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江苏省常州市武进区2014-2015学年高一下学期期末数学试卷


江苏省常州市武进区 2014-2015 学年高一下学期期末数学试卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卡相应的位 置上) 1. (5 分)不等式 x ﹣2x﹣3<0 的解集是. 2. (5 分)过两点 A(﹣2,1) ,B(m,3)的直线倾斜角是 45°,则 m 的值是. 3. (5 分)在等差数列{an}中,a1+a2=1,a3+a4=9,则 a5+a6=. 4. (5 分)已知 a>0,b>0,a+4b=ab,则 a+b 的最小值是. 5. (5 分)在△ ABC 中,B=135°,C=15°,a=5,则此三角形的最大边长为. 6. (5 分)圆 x +y =1 上的点到直线 3x+4y﹣25=0 距离的最小值为. 7. (5 分)设 a,b 是两条不重合的直线,α,β 是两个不重合的平面,给出以下四个命题: ①若 a∥b,a⊥α,则 b⊥α;②若 a⊥b,a⊥α,则 b∥α;③若 a⊥α,a⊥β,则 α∥β;④ 若 a⊥β,α⊥β,则 a∥α.其中所有正确命题的序号是 . 8. (5 分)已知等比数列的前 n 项和为 Sn,若 S3:S2=3:2,则公比 q=.
2 2 2

9. (5 分)若变量 x,y 满足

,则 2

x+y

的最大值为,

的取值范围.

10. (5 分)将一张坐标纸折叠一次,使点(0,2)与点(4,0)重合,且点(7,3)与点 (m,n)重合,则 m+n 的值是. 11. (5 分)如图所示,ABCD 是空间四边形,E、F、G、H 分别是四边上的点,并且 AC∥ 面 EFGH,BD∥面 EFGH,AC=2,BD=4,当 EFGH 是菱形时, 的值是.

12. (5 分)若关于 x 的不等式 ax ﹣|x|+2a<0 的解集为?,则实数 a 的取值范围为. 13. (5 分)在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 C:x +y ﹣(6﹣2m)x﹣4my+5m ﹣6m=0, 直线 l 经过点(﹣1,1) ,若对任意的实数 m,直线 l 被圆 C 截得的弦长都是定值,则直线 l 的方程为.
2 2 2

2

14. (5 分)记数列{an}的前 n 项和为 Sn,若不等式 an + 意正整数 n 都成立,则实数 m 的最大值为.

2

≥ma1 对任意等差数列{an}及任

2

二、解答题(本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 15. (14 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 acosB﹣(2c﹣b)cosA=0. (1)求角 A 的大小; (2)若 a=2,求△ ABC 面积的最大值. 16. (14 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,四边形 ABCD 是矩形,侧面 PAD⊥底面 ABCD, 若点 E,F 分别是 PC,BD 的中点. (1)求证:EF∥平面 PAD; (2)求证:平面 PAD⊥平面 PCD.

17. (14 分) 已知△ ABC 的顶点 A (5, 1) , AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2x﹣y﹣5=0, AC 边上的高 BH 所在直线方程为 x﹣2y﹣5=0.求: (1)顶点 C 的坐标; (2)直线 BC 的方程. 18. (16 分)某工厂年初用 49 万元购买一台新设备,第一年设备维修及原料消耗的总费用 6 万元,以后每年都增加 2 万元,新设备每年可给工厂创造收益 25 万元. (1)工厂第几年开始获利? (2)若干年后,该工厂有两种处理该设备的方案:①年平均收益最大时,以 14 万元出售 该设备;②总收益最大时,以 9 万元出售该设备.问出售该设备后,哪种方案年平均收益 较大? 19. (16 分)已知圆 O:x +y =4,直线 l:y=kx﹣4. (1)若直线 l 与圆 O 交于不同的两点 A、B,当∠AOB= 时,求 k 的值.
2 2

(2)若 k=1,P 是直线 l 上的动点,过 P 作圆 O 的两条切线 PC、PD,切点为 C、D,问: 直线 CD 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,说明理由. (3)若 EF、GH 为圆 O:x +y =4 的两条相互垂直的弦,垂足为 M(1, EGFH 的面积的最大值.
? 2 2

) ,求四边形

20. (16 分)已知数列{an}满足:a1= ,a2= ,2an=an+1+an﹣1(n≥2,n∈N ) ,数列{bn}满足: b1<0,3bn﹣bn﹣1=n(n≥2,n∈R) ,数列{bn}的前 n 项和为 Sn. (Ⅰ)求证:数列{bn﹣an}为等 比数列; (Ⅱ)求证:数列{bn}为递增数列; (Ⅲ)若当且仅当 n=3 时,Sn 取得最小值,求 b1 的取值范围.

