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2014年高二数学1-1考试题(4)

2014 年高二数学 1-1 考试题(4)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.命题“若 a ? A ,则 b ? B ”的否命题是 A.若 b ? B ,则 a ? A C.若 b ? B ,则 a ? A B.若 a ? A ,则 b ? B D.若 a ? A ,则 b ? B

2.对命题 p: A ? ? ? ? ,命题 q: A ? ? ? A ,下列说法正确的是 A.p 且 q 为真 B.p 或 q 为假 C.非 p 为真 D.非 q 为真

3.已知条件甲: ab ? 0 ;条件乙: a ? 0 ,且 b ? 0 ,则 A.甲是乙的充分但不必要条件 C.甲是乙的充要条件 4.利用斜二测画法得到的 ?三角形的直观图是三角形; ?正方形的直观图是正方形; 以上结论,正确的是 A.? ? B.? C.? ? D.? ? ? ? ?平行四边形的直观图是平行四边形; ?菱形的直观图是菱形 B.甲是乙的必要但不充分条件 D.甲是乙的既不充分又不必要条件

5.若直线 a 不平行于平面?,且 a ? ? ,则下列结论成立的是 A.?内的所有直线与 a 异面 C.?内的所有直线与 a 相交 6.已知两个平面垂直,下列命题 ?一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ?一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 ?一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面 ?过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 B.?内存在唯一的直线与 a 平行 D.?内不存在与 a 平行的直线

7.与直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 关于 x 轴对称的直线的方程是 A. 3x ? 4 y ? 5 ? 0 B. 3x ? 4 y ? 5 ? 0

1

C. 3x ? 4 y ? 5 ? 0

D. 3x ? 4 y ? 5 ? 0

8.经过点 P(4,-2)的抛物线的标准方程为 A. y ? ?8 x
2

B. x ? ?8 y
2

C. y ? x 或 x ? ?8 y
2 2

D. y ? x 或 y ? 8 x
2 2

9.若双曲线实轴的长度、虚轴的长度和焦距成等差数列,则该双曲线的离心率是 A.

3 5

B.

4 5

C.

5 3

D.

5 4

10. 如图 1, ABC 为正三角形, 1//BB1//CC1, 1?平面 ABC, 3 AA1 ? ? AA CC 且 则多面体 ABC—A1B1C1 的正视图是

3 BB1 ? CC1 ? AB , 2
C1

B1 A1 C A B 图1

A

B

C

D

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11.已知点 P(2,-4) Q(0,8) , ,则线段 PQ 的垂直平分线方程为 ▲ . 12. 若双曲线

x2 F A 且 ? y 2 ? 1 的左右焦点分别为 F1, 2, 是双曲线左支上的一点, | AF1 |? 5 , 9
▲ .
A D

那么 | AF2 |?

13.用长为 4、宽为 2 的矩形作侧面围成一个圆柱, 则此圆柱轴截面面积为 ▲ .
B 图2

14.如图 2,已知 ?ACB ? ?CDB ? 60? ,

C

AC=1, ?ABC 的面积 S 是 ▲ .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 如图 3,将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个三棱锥 S— A
2
S B

图3

C

ABC,求三棱锥 S—ABC 的体积与剩下的几何体体积的比.

16. (本小题满分 12 分) 已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3) ,端点 A 在圆 ( x ? 1) ? y ? 4 上运动,求线
2 2

段 AB 的中点 M 的轨迹方程.

17. (本小题满分 14 分) 如图 4,已知 AB?平面 BCD,BC?CD. 请指出图中所有互相垂直的平面,并说明理由.
B 图4 C D A

18. (本小题满分 14 分) 已知直线 l1: x ? 2ay ? 1 ? 0 ,l2: (3a ? 1) x ? ay ? 1 ? 0 . (1)当 l1// l2 时,求 a 的值; (2)当 l1? l2 时,求 a 的值.

3

19. (本小题满分 14 分) 如图 5,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 a,
C1 A1 B1

E 为 DD1 的中点.
(1)求证:BD1//平面 EAC; (2)求点 D1 到平面 EAC 的距离.
A

E D

C B 图5

20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 E 的方程为 2 x ? y ? 2 , 过椭圆 E 的一个焦点的直线 l 交椭圆于 A、 两点. B
2 2

(1)求椭圆 E 的长轴和短轴的长,离心率,焦点和顶点的坐标; (2)求?ABO(O 为原点)的面积的最大值.

