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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版必修4【配套备课资源】第1章 1.4.3_图文

1.4.3

复习回顾
一.正弦余弦函数的作图: 几何描点法(利用三角函数线) 五点法作简图
二.周期性:
2? 函数y ? A sin(? x ? ? )和y ? Acos(? x ? ? ),x ? R的周期T ? |? |

三.奇偶性:

y ? sin x为奇函数,图像关于原 点对称; y ? cos x为偶函数图像关于 y轴对称。

1.4.3

y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? o -1 y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1

y=sinx
? 2? 3? 4? 5? 6? x

y=cosx
? 2? 3? 4? 5? 6? x

四.单调性:
正弦函数在 [? 在[

?
2

? 2k? ,

?
2

? 2k? ](k ? Z )上是单调递增的 , 从 ? 1到1;

?

2

? 2k? ,

3? ? 2k? ](k ? Z )上是单调递减的 , 从1到 ? 1 2

余弦函数在区间 [2k? ? ? ,2k? ](k ? Z)上是单调递增 , 从 ? 1到1 : 在区间 [2k? ,2k? ? ? ](k ? Z)上是单调递减 , 从1到 ? 1

1.4.3

y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? o -1 y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1

y=sinx
? 2? 3? 4? 5? 6? x

y=cosx
? 2? 3? 4? 5? 6? x

五.定义域 、值域及取到最值时相应的x的集合:
y ? sin x : 定义域为R,值域[?1,1] 最大值1,此时x ?

?

2 y ? cos x : 定义域为R,值域[?1,1]

? 2k? ; 最小值-1, 此时x ? ?

?
2

? 2 k? ;

最大值1,此时x ? 2k? ; 最小值-1, 此时x ? 2k? ? ? ;

1.4.3
y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? o -1 y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 ? 2? 3? 4? 5? 6? x

y=sinx

y=cosx
? 2? 3? 4? 5? 6? x

六.对称轴和对称点:
y ? sin x的对称轴:x ? k? ?

?
2

, 对称点: ( k? ,0);

y ? cos x的对称轴:x ? k? , 对称点: (k? ?

?
2

,0);

七. y ? sin x和y ? cos x的图像性质的研究思想 : (1)充分利用图像- - - -数形结合的思想 (2) y ? sin x, y ? cos x与y ? A sin(?x ? ? ), y ? A cos(?x ? ? )间的换元思想

1.4.3

1.4.3 正切函数的性质与图象
【学习要求】 1.了解正切函数图象的画法,理解掌握正切函数的性质. 2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题. 【学法指导】 学习正切函数的性质与图象时, 应类比正弦函数和余弦函数的研究 π 方法,抓住正切函数的图象具有渐近线(x=kπ+ ,k∈Z)这一明显 2 特征, 准确地整体把握正切函数的图象, 结合图象记忆正切函数的 有关性质(定义域、值域、周期、奇偶性、单调性、对称性等).

填一填·知识要点、记下疑难点

1.4.3

函数y=tan x的性质与图象见下表:
y=tan x

图象

定义域

π {x|x∈R,且 x≠kπ+2,k∈Z}

填一填·知识要点、记下疑难点

1.4.3

值域 周期 奇偶性

R ___
π 最小正周期为__

奇函数 _________
? π π? ?kπ- ,kπ+ ? (k∈Z) 2 2? ? 在开区间_______________________ 内递增

单调性

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1.4.3

探究点一

正切函数的图象
? π π? x, x∈?-2,2 ? ? ?

阅读下文,了解正切函数图象的几何作法. 类比正弦函数图象的作法, 作正切函数 y=tan 图象的步骤: (1)建立平面直角坐标系,在 x 轴的负半轴上任取一点 O1,以 O1 为圆心作单位圆. (2)把单位圆中的右半圆平均分成 8 份,并作出相应终边的

正切 线.
(3)在 x
? π π? 轴上,把?-2,2 ?这一段分成 ? ?

8 等份,依次确定单位

圆上 7 个分点在 x 轴上的位置.

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1.4.3

(4)把角 x 的 正切 线向右平移, 使它的起点与 x 轴上的点 x 重合. (5)用光滑的曲线把正切线的终点连接起来,就得到 y=tan x, ? π π? x∈?-2 ,2 ?的图象,如图所示. ? ?