江苏省常州市武进区 2014-2015 学年高一下学期期末数 学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卡相应的位 置上) 1. (5 分)不等式 x ﹣2x﹣3<0 的解集是(﹣ 1,3) . 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 计算题. 分析: 将不等式左边的多项式分解因式, 根据异号两数相乘积为负数转化为两个一元一次 不等式组,求出不等式的解集即可得到原不等式的解集. 2 解答: 解:不等式 x ﹣2x﹣3<0, 因式分解得: (x﹣3) (x+1)<0, 可得: 或 ,
2

解得:﹣1<x<3, 则原不等式的解集为(﹣1,3) . 故答案为: (﹣1,3) 点评: 此题考查了一元二次不等式的解法,利用了转化的思想,是一道基本题型. 2. (5 分)过两点 A(﹣2,1) ,B(m,3)的直线倾斜角是 45°,则 m 的值是 0. 考点: 专题: 分析: 解答: 直线的倾斜角;直线的斜率. 直线与圆. 利用直线的斜率关系求解即可. 解:两点 A(﹣2,1) ,B(m,3)的直线倾斜角是 45°,

可得

,解得 m=0,

故答案为:0. 点评: 本题考查直线方程的应用,直线的斜率与倾斜角的关系,基本知识的考查. 3. (5 分)在等差数列{an}中,a1+a2=1,a3+a4=9,则 a5+a6=17. 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 根据所给的等差数列的前两项之和,和 S4﹣S2,根据三项成等差数列,根据等差 数列的性质做出结果. 解答: 解:∵等差数列{an}中,a1+a2=1,a3+a4=9, ∴S2=1,S4﹣S2=9, ∴S6﹣S4=2×9﹣1=17. 故答案为:17. 点评: 本题考查等差数列的性质,在等差数列中 Sn,S2n﹣Sn,S3n﹣S2n 三项成等差数列, 这是常用的等差数列的性质. 4. (5 分)已知 a>0,b>0,a+4b=ab,则 a+b 的最小值是 9. 考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由题意可得 + =1,可得 a+b=(a+b) ( + )=5+ + 得. 解答: 解:∵a>0,b>0,a+4b=ab, ∴ =1,即 + =1, ,由基本不等式求最值可

∴a+b=(a+b) ( + ) =5+ + ≥5+2 =9 即 a=6 且 b=3 时取等号,

当且仅当 =

故答案为:9 点评: 本题考查基本不等式求最值,适当变形是解决问题的关键,属基础题. 5. (5 分)在△ ABC 中,B=135°,C=15°,a=5,则此三角形的最大边长为 .

考点: 正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 首先根据最大角分析出最大边, 然后根据内角和定理求出另外一个角, 最后用正弦 定理求出最大边. 解答: 解:因为 B=135°为最大角,所以最大边为 b,

根据三角形内角和定理:A=180°﹣(B+C)=30° 在△ ABC 中有正弦定理有:

故答案为: . 点评: 本题主要考查了正弦定理应用,在已知两角一边求另外边时采用正弦定理. 6. (5 分) 圆 x +y =1 上的点到直线 3x+4y﹣25=0 距离的最小值为 4. 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 圆心 (0, 0) 到直线 3x+4y﹣25=0 的距离 d= ﹣25=0 距离的最小值是 AC=5﹣r,从而可求 解答: 解:∵圆心(0,0)到直线 3x+4y﹣25=0 的距离 d= ∴圆 x +y =1 上的 点到直线 3x+4y﹣25=0 距离的最小值是 AC=5﹣r=5﹣1=4 故答案为:4
2 2 2 2

, 圆 x +y =1 上的点到直线 3x+4y

2

2

点评: 本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用, 解题的关键是把所求的距离转化为求 圆心到直线的距离,要注意本题中的 BC 是满足圆上的点到直线的距离的最大值 7. (5 分)设 a,b 是两条不重合的直线,α,β 是两个不重合的平面,给出以下 四个命题: ①若 a∥b,a⊥α,则 b⊥α;②若 a⊥b,a⊥α,则 b∥α;③若 a⊥α,a⊥β,则 α∥β;④ 若 a⊥β,α⊥β,则 a∥α.其中所有正确命题的序号是 ①③. 考点: 平面与平面平行的判定. 专题: 阅读型.

