 + 5) =3.
2 2 2

又因为|AB|2+|CA|2=|BC|2,所以△ABC 是直角三角形. 例 3 已知 A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),则|AB|的最小值为( A.0 B.

)

35 7

C.

5 7

D.

8 7

活动: 学生阅读题目,思考解决问题的方法,教师提示,要求|AB|的最小值,首先我们需要根据空 活动: 间两点间的距离公式表示出|AB|,然后再根据一元二次方程求最值的方法得出|AB|的最小值. 解析:|AB|= ( x ? 1) + (3 ? 2 x ) + (3 x ? 3) 解析
2 2 2

= 14 x ? 32 x + 19
2

= 14( x ? ) +
2

8 7

5 35 ≥ . 7 7

当 x=

8 35 时,|AB|的最小值为 . 7 7

故正确选项为 B. 答案: 答案:B 点评:利用空间两点间的距离公式转化为关于 x 的二次函数求最值是常用的方法. 点评 知能训练 课本本节练习 1、2、3、4. 拓展提升 已 知 三 棱 锥 P—ABC( 如 图 4),PA⊥ 平 面 ABC, 在 某 个 空 间 直 角 坐 标 系 中,B(3m,m,0),C(0,2m,0),P(0,0,2n),画出这个空间直角坐标系并求出直线 AB 与 x 轴所成的较 小的角.

图3 解:根据已知条件,画空间直角坐标系如图 3: 以射线 AC 为 y 轴正方向,射线 AP 为 z 轴正方向,A 为坐标原点建立空间直角坐标系 O—xyz, 过点 B 作 BE⊥Ox,垂足为 E,∵B( 3 m,m,0),∴E( 3 m,0,0). 在 Rt△AEB 中,∠AEB=90°,|AE|= 3 m,|EB|=m, ∴tan∠BAE=

| EB | m 3 = = .∴∠BAE=30°, | AE | 3m 3

即直线 AB 与 x 轴所成的较小的角为 30°. 课堂小结 1.空间两点间的距离公式的推导与理解. 2.空间两点间的距离公式的应用. 3.建立适当的空间直角坐标系,综合利用两点间的距离公式. 作业 习题 4.3 A 组 3,B 组 1、2、3. 设计感想 本节课从平面直角坐标系中两点之间的距离公式入手,创设问题情景,不难把平面上的知 识推广到空间,遵循从易到难、 从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理 得到空间任意一点到原点的距离.为了培养学生的理性思维,在例题中,设计了由特殊到一般 的学习思路,培养学生的归纳概括能力.在问题的设计中,用一题多解的探究,纵向挖掘知识深 度,横向加强知识间的联系,培养了学生的创新精神,本节课的设计通过适当的创设情境,调动 学生的学习兴趣.本节课以问题为纽带,以探究活动为载体,使学生在问题的指引下、 教师的指 导下把探究活动层层展开、步步深入,充分体现以教师为主导,以学生为主体的指导思想.把学 生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程,提高了能 力、培养了兴趣、增强了信心.


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