参考答案及评分标准
一、选择题

4

题号 答案

1 B

2 A

3 B

4 A

5 D

6 C

7 D

8 C

9 C

10 D

二、填空题 11. x ? 6 y ? 11 ? 0 三、解答题 15. (本小题满分 12 分) 解:设长方体的长、宽、高分别为 a,b,c, 即 SA=a,SB=b,SC=c. 由长方体,得 SA,SB,SC 两两垂直, (1 分)
A S B

12.11

13.

8 ?

14.

3 4

1 1 1 1 (5 分) SA ? S ?SBC ? a ? bc ? abc , 3 3 2 6 1 于是 VS ? ABC ? V A? SBC ? abc . (8 分) 6 1 5 故剩下几何体的体积 V ? abc ? abc ? abc , (10 分) 6 6
所以 V A? SBC ? 因此, VS ? ABC : V ? 1 : 5 . (12 分)

图3

C

16. (本小题满分 12 分) 解:设点 M 的坐标为(x,y) ,点 A 的坐标为(x0,y0). 由于点 B 的坐标是(4,3) ,且点 M 是线段 AB 的中点,所以 (1 分)

x?

x0 ? 4 y ?3 ,y? 0 , 2 2
?

(5 分)

于是有 x0 ? 2 x ? 4 , y 0 ? 2 y ? 3 .
2 2

(6 分)
2 2

因为点 A 在圆 ( x ? 1) ? y ? 4 上运动,所以点 A 的坐标满足方程 ( x ? 1) ? y ? 4 , 即 ( x0 ? 1) ? y 0 ? 4 .
2 2

?
2 2

(8 分) (10 分) (11 分)

把?代入?,得 (2 x ? 4 ? 1) ? (2 y ? 3) ? 4 , 整理,得 ( x ? ) ? ( y ? ) ? 1 .
2 2

3 2

3 2

5

所以,点 M 的轨迹方程为 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? 1 .

3 2

3 2

(12 分)

17. (本小题满分 14 分)
A

解:平面 ABC?平面 BCD. 因为 AB?平面 BCD,AB?平面 ABC, 所以平面 ABC?平面 BCD. 平面 ABD?平面 BCD. 因为 AB?平面 BCD,AB?平面 ABD, 所以平面 ABD?平面 BCD. 平面 ABC?平面 ACD.

(1 分) (3 分)
B D 图4 C

(4 分) (5 分) (7 分) (8 分) (9 分) (11 分) (13 分) (14 分)

因为 AB?平面 BCD,CD?平面 BCD,所以 AB?CD; 又 BC?CD,且 AB?BC=B,所以 CD?平面 ABC. 又 CD?平面 ACD,所以平面 ABC?平面 ACD.

18. (本小题满分 14 分) 解: (1)当 a ? 0 时,

l1 的方程为 x ? 1,l2 的方程为 x ? ?1 ,显然 l1// l2;
当 a ? 0 时,

(3 分)

1 3a ? 1 ,直线 l2 的斜率 k 2 ? , (5 分) 2a a 1 3a ? 1 1 由 k1 ? k 2 ,得 ? ,解得 a ? ? . (7 分) ? 2 2a a 1 当 a ? ? 时,l1 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 ,l2 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 ,l1// l2. (8 分) 2 1 综上,当 a ? 0 ,或 a ? ? 时,l1// l2. (9 分) 2
直线 l1 的斜率 k1 ? ? (2)由(1)得,当 a ? 0 时,l1 不垂直于 l2; 当 a ? 0 时,由 k1 ? k 2 ? ?1 ,得 ? (10 分) (13 分)

3 ? 17 1 3a ? 1 . ? ? ?1 ,解得 a ? 4 2a a

故当 a ?