分析: 根据线面垂直的判定定理、面面平行的判定定理、以及性质进行逐一进行判定,不 正确的举反例即可. 解答: 解: : ①若 a∥b, a⊥α, 根据两平行线中一条垂直与平面, 则另一条也垂直与平面, 所以 b⊥α,故正确; ②若 a⊥b,a⊥α,则 b∥α 或 b?α,故不正确; ③若 a⊥α,a⊥β,则 α∥β,根据垂直与同一直线的两平面平行可知,正确; ④若 a⊥β,α⊥β,则 a∥α 或 a?α,故不正确; 故答案为:①③ 点评: 本题考查平面与平面平行的判定, 以及线面垂直的判定定理等有关知识, 考查空间 想象能力,是基础题.

8. (5 分)已知等比数列的前 n 项和为 Sn,若 S3:S2=3:2,则公比 q=



考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 验证 q=1 是否满足题意,q≠1 时,代入求和公式可得关于 q 的方程,解方程可得. 解答: 解:若 q=1,必有 S3:S2=3a1:2a1=3:2,满足题意; 故 q≠1,由等比数列的求和公式可得 S3:S2= 化简可得 2q ﹣q﹣1=0,解得 q=﹣ , 综上,q= 故答案为: . .
2



=3:2,

点评: 本题考查等比数列的前 n 项和公式,涉及分类讨论的思想,属中档题.

9. (5 分)若变量 x,y 满足

,则 2

x+y

的最大值为 8,

的取值范围



考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域, 利用目标函数的几何意义, 结合数形结合即可得到 结论. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图, 设 z=x+y, 由 z=x+y 得 y=﹣x+z,平移直线 y=﹣x+z, 由图象可知当直线 y=﹣x+z 经过点 A 时,

直线 y=﹣x+z 的截距最大,此时 z 最大. 由 ,

解得

,即 A(1,2) ,
x+y 3

代入目标函数 z=x+y=1+2=3. 此时 2 设 k= 的最大值为 2 =8. ,

则 k 的几何意义为区域内的点到定点 D(2,﹣1)的斜率, 由图象知,AD 的斜率最小为 k= OD 的斜率最大为 k= 故﹣3 故答案为:8, , . = , =﹣3,

点评: 本题主要考查线性规划的应用, 利用目标函数的几何意义, 结合数形结合的数学思 想是解决此类问题的基本方法. 10. (5 分)将一张坐标纸折叠一次,使点(0,2)与点(4,0)重合,且点(7,3)与点 (m,n)重合,则 m+n 的值是 .

考点: 直线的点斜式方程. 专题: 计算 题. 分析: 根据坐标纸折叠后(0,2)与(4,0)重合得到两点关于折痕对称 ,利用中点坐 标公式求出(0,2)和(4,0)的中点,再求出两点确定的直线方程的斜率,根据两直线垂 直时斜率的关系求出中垂线的斜率, 根据求出的中点坐标和斜率写出折痕的直线方程, 根据

(7,3)和(m,n)也关于该直线对称,利用中点坐标公式求出中点代入直线方程及求出 (7,3)和(m,n)确定的直线斜率,利用两直线垂直时斜率的关系列出关于 m 与 n 的两 个方程,联立求出 m 与 n 的值,即可得到 m+n 的值. 解答: 解:点(0,2)与点(4,0)关于折痕对称,两点的中点坐标为( (2,1) , 两点确定直线的斜率为 =﹣ , )=

则折痕所在直线的斜率为 2,所以折痕所在直线的方程为:y﹣1=2(x﹣2) 由点(0,2)与点(4,0)关于 y﹣1=2(x﹣2)对称, 得到点(7,3)与点(m,n)也关于 y﹣1=2(x﹣2)对称,



,得

所以 m+n= 故答案为: 点评: 此题考查学生灵活运用中点坐标公式及两直线 垂直时斜率的关系化简求值,会求 线段垂直平分线的直线方程,是一道中档题. 11. (5 分)如图所示,ABCD 是空间四边形,E、F、G、H 分别是四边上的点,并且 AC∥ 面 EFGH,BD∥面 EFGH,AC=2,BD=4,当 EFGH 是菱形时, 的值是 .