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1.4.3

现在我们作出了正切函数一个周期上的图象,根据正切函数的 周期性, 把上述图象向左、 右扩展, 得到正切函数 y=tan x(x∈R, π 且 x≠ +kπ(k∈Z))的图象,我们把它叫做“正切曲线”(如下 2 π x=kπ+2(k∈Z) 图所示),它是被无数条直线__________________所隔开的无数 条曲线组成的.

也可用“三点两线法”作简图其中 .

? ?? ? ? ? 三点: ? k? ,0? , ? k? ? 4 ,1? , ? k? ? 4 , ?1? ? ? ? ?
两线:x ? k? ?

?

2

和x ? k? ?

?

2

(k ? z )

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探究点二 正切函数的性质

1.4.3

由正切函数的图象可得:
? ? π ? ? ? (1)正切函数的定义域: x|x∈R且x≠kπ+ 2 ,k∈Z?. ? ? ? ? ? π ? π (2)正切函数的值域:对于 x∈?-2 +kπ,2 +kπ?(k∈Z), ? ?

π 当 x→- +kπ(k∈Z)时,tan x→-∞; 2 π 当 x→ +kπ(k∈Z)时,tan x→+∞. 2

所以 y=tan x 可以取任意实数值,但没有最大值和最小值,

R ,也可以记作 (-∞,+∞) .直线 故正切函数的值域为__ π kπ+2,k∈Z x= 称为正切函数的渐近线.

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1.4.3

(3)正切函数的奇偶性: 从正切函数的图象来看,正切曲线关于 原点 对称;从诱导公式 来看,tan(-x)= -tan x .故正切函数是 奇 函数. (4)正切函数的周期性: 正切函数是周期函数, 最小正周期是 π .据此可知函数 y=tan(ωx π +φ)(ω>0)的最小正周期是 ω , 根据函数图象可知 y=|tan x|的最 小正周期是 π .

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(5)正切函数的单调性:

1.4.3

由正切函数的图象可知,正切函数在每一个开区间 ? π ? π ?- +kπ, +kπ?(k∈Z) 2 ______________________ 内都是增函数.但是我们不能说正切 ? 2 ? 函数在整个定义域上是增函数. (6)正切函数图象的对称性: 正切函数图象是中心对称图形,对称中心有无数多个,它们的 ?kπ ? ? ,0?(k∈Z) 坐标为______________ . ?2 ?

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1.4.3

【典型例题】 例 1 求函数 y= tan x+1+lg(1-tan x)的定义域.
? ?tan x+1≥0 解 由题意得? ,即-1≤tan x<1. ? ?1-tan x>0 ? π π? ? π π? 在?-2,2?内, 满足上述不等式的 x 的取值范围是?-4,4?. ? ? ? ?

又 y=tan x 的周期为 π,

所以所求 x

? π π? 的范围是?kπ-4,kπ+4? ? ?

(k∈Z).

? π π? 即函数的定义域为?kπ-4,kπ+4? ? ?

(k∈Z).

小结

求定义域时,要注意正切函数自身的限制条件,另

外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线.

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跟踪训练 1 求下列函数的定义域: 1 (1)y= ;(2)y=lg( 3-tan x). 1+tan x 1 解 (1)要使函数 y= 有意义, 1+tan x 1+tan x≠0, ? ? 只需? π (k∈Z). x≠2+kπ ? ? ? ? π π ? ? ? ∴函数的定义域为 x|x∈R,x≠kπ+2且x≠kπ-4,k∈Z?. ? ? ? ?

1.4.3

(2)由 3-tan x>0,得 tan x< 3.

π π 根据正切函数图象,得-2+kπ<x<3+kπ (k∈Z), ? ? π π ? ? ? ∴函数的定义域是 x|-2+kπ<x<3+kπ,k∈Z?. ? ? ? ?

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1.4.3

例 2 求函数


? 1 π? y=tan?-2x+4?的单调区间及最小正周期. ? ?

? 1 ?1 π? π? y=tan?-2x+4?=-tan?2x-4?, ? ? ? ?

