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山东省潍坊市2014届高三4月模拟考试 理科数学


高三数学(理)
本试卷共 4 页,分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分,考试时间 120 分钟.

第 I 卷(选择题共 50 分)
注意事项: 1.答卷前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在 规定的位置上。 2. 第 I 卷每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案,不得使用涂改液,胶带纸、 修正带和其他笔。 4.不按以上要求作答以及将答案写在试题卷上的,答案无效。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.若复数 z 满足 (1 ? i) ? z ? i ,则 z 的虚部为 A. ?

i 2

B. ?

1 2

C.

i 2

D.

1 2
B?

2.设集合 A ? x | 2 x ? 1 ? 3 , B ? ? x | y ? lg( x ? 1)? ,则 A A.(1,2) B.[1,2] C.(1,2] D.[1,2)

?

?

3.下列结论正确的是 A.若向量 a∥b,则存在唯一的实数 ? 使 a ? ? b B.已知向量 a,b 为非零向量,则“a,b 的夹角为钝角”的充要条件是“a ? b<0’ ’ c. “若 ? ?

?
3

,则 cos ? ?

1 ? 1 ”的否命题为“若 ? ? ,则 cos ? ? ” 2 3 2

D.若命题 p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 4.已知 f ( x) ?

1 2 ? x ? sin( ? x), f '( x) 为 f ( x) 的导函数,则 y ? f '( x) 的图象大致是 4 2

-1-

5.已知 ? , ? 表示平面,m,n 表示直线, m ? ? ,? ? ? ,给出下列四个结论: ① ?n ? ? , n ? ? ;② ?n ? ? , m ? n ;③ ?n ? ? , m / / n ;④ ?n ? ? , m ? n , 则上述结论中正确的个数为 A.1 B.2

C.3

D.4

6.已知函数 f ( x) ? x2 ? x ,执行右边的程序框图,若输出的结果是 判断框中的条件应是 A. n ? 30 B. n ? 31 C. n ? 32 D. n ? 33 7.已知双曲线 C :

31 ,则 32

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 过 a 2 b2

F2 垂直 x 轴的直线与双曲线 C 的两渐近线的交点分别是 M、N,若
为正三角形,则该双曲线的离心率为 ?M F 1 N

A.

21 3

B.

3

C.

13

D. 2 ? 3

8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接 球的表面积为

4 ? 3 C. 4?
A.

B.

32 ? 3 D. 16?
2

9.在区间[-3,3]上任取两数 x,y,使 x ? y ? 1 ? 0 成立的概率为

8 27 1 C . 6
A.

B.

7 27 4 D. 27

10.已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 对任意的 x 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,当-l≤x<l

? log a x , x ? 0, ? 时, f ( x) ? x .函数 g ( x) ? ? 1 若函数在 ? ?6, ?? ? 上有 6 个零点,则实数 a ? , x ? 0 ? ? x
3

的取值范围是 A. (0, )

1 7

(7, ??)

B. ? , ? ?9 7 ?

?1 1 ?

? 7,9?

-2-

C. ? ,1, ? ?9 ?

?1

?

?1,9?

D. ? , ? 9 7

? 1 1? ? ?

?7,9 ?

第Ⅱ卷

(非选择题共 1 00 分)

注意事项: 将第Ⅱ卷答案用 0. 5mm 的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上, 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 1 1.已知 e1 , e2 是夹角为 60 的两个单位向量,若向量 a ? 3e1 ? 2e2 ,则 a ? ________. 12.现将如图所示的 5 个小正方形涂上红、黄两种颜色,其中 3 个涂 红色,2 个涂黄色,若恰有两个相邻的小正方形涂红色,则不同的 涂法种数共有_________. (用数字作答) 13.已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 上一点 P(2, m)(m ? 0) ,若 P 到焦点 F 的距离为 4,则 以 P 为圆心且与抛物线 C 的准线相切的圆的标准方程为_________. 14 . 曲 线

y ? x sin 在 点 A( , ), B ( ? , ) 处 的 切 线 分 别 为 l1 , l2 , 设 l1 , l2 及 直 线 2 2 2 2

? ?