考点: 点、线、面间的距离计算. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由已知条件 BEF∽△BAC,从而 △ AEH∽△ABD,得 = ,同理得 ,同理,得 ,由此能求出结果. ,进而推导出

解答: 解:∵AC∥平面 EFGH, AC、EF 在平面 ABC 内, ∴AC∥EF,∴△BEF∽△BAC, ∴ ,

同理,得 又∵EF=HG,∴

, ,

∴EH∥BD,∴△AEH∽△ABD, ∴ = ,①,同理得 ,② = ,

又∵EH=EF,∴①÷②得: ∴ = .

故答案为: . 点评: 本题考查两条线段的比值的求法, 解题时要认真审题, 注意三角形相似的性质的合 理运用. 12. (5 分)若关于 x 的不等式 ax ﹣|x|+2a<0 的解集为?,则实数 a 的取值范围为
2



考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 计算题. 分析: 将不等式进行等价转化为 a< = ,解集为空集时,a 大于或等于

的最大值,利用基本不等式

求出

的最大值.

解答: 解:不等式即 a<

=

,∵此不等式解集为?,

∴a 大于或等于

的最大值.又|x|+

≥2





的最大值是

=

,∴a≥



故答案为:a≥



点评: 本题考查绝对值不等式的解法,体现了等价转化的数学思想.

13. (5 分)在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 C:x +y ﹣(6﹣2m)x﹣4my+5m ﹣6m=0, 直线 l 经过点(﹣1,1) ,若对任意的实数 m,直线 l 被圆 C 截得的弦长都是定值,则直线 l 的方程为 2x+y+1=0. 考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 直线与圆. 分析: 先将圆的方程化为标准式,求出圆心和半径,通过分析可以看出,圆心在一条直线 m 上,半径是定值 3,所以直线 l∥m,才能满足截得的弦长是定值. 2 2 2 解答: 解:将圆 C:x +y ﹣(6﹣2m)x﹣4my+5m ﹣6m=0 化为标准式得 2 2 (x﹣(3﹣m) ) +(y﹣2m) =9 ∴圆心 C(3﹣m,2m) ,半径 r=3, 令 ,消去 m 得 2x+y﹣6=0,

2

2

2

所以圆心在直线 2x+y﹣6=0 上, 又∵直线 l 经过点(﹣1,1) ,若对任意的实数 m,直线 l 被圆 C 截得的弦长都是定值, ∴直线 l 与圆心所在直线平行, ∴设 l 方程为 2x+y+C=0,将(﹣1,1)代入得 C=1, ∴直线 l 的方程为 2x+y+1=0. 故答案为 2x+y+1=0. 点评: 有关直线与圆的位置关系的问题,一般采用几何法,即先求出圆心与半径,然后画 出图象,利用点到圆心的距离,半径,弦长等的关系解决问题.

14. (5 分)记数列{ an}的前 n 项和为 Sn,若不等式 an + 意正整数 n 都成立,则实数 m 的最大值为 .

2

≥ma1 对任意等差数列{an}及任

2

考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 令 (n﹣1)d=m,由 an + 取到最小值,由此能求出结果. 解答: 解:an + =an +
2 2 2 2

=an + =5(m﹣

2 2

) +2a1 ﹣

2

2

,当 m=

时,

=an +

2

2

令 (n﹣1)d=m,

an +

2

=(a1+2m) +(a1+m)

2

2

=2a1 +6ma1+5m =5(m﹣ 当 m=

2

2

) +2a1 ﹣ 时,取到最小值 ,即 n=
2

2

2



即 (n﹣1 )d=
2



∵不等式 an + ∴m .

≥ma1 对任意等差数列{an}及任意正整数 n 都成立,

∴实数 m 的最大值为 . 故答案为: . 点评: 本题考查实数的最大值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意配方法的合理 运用. 二、解答题(本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 15. (14 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 acosB﹣(2c﹣b)cosA=0. (1)求角 A 的大小; (2)若 a=2,求△ ABC 面积的最大值. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)由正弦定理化简已知等式可得 sinC(1﹣2cosA)=0,结合范围 0<C<π,可 得 ,又结合 0<A<π,即可求得 A 的值.
2 2

(2)由已知及余弦定理 4=b +c ﹣bc≥bc,可得 bc≤4,当且仅当 b=c=4 时,取“=”,由三角 形面积公式即可得解. 解答: (本小题满分 14 分) 解: (1)因为 acosB﹣(2c﹣b)cosA=0, 由正弦定理得:sinAcosB﹣(2sinC﹣sinB)cosA=0, 所以可得:sinC(1﹣2cosA)=0.…(2 分) 因为 0<C<π,所以 sinC>0,…(4 分) 所以 ,又 0<A<π,所以
2 2 2

