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2012年江苏数学高考试卷(清晰版)(含附加题,官方答案)_图文

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2012 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
1.已知集合 A ? ?1,2,4? , B ? ?2,4,6? ,则 A ? B ? 2.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比是 3:3:4,现用分层抽样的方法从该校 高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高二年级抽取 名学生 3.设 a, b ? R , a ? bi ?

11 ? 7i ( i 为虚数单位),则 a ? b 的值为 1 ? 2i

4.右图是一个算法流程图,则输出的 k 的值是

5.函数 f ( x) ? 1 ? 2log6 x 的定义域为 6.现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项,-3 为公比的等比数列,若从这 10 各数中随 机的抽取一个数,则它小于 8 的概率是 7 . 如 图 , 在 长 方 体 ABCD ? A B1C1D1 中 , AB ? AD? 3 cm AA 2 cm 则 四 棱 锥 , , 1 ? 1

A ? BB1D1D 的体积为

cm3

8.在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1 的离心率为 m m ?4

D1

C1 B1

A1
5 ,则 m 的值为
D
9.如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2, BC ? 2 ,点 E 是 BC 的中点, 点 F 在边 CD 上,若 AB ? AF ?

C
B
F C

A
D

??? ??? ? ?

??? ??? ? ? 2 ,则 AE ? BF 的值是

10.设 f ( x ) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间 ??1,1? 上,

E

A
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B

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?ax ? 1, ?1 ? x ? 0 1 3 ? 其中 a, b ? R ,若 f ( ) ? f ( ) ,则 a ? 3b 的值为 f ( x) ? ? bx ? 2 2 2 ? x ?1 , 0 ? x ? 1 ?
11.设 ? 为锐角,若 cos(? ?

?
6

)?

4 ? ,则 sin(2? ? ) 的值为 5 12

12.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 8x ? 15 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 上 至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值为

13. 已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b(a, b ? R) 的值域为 ?0,??? , 若关于 x 的不等式 f ( x) ? c 的 解集为 (m, m ? 6) ,则实数 c 的值为 14.已知正数 a, b, c 满足: 5c ? 3a ? b ? 4c ? a, c ln b ? a ? c ln c ,则

b 的取值范围是 a

15.在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 3BA ? BC (1) 求证: tan B ? 3tan A (2) 若 cos C ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

5 ,求 A 的值 5

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16.如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, A B1 ? AC1 ,D,E 分别是棱 BC, CC1 上的点 1 1 (点 D 不同于点 C),且 AD ? DE , F 是 B1C1 的中点 求证:(1)平面 ADE ? 平面 BCC1B1 (2)直线 A F // 平面 ADE 1

A1
F

C1 B1
E

A D B

C

17.如图,建立平面直角坐标系 xOy , x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,单位长度为 1

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千米,某炮位于坐标原点,已知炮弹发射后的轨迹在方程 y ? kx ?

1 (1 ? k 2 ) x 2 (k ? 0) 表 20

示的曲线上,其中 k 与发射方向有关,炮的射程是指炮弹落地点的横坐标。 (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一个飞行物(忽略其大小),其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超过多少时,炮弹可以击中它?说明理由。 y(km)

o

x(km)

18.若函数 y ? f ( x) 在 x ? xo 处取得最大值或最小值,则称 xo 为函数 y ? f ( x) 的极值点。 已知 a , b 是实数,1 和-1 是函数 f ( x) ? x ? ax ? bx 的两个极值点
3 2

(1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g ( x) 的导函数 g ( x) ? f ( x) ? 2 ,求 g ( x) 的极值点;
'

(3)设 h( x) ? f ( f ( x)) ? c ,其中 c?? ?2, 2? ,求函数 y ? h( x) 的零点个数

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19.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 a 2 b2

? 3? F1 (?c,0), F2 (c,0) ,已知点(1,e)和 ? e, ? 2 ? 都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心率 ? ? ?
(1)求椭圆的方程; (2)设 A, B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行, AF2 与 BF1 交于 点 P, (i)若 AF1 ? BF2 ?

6 ,求直线 AF1 的斜率; 2

(ii)求证: PF ? PF2 是定值 1
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y A P B

F1

O

F2

x

(第 19 题)

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20.已知各项均为正数的两个数列 ?an ? 和 ?bn ? 满足: an?1 ?

an ? bn a ?b
2 n 2 n

, n ? N*

?? b ? 2 ? bn ? ? * (1)设 bn ?1 ? 1 ? , n ? N ,求证:数列 ?? n ? ? 是等差数列; an ? a ? ?? n ? ?
(2)设 bn ?1 ?

2?

bn , n ? N * ,且 ?an ? 是等比数列,求 a1 和 b1 的值。 an

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2012 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)

数学Ⅱ(附加题)
21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作 ................... 答.若多做,则按作答的前两题评分. .. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . A.[选修 4-1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图,AB 是圆 O 的直径,D,E 为圆 O 上位于 AB 异侧的两点,连结 BD 并延长至点 C, 使 BD=DC,连结 AC,AE,DE。

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求证: ?E ? ?C 。

(第 21-A 题图)

B.[选修 4 - 2:矩阵与变换](本小题满分 10 分)

? 1 3 ? ?? 4 4 ? ?1 已知矩阵 A 的逆矩阵 A ? ? ? ,求矩阵 A 的特征值。 ?1 ? 1? ?2 ? 2? ?

C.[选修 4-4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 在极坐标系中,已知圆 C 经过点 P ( 2, 点,求圆 C 的极坐标方程。

?

? 3 ) ,圆心为直线 ? sin(? ? ) ? ? 与极轴的交 4 3 2

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C.[选修 4-4:不等式选讲](本小题满分 10 分) 已知实数 x, y 满足: | x ? y |?

1 1 5 , | 2 x ? y |? ,求证: | y |? 。 3 6 18

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写 ........ 出文字说明、证 明过程或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分) 设 ? 为随机变量,从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条,当两条棱相交时, ? ? 0 ; 当两条棱平行时, ? 的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时, ? ? 1 。 (1)求概率 P( ? ? 0 ); (2)求 ? 的分布列,并求其数学期望。

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23.(本小题满分 10 分) 设集合 P ? {1, 2,?, n}, n ? N * 。记 f ( n) 为同时满足下列条件的集合 A 的个数: n ① A ? P ;②若 x ? A ,则 2x ? A ;③若 x ??Pn A ,则 2x ??Pn A n (1)求 f (4) ; (2)求 f ( n) 的解析式(用 n 表示)。

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