? ?

x-2y+2=0 围成的区域为 D(包括边界).设点 P(x,y)是区域 D 内任意一点,则 x+2y 的最大值为 ________. 15.如右图所示,位于东海某岛的雷达观测站 A,发现其北偏东 45 ,与 观测站 A 距离 20 2 海里的 B 处有一货船正匀速直线行驶,半小时 后,又测得该货船位于观测站 A 东偏北

? (0 ? ? ? 45 ) 的 C 处,且

c o? s ?

4 ,已知 A、C 两处的距离为 10 海里,则该货船的船速为 5

海里/小时___________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? 之间的距离为

?

? . 3 2 ? 6 (I)若 f ( a ? ) ? ,0 ? a ? ? ,求 sina; 3 12 5 ? (Ⅱ)将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移 个单位得到 y ? g ( x) 的图象,若函数 6

4

)( A ? 0, ? ? 0) 的振幅为 2,其图象的相邻两个对称中心

? 11 ? y ? g ( x) ? k 是在 ?0, ? ? 上有零点,求实数 k 的取值范围. ? 36 ?
17. (本小题满分 1 2 分)

-3-

直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中, AB ? BC, BC ? 2, ,

BB1 ? 2, AC1 与 AC 1 交于一点 P,延长 B 1B 到 D,使得 BD=
AB,连接 DC,DA,得到如图所示几何体. (I)若 AB=1,求证:BP∥平面 ACD, (Ⅱ)若直线 CA1 与平面 BCC1B1 所成的角为 30 ,求 二面角 D ? AC ? C1 的余弦值. 18. (本小题满分 12 分) 某超市制定“五一”期间促销方案,当天一次性购物消费额满 1000 元的顾客可参加“摸 球抽奖赢代金券”活动,规则如下: ①每位参与抽奖的顾客从一个装有 2 个红球和 4 个白球的箱子中逐次随机摸球,一次只 摸出一个球; ②若摸出白球,将其放回箱中,并再次摸球;若摸出红球则不放回,工作人员往箱中补 放一白球后,再次摸球; ③如果连续两次摸出白球或两个红球全被摸出,则停止摸球. 停止摸球后根据摸出的红球个数领取代金券, 代金券数额 Y 与摸出的红球个数 x 满足如下 关系:Y=144+72x(单位:元). (I)求一位参与抽奖顾客恰好摸球三次即停止摸球的概率; (Ⅱ)求随机变量 Y 的分布列与期望. 19. (本小题满分 12 分) 已知等差数列

?an?, a1 ? a3 ? a5 ? 42, a4 ? a6 ? a8 ? 69 ;等比数列 ?bn?, b1 ? 2 ,

log2 (b1b2b3 ) ? 6 .
(I)求数列

?an? 和数列 ?bn? 的通项公式;

(Ⅱ)设 cn ? an ? bn ,求数列 cn 20.(本小题满分 13 分) 如图,椭圆 C :

? ? 的前 n 项和

Tn .

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的短轴长为 2,点 P a 2 b2
2 2 2

为上顶点,圆 O : x ? y ? b 将椭圆 C 的长轴三等分,直线

4 l : y ? mx ? (m ? 0) 与椭圆 C 交于 A、B 两点,PA、PB 与圆 O 5
交于 M、N 两点. (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求证△APB 为直角三角形; (Ⅲ)设直线 MN 的斜率为 n,求证:

m 为定值. n

-4-

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a x ? x2 ? x ln a(a ? 0且a ? 1) . ( I)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)a>l,证明:当 x ? (0, ??) 时, f ( x) ? f (? x) ; (Ⅲ)若对任意 x1 , x2 , x1 ? x2 , 且当 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 时, 有 x1 ? x2 ? 0 , 求 a 的取值范围,

-5-

-6-

-7-

-8-

-9-


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