.…(7 分)

(2)由余弦定理得 a =b +c ﹣2bccosA, 2 2 所以 4=b +c ﹣bc≥bc,所以 bc≤4, 当且仅当 b=c=4 时,上式取“=”,…(10 分)

所以△ ABC 面积为



所以△ ABC 面积的最大值为 .…(14 分) 点评: 本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形面积公式的应用,属于基本知识的考 查. 16. (14 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,四边形 ABCD 是矩形,侧面 PAD⊥底面 ABCD, 若点 E,F 分别是 PC,BD 的中点. (1)求证:EF∥平面 PAD; (2)求证:平面 PAD⊥平面 PCD.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 证明题;空间位置关系与距离. 分析: (1)利用三角形中位线的性质,可得线线平行,证明 EFGH 为平行四边形,可得 EF∥GH,进而可得线面平行; (2)先证明线面垂直,再证明面面垂直即可. 解答: 证明: (1)设 PD 中点为 H,AD 中点为 G,连结 FG,GH,HE, ∵G 为 AD 中点,F 为 BD 中点, ∴GF∥AB 且 EF= 同理 EH∥CD 且 EF= , ,

∵ABCD 为矩形,∴AB∥CD,AB=CD, ∴GF∥EH,GF=EH, ∴EFGH 为平行四边形,∴EF∥GH, 又∵GH?面 PAD,EF?面 PAD,∴EF∥面 PAD. (2)∵面 PAD⊥面 ABCD,面 PAD∩面 ABCD=AD, 又∵ABCD 为矩形,∴CD⊥AD, ∴CD⊥面 PAD 又∵CD?面 PCD,∴面 PAD⊥面 PCD.

点评: 本题考查线面平行、面面垂直,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 17. (14 分) 已知△ ABC 的顶点 A (5, 1) , AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2x﹣y﹣5=0, AC 边上的高 BH 所在直线方程为 x﹣2y﹣5=0.求:

(1)顶点 C 的坐标; (2)直线 BC 的方程. 考点: 直线的一般式方程. 专题: 直线与圆. 分析: (1)设 C(m,n) ,利用点与直线的位置关系、相互垂直的直线斜率之间的关系 即可得出; (2)利用中点坐标公式、点斜式即可得出. 解答: 解: (1)设 C(m,n) , ∵AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2x﹣y﹣5=0,AC 边上的高 BH 所在直线方程为 x﹣ 2y﹣5=0.



,解得



∴C(4,3) . (2)设 B(a,b) ,则 ∴B(﹣1,﹣3) . ∴kBC= = ,解得 .

∴直线 BC 的方程为 y﹣3= (x﹣4) ,化为 6x﹣5y﹣9=0. 点评: 本题考查了点与直线的位置关系、 相互垂直的直线斜率之间的关系、 中点坐标公式、 点斜式,考查了计算能力,属于基础题. 18. (16 分)某工厂年初用 49 万元购买一台新设备,第一年设备维修及原料消耗的总费用 6 万元,以后每年都增加 2 万元,新设备每年可给工厂创造收益 25 万元. (1)工厂第几年开始获利? (2)若干年后,该工厂有两种处理该设备的方案:①年平均收益最大时,以 14 万元出售 该设备;②总收益最大时,以 9 万元出售该设备.问出售该设备后,哪种方案年平均收益 较大? 考点: 数列与函数的综合;函数模型的选择与应用. 专题: 函数的性质及应用;等差数列与等比数列. 分析: (1)判断费用是以 6 为首项,2 为公差的等差数列,设第 n 年时累计的纯收入为 f (n) .求出通项公式,利用 f(n)>0,列出不等式,求解即可. (2)方案①:列出年平均收入利用基本不等式求出最值;方案②:利用数列的函数的特 征,通过二次函数求解最值即可. 解答: (本题满分 16 分) 解: (1)由题设,每年费用是以 6 为首项,2 为公差的等差数列, 设第 n 年时累计的纯收入为 f(n) . 2 ∴f(n)=25n﹣﹣49=﹣n +20n﹣49,…(3 分)

获利即为:f(n)>0∴﹣n +20n﹣49>0,即 n ﹣20n+49<0 ?10﹣ ,又 n∈N,∴n=3,4,5,…,17. …6 分 ∴当 n=3 时,即第 3 年开始获利;…(7 分) (2)方案①:年平均收入 出售该设备后,年平均收益为 方案②:f(n)=﹣(n﹣10) +51, ∴当 n=10 时,f(n)max=51, 出售该设备后,年平均收益为 (万元) ,…15 分
2

