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高中数学人教A版2018年PPT课件必修4第二章 平面向量 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角_图文

2.4.2平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角 复习 平面向量的数量积 非零向量a与b,它们的夹角为θ, a· b=|a| |b| cosθ 数量积的运算律 已知向量a、b、c和实数λ,则 ①a· b=b· a② (λa) · b=λ(a·b)③(a+b) ·c=a · c+b·c 平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量, 那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有 一对实数λ1,λ2,使a= λ1 e1+ λ2 e2 复习 数量积的性质 设a,b都是非零向量 a· b=0 ①a⊥b ②当a与b同向时,a· b=|a||b|; 当a与b反向时, a· b=-|a||b|. 特别地,a· a=|a|2或 a ? a ? a ③|a· b|≤|a||b| 探究 单位向量i, j分别与x轴,y轴方向相同 1 1 0 0 i· i =_____, j· j=______, i· j=______, j· i =_______. 已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a与 b的坐标表示a· b? ∵a=x1i+y1j, b=x2i+y2j, ∴a· b = (x1i+y1j) · (x2i+y2j) = x1x2i2+x1y2i· j+x2y1i· j+y1y2j2 = x1x2+y1y2 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 向量的长度(模) 设a =(x,y),则 |a|2= x2 ? y2 或|a |= 2 2 x ? y _______ 2 2 ? x ? x ? ? ? y ? y ? 2 1 2 1 若设A(x1,y1)、B(x2,y2),则 |AB|=_____________ 平面内两点间的距离公式 向量平行和垂直的坐标表示式 设a、b为两个向量,且a=(x1,y1),b=(x2,y2), a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 a⊥b a· b=0 x1x2+y1y2=0 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 例题讲解 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC的 形状,并给出证明. 向量的数 ? AB ? ?2 ?1,3 ? 2? ? ?1,1? ? AB ? AC ? 1? ?? 3? ?1? 3 ? 0 ? AB ? AC ∴ △ABC是直角三角形 AC ? ?2 ?1,3 ? 2? ? ?1,1? 量积是否 为零,是 判断相应 的两条线 段或直线 是否垂直 的重要方 法之一 a、b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是 a与b的夹角 a ? b ? a b cos? a?b cos ? ? ? ab x1 x2 ? y1 y2 x ?y ? x ?y 2 1 2 1 2 2 2 2 例题讲解 设a=(5,-7),b=(-6,-4),求a· b及a、b间的夹角 θ(精确到1°) 解 a· b = 5×(-6)+(-7) ×(-4) = -30+28 = -2 2 a ? 5 ? 7 ? 74 , 2 b? ?? 6? ? ?? 4? 2 2 ? 52 ?2 cos? ? ? ?0.03 74 ? 52 ? ? 1.6rad ? 92? 练习 已知i=(1,0),j=(0,1),与2i+j垂直的向量是[ B ] A. 2i-j C. 2i+j B . i-2j D . i+2j 已知a=(λ,2),b=(-3,5),且a和b的夹角是钝角,则λ的 范围是[ ] A 10 A. ? ? 3 10 C. ? ? 3 10 B. ? ? 3 10 D. ? ? 3 练习 已知 a ? ?2m ? 1,2 ? m ?, 若 a ? 10 , 则m的取值 范围为 [ B ] A. ?? 1,1? C. ? 2 , 2 B. ?? 1,1? D. ?- ?,-1? ? ?1, ?? ? ? ? 练习 已知a ? 1, 3 , b ? ? ? ? 3 ?1, 3 ?1 , 则a与b的夹角是多少? ? 分析:为求a与b夹角,需先求a· b及|a||b|,再结合夹 角θ的范围确定其值. 0≤θ≤π 解 a ? 1, 3 , b ? 3 ?1, 3 ?1 ? ? ? a?b 2 ? ab 2 a ? b ? 3 ? 1 ? 3 3 ?1 ? 4 a ? 2, b ? 2 2 记a与b的夹角为θ cos? ? ? ? ? 知三角形函 数值求角时, 应注重角的 范围的确定 又0≤θ≤π ?? ? ? 4 练习 已知a=(3,4),b=(4,3),求x,y的值使 (xa+yb)⊥a,且|xa+yb|=1. 24 ? 24 ? x? x?? ? ? ? 35 ? 35 和 ? ? ?y ? ? 5 ?y ? 5 ? 7 ? 7 ? ? 小结 向量数量积的坐标表示 向量模的计算 平面内两点间的距离公式 向量垂直的充要条件

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