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高中数学《函数的奇偶性》ppt课件


淄博十一中景在荣

1.已知函数f(x)=x2,求f(-2),f(2), f(-1),f(1),及f(-x) ,并画出它的图象。 解: f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4
f(-2)=f(2) (-x,y)
f(-x) y

( x,y)
f(x) x

f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1 f(-x)=(-x)2=x2

f(-1)=f(1)
f(-x)=f(x)

-x

o

x

2.已知f(x)=x3,画出它的图象,并求出f(-2),f(2),f(-1),f(1)及f(-x)
y

解:f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8 f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1 f(-x)=(-x)3=-x3

f(-2)= - f(2) f(-1)= - f(1)
-x f(-x)

(x,y)
f(x)

f(-x)= - f(x)

o

x

x

(-x,-y)

思考 : 你发现了什么规律?

1.函数奇偶性的概念:
偶函数定义:
如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),
那么函数f(x)就叫偶函数.

奇函数定义:
如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x) ,
那么函数f(x)就叫奇函数.

☆对奇函数、偶函数定义的说明:
(1). 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。
[-b,-a]

o

[a ,b]

x

(2).奇、偶函数定义的逆命题也成立,即: 若f(x)为奇函数, 则f(-x)=-f(x)成立。

若f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。
(3) 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x) 具有奇偶性。

(1)图像法
(2)定义法

例1.根据下列函数图象,判断函数奇偶性.
y y

x

x

f ( x) ? ? x ? 2
2
y

f ( x) ? -x 2 ? 2 x
y

x

x

f ( x) ? 2 x ? 1

f ( x) ? 2 x , x ? 1

y
-a

(a,f(a))

o

a

x

(-a,f(-a))

奇函数的图象关于原点对称,反过来, 如果一个函数的图象关于原点对称, 那么这个函数是奇函数.

y
(-a,f(-a)) -a (a,f(a))

o

a

x

偶函数的图象关于y轴对称,反过来, 如果一个函数的图象关于y轴对称, 那么这个函数是偶函数.

例2. 判断下列函数的奇偶性
(1) f(x)=x3+2x
解: 定义域为R

(2)

f(x)=2x4+3x2

解: 定义域为R

∵f(-x)=(-x)3+2(-x) = -x3-2x

∵f(-x)=2(-x)4+3(-x)2
=2x4+3x2

= -(x3+2x) 即 f(-x)= - f(x) ∴f(x)为奇函数 即 f(-x)= f(x) ∴f(x)为偶函数

练习1. 说出下列函数的奇偶性:
偶函数 ①f(x)=x4 ________
奇函数 ② f(x)=x ________ 奇函数 ③ f(x)=x5 __________

奇函数 ④ f(x)= x -1 __________
⑤f(x)=x -2 ⑥f(x)=x -3 偶函数 __________ 奇函数 _______________

说明:对于形如 f(x)=x n 的函数,
若n为偶数,则它为偶函数。 若n为奇数,则它为奇函数。

☆ 说明: 用定义判断函数奇偶性的步骤: ⑴先求定义域,看是否关于原点对称; ⑵再判断f(-x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否 恒成立。

练习2. 判断下列函数的奇偶性
1 (1) f(x)=x- x 解:定义域为﹛x|x≠0﹜ ∵f(-x)=(-x) = -x+ 1 1

(2) f(x)= - x2 +1
解:定义域为R

-x

∵f(-x)= -(-x)2+1
= - x2+1 即 f(-x)= f(x)

x 即 f(-x)= - f(x)

∴f(x)为奇函 数

∴f(x)为偶函数

(3). f(x)=5
解: (3) f(x)的定义域为 R ∵ f(-x)=f(x)=5 ∴f(x)为偶函数 y

(4) f(x)=0
解: (4)定义域为R ∵ f(-x)=f(x)=0 又 f(-x)=-f(x)=0 ∴f(x)为既奇又偶函数 y

5

o

x

o

x

说明: 函数f(x)=0 (定义域关于原点对称),为既奇又偶函数。

(5). f(x)=x+1 解: (5) ∵ f(-x)= -x+1 - f(x)= -x-1

(6). f(x)=x2 x∈[- 1 , 3] 解: (6)∵定义域不关于原点 对称

∴f(-x)≠f(x)
且f(-x)≠ –f(x) ∴f(x)为非奇非偶函数 y

∴f(x)为非奇非偶函数

y

o

x

-1 o

3 x

奇函数

说明:根据奇偶性,

偶函数 函数可划分为四类: 既奇又偶函数 非奇非偶函数

用定义法判断函数奇偶性解题步骤:
(1)先确定函数定义域,并判断 定义域是否关于原点对称; (2)求f(-x),找 f(x)与f(-x)的关系; 若f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数; 若f(-x)= - f(x),则f(x)是奇函数. (3)作出结论.
给出函数

判断定义域 是否对称 是 f(-x)与f(x)



f(x)是偶函数或奇函数或非奇非偶函 数或即是奇函数又是偶函数。
结论

2.奇偶函数图象的性质:
⑴ 奇函数的图象关于原点对称. 反过来,如果一个函数的图象关于原点对称, 那么这个函数为奇函数. ⑵ 偶函数的图象关于y轴对称. 反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称, 那么这个函数为偶函数.
注:奇、偶函数图象的性质可用于:
①.简化函数图象的画法。 ②.判断函数的奇偶性。

例3 已知函数y=f(x)是偶函数,它在y轴右边的图象如图, 画出y=f(x)在 y轴左边的图象。 y

o

x

1奇偶性定义:对于函数f(x),在它的定义域内, ①若有f(-x)=-f(x), 则f(x)叫做奇函数;

②若有f(-x)=f(x), 则f(x)叫做偶函数。
2图象性质: 奇函数的图象关于原点对称;

偶函数的图象关于y轴对称.
3判断奇偶性方法:图象法,定义法。 4定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提

作业: 课本 P39

A T6 B T3


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