2

2

(万元) ,此时 n=7, (万元) ;…11 分

故第一种方案年平均收益较大. …16 分 点评: 本题考查数列与函数的综合应用,基本不等式求解最值,武承嗣的性质的应用,考 查分析问题解决问题的能力. 19. (16 分)已知圆 O:x +y =4,直线 l:y=kx﹣4. (1)若直线 l 与圆 O 交于不同的两点 A、B,当∠AOB= 时,求 k 的值.
2 2

(2)若 k=1,P 是直线 l 上的动点,过 P 作圆 O 的两条切线 PC、PD,切点为 C、D,问: 直线 CD 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,说明理由. (3)若 EF、GH 为圆 O:x +y =4 的两条相互垂直的弦,垂足为 M(1, EGFH 的面积的最大值.
2 2

) ,求四边形

考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 直线与圆. 分析: (1)求出点 O 到 l 的距离,然后求解 k 即可. 2 2 (2)设 P(t,t﹣4) .其方程为:x(x﹣t)+y(y﹣t+4)=0,利用 C、D 在圆 O:x +y =4 上,求出 CD 方程,利用直线系求解即可. (3)设圆心 O 到直线 EF、GH 的距离分别为 d1,d2.通过 积表达式,然后求解最值. 解答: (本题满分 16 分) 解: (1)∵∠AOB= ∴ = ?2? ,∴点 O 到 l 的距离 …4 分 …2 分 ,求出面

(2)由题意可知:O、P、C、D 四点共圆且在以 OP 为直径的圆上,设 P(t,t﹣4) . 其方程为:x(x﹣t)+y(y﹣t+4)=0 2 2 即 x ﹣tx+y ﹣(t﹣4)y=0,…6 分 2 2 又 C、D 在圆 O:x +y =4 上, ∴lCD:tx+(t﹣4)y﹣4=0 即 (x+y)t﹣4y﹣4=0…8 分 由 得

∴直线 CD 过定点(1,﹣1)…10 分 (3)设圆心 O 到直线 EF、GH 的距离分别为 d1,d2. 则 ∴ ∴ 当且仅当 即 时,取“=”,…14 分 ,…12 分 , ,

∴四边形 EGFH 的面积的最大值为 5.…16 分 点评: 本题考查直线与圆的方程的综合应用, 直线系方程的应用, 考查分析问题解决问题 的能力. 20. (16 分)已知数列{an}满足:a1= ,a2= ,2an=an+1+an﹣1(n≥2,n∈N ) ,数列{bn}满足: b1<0,3bn﹣bn﹣1=n(n≥2,n∈R) ,数列{bn}的前 n 项和为 Sn. (Ⅰ)求证:数列{bn﹣an}为等比数列; (Ⅱ)求证:数列{bn}为递增数列; (Ⅲ)若当且仅当 n=3 时,Sn 取得最小值,求 b1 的取值范围. 考点: 数列递推式;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由已知得{an}是等差数列, an+1= 公比的等比数列. (Ⅱ)由
1= ?

,bn+1﹣ 为首项, 以 为

=

. 由此能证明{bn﹣an}是以

.得当 n≥2 时,bn﹣bn﹣ .由此能证明{bn}是单调递增数列.

(Ⅲ)由已知得

,由此能求出 b1 的取值范围.
?

解答: 解: (Ⅰ)∵2an=an+1+an﹣1(n≥2,n∈N ) , ∴{an}是等差数列. 又∵a1= ,a2= , ∴ ∵ , , (n≥2,n∈N ) ,
*

∴bn+1﹣an+1= = = 又∵ ∴{bn﹣an}是以 = . , 为首项,以 为公比的等比数列.

(Ⅱ)∵bn﹣an=(b1﹣ )?( ) ∴ 当 n≥2 时,bn﹣bn﹣1= 又 b1<0,∴bn﹣bn﹣1>0. ∴{bn}是单调递增数列.

n﹣1

, .





(Ⅲ)∵当且仅当 n=3 时,Sn 取最小值.



,即



∴b1∈(﹣47,﹣11) . 点评: 本题考查等比数列的证明,考查增数列的证明,考查数列 的首项的取值范围的求 法,解题时要认真审题,注意构造法的合理运用.


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