π 1 π π 由 kπ- < x- <kπ+ (k∈Z), 2 2 4 2 π 3 得 2kπ- <x<2kπ+ π,k∈Z, 2 2 ? 1 π? ∴函数 y=tan?-2x+4?的单调递减区间是 ? ?
? π 3 ? ?2kπ- ,2kπ+ π?,k∈Z. 2 2 ? ?

周期 T=?

1?=2π. ?- ? ? 2?

π

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1.4.3

y=tan(ωx+φ) (ω>0)的单调区间的求法即是把 ωx+φ 看 π π 成一个整体,解- +kπ<ωx+φ< +kπ,k∈Z 即可.当 ω<0 2 2 小结 时,先用诱导公式把 ω 化为正值再求单调区间.

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1.4.3

例 3 利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大小: ? 6 ? ? 13 ? (1)tan?-5π?与 tan?- 7 π?;(2)tan 2 与 tan 9. ? ? ? ?



? 6 ? ? ? π? π? (1)∵tan?-5π?=tan?-π-5?=tan?-5?, ? ? ? ? ? ?

? 13 ? ? π? tan?- 7 π?=tan?-2π+7?=tan ? ? ? ?

π , 7

又函数 y=tan x

? π π? 在?-2,2?上是增函数, ? ?

π π π π 而-2<-5<7<2.
? π? ∴tan?-5?<tan ? ? ? 6 ? ? 13 ? π ?- π?<tan?- π?. ,即 tan 7 ? 7 ? 5 ? ?

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1.4.3

π (2)∵tan 9=tan(9-2π),而 <2<9-2π<π. 2
由于函数 y=tan x
?π ? 在?2,π?上是增函数, ? ?

∴tan 2<tan(9-2π),即 tan 2<tan 9.
小结 比较两个函数值的大小,只需将所涉及的两个角通过诱

导公式转化到同一个单调区间内,再借助单调性即可.正切函 ? π ? ? π π? π 数的单调递增区间为 ?-2+kπ,2+kπ? , k∈Z. 故在 ?-2,2? 和 ? ? ? ? ?π 3π? ? , ?上都是增函数. 2? ?2

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.4.3

π 1.函数 y=3tan(2x+ )的定义域是 4 π A.{x|x≠kπ+ ,k∈Z} 2 k 3π B.{x|x≠ π- ,k∈Z} 2 8 k π C.{x|x≠ π+ ,k∈Z} 2 8 k D.{x|x≠ π,k∈Z} 2

( C )

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.4.3

π 2.函数 f(x)=tan(x+ )的单调递增区间为 4 π π A.(kπ- ,kπ+ ),k∈Z 2 2 B.(kπ,(k+1)π),k∈Z 3π π C.(kπ- ,kπ+ ),k∈Z 4 4 π 3π D.(kπ- ,kπ+ ),k∈Z 4 4

( C )

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.4.3

? π? 3.在下列函数中同时满足:①在?0,2?上递增;②以 2π ? ?

为周期; ( C )

③是奇函数的是 A.y=tan x x C.y=tan 2 B.y=cos x D.y=-tan x

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.4.3

4.函数

?kπ π ? ? ? - ,0? (k∈Z) π? 3 ? ?2 y=3tan?x+3 ?的对称中心的坐标是________________ . ? ?

π kπ 解析 由 x+ = (k∈Z), 3 2

kπ π 得 x= - (k∈Z). 2 3
?kπ π ? ∴对称中心坐标为? 2 -3,0? ? ?

(k∈Z).

练一练·当堂检测、目标达成落实处
1.正切函数的图象

1.4.3

π 正切函数有无数多条渐近线, 渐近线方程为 x=kπ+ , k∈Z, 2 相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线,且单调递增. 2.正切函数的性质 (1)正切函数 y=tan x 是 R. (2)正切函数 y=tan x 的最小正周期是 π,函数 y=Atan(ωx+ π φ) (Aω≠0)的周期为 T= . |ω| ? π ? π ? (3)正切函数在 - 2+kπ,2+kπ?(k∈Z)上递增, 不能写成闭区 ? ?
? ? π 的定义域是?x|x≠kπ+2,k∈Z?,值域 ? ?

作业:第46 页6、8、9、B组2.

间.正切函数无单调减区间.

思考10、11.


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