3 ? 17 时,l1? l2. 4

(14 分)

6

19. (本小题满分 14 分) (1)证明:如图 5,连接 BD 交 AC 于 F,连 EF. (1 分) 因为 F 为正方形 ABCD 对角线的交点, 所长 F 为 AC、BD 的中点. 在?DD1B 中,E、F 分别为 DD1、DB 的中点, 所以 EF//D1B. 又 EF?平面 EAC,所以 BD1//平面 EAC. (2)解 1:设 D1 到平面 EAC 的距离为 d. 在?EAC 中,EF?AC,且 AC ? (5 分) (7 分) (3 分)
A 图5 A1 E D F B B1 C1

C

2a , EF ?

3 a, 2

所以 S ?EAC ?

1 6 2 EF ? AC ? a , 2 4 1 6 2 dS ?EAC ? a d. 3 12
(9 分)

于是 V D1 ? EAC ? 因为 V A? ED1C ?

1 1 1 1 1 AD ? S ?ED1C ? a ? ? a ? a ? a 3 , (11 分) 3 3 2 2 12
6 2 1 a d ? a3 , 12 12
(13 分)

又 V D1 ? EAC ? V A? ED1C ,即

解得 d ?

6 6 a ,故 D1 到平面 EAC 的距离为 a. 6 6

(14 分)

解 2:因为 AC ? BD, AC ? DD1 , BD ? DD1 ? D ,所以 AC ? 平面 BDD1 又 AC ? 平面 ACE,故平面 BDD1 ? 平面 ACE 过 D 作 DM ? EF ,交 EF 和 BD1 于 M 和 G,所以 MG ? 平面 ACE(9 分) 由(1)可知 EF // BD1 ,所以 GM 是 BD1 到平面 ACE 的距离,也就是 D1 到平面 ACE 的距离(10 分) 在 ?BDD1 中,因为 所以, DG ?

1 1 BD ? DD1 ? BD1 ? DG ,即 2a ? a ? 3a ? DG 2 2

6 a ,(13 分) 3

7

故 GM ?

1 6 6 DG ? a ,即 D1 到平面 EAC 的距离为 a. 2 6 6

(14 分)

解 3:因为 AE ? CE ,F 为 AC 这中点,所以 EF ? AC 且 EF ? 设 D 到平面 ACE 的距离为 d, 因为 VE ? ACD ? VD ? ACE ,即 ? 也就是 a ? a ?

1 3 BD1 ? 2 2

1 1 1 1 AD ? CD ? DE ? ? AC ? EF ? d 3 2 3 2

a 3 6 ? 2a ? a ? d ,所以 d ? a 2 2 6

因为 D1 到平面 ACE 的距离与 D 到平面 ACE 的距离相等,

所以,D1 到平面 EAC 的距离为

6 a. 6

(10 分)

20. (本小题满分 14 分) 解: (1)将椭圆 E 的方程化为标准方程: x ?
2

y2 ? 1, 2

(1 分)

于是 a ?

2 , b ? 1, c ? a 2 ? b 2 ? 1,
c 2 ? ,两个焦点坐 a 2

因此,椭圆 E 的长轴长为 2a ? 2 2 ,短轴长为 2b ? 2 ,离心率 e ?

标分别是 F(0, 、 (0, , -1) F2 1) 四个顶点的坐标分别是 A1 (0,? 2 ) ,A2 (0, 2 ) ,A3 (?1,0) 1 和 A4 (1,0) . (6 分)

(2)依题意,不妨设直线 l 过 F2(0,1)与椭圆 E 的交点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 则 S ?ABO ?

1 1 | OF | ? | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 . 2 2

(8 分)

根据题意,直线 l 的方程可设为 y ? kx ? 1 , 将 y ? kx ? 1 代入 2 x ? y ? 2 ,得 (k ? 2) x ? 2kx ? 1 ? 0 .
2 2 2 2

由韦达定理得: x1 ? x2 ? ?

2k 1 , , x1 x2 ? ? 2 k ?2 k ?2
2

(10 分)

8

所以 S ?ABO ?

1 2k 2 4 (? 2 ) ? 2 ? 2 k ?2 k ?2

2 ? k 2 ?1 ? k2 ? 2

2 k 2 ?1 ? 1 k 2 ?1

?

2 (当且 2

仅当 k ? 1 ?
2

1 k 2 ?1

,即 k ? 0 时等号成立).

(13 分)

故?ABO 的面积的最大值为

2 . 2

(14 分)

9


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