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2018版高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义导学案新人教A版必修4


2.2.3 学习目标 向量数乘运算及其几何意义 1.了解向量数乘的概念,并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的 运算律,会运用向量数乘运算律进行向量运算 .3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方 法,并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题. 知识点一 向量数乘的定义 思考 1 实数与向量相乘结果是实数还是向量? 答案 向量. 思考 2 向量 3a,-3a 与 a 从长度和方向上分析具有怎样的关系? 答案 3a 的长度是 a 的长度的 3 倍,它的方向与向量 a 的方向相同. -3a 的长度是 a 的长度的 3 倍,它的方向与向量 a 的方向相反. 思考 3 λ a 的几何意义是什么? 答案 λ a 的几何意义就是将表示向量 a 的有向线段伸长或压缩. 当|λ |>1 时,表示 a 的有向线段在原方向(λ >0)或反方向(λ <0)上伸长为原来的|λ |倍. 梳理 向量数乘运算 实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作 λ a,其长度与方向规定 如下: (1)|λ a|=|λ ||a|. (2)λ a (a≠0)的方向? ?当λ >0时,与a方向相同, ? ? ?当λ <0时,与a方向相反; 特别地,当 λ =0 或 a=0 时,0a=0 或 λ 0=0. 知识点二 向量数乘的运算律 思考 类比实数的运算律,向量数乘有怎样的运算律? 答案 结合律,分配律. 梳理 向量数乘运算律 (1)λ (μ a)=(λ μ )a; (2)(λ +μ )a=λ a+μ a; (3)λ (a+b)=λ a+λ b. 知识点三 向量共线定理 思考 1 若 b=2a,b 与 a 共线吗? 答案 根据共线向量及向量数乘的意义可知,b 与 a 共线. 如果有一个实数 λ ,使 b=λ a(a≠0),那么 b 与 a 是共线向量;反之,如果 b 与 a(a≠0) 是共线向量,那么有且只有一个实数 λ ,使得 b=λ a. 思考 2 若 b 与非零向量 a 共线,是否存在 λ 满足 b=λ a?若 b 与向量 a 共线呢? 答案 若 b 与非零向量 a 共线,存在 λ 满足 b=λ a;若 b 与向量 a 共线,当 a=0,b≠0 时, 不存在 λ 满足 b=λ a. 梳理 (1)向量共线定理 向量 a (a≠0)与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 λ ,使 b=λ a. (2)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,对于任意向量 a、b,以及任意实数 λ 、 μ 1、μ 2,恒有 λ (μ 1a±μ 2b)=λ μ 1a±λ μ 2b. 类型一 向量数乘的基本运算 1 例 1 (1)化简: [2(2a+4b)-4(5a-2b)]. 4 解 1 [2(2a+4b)-4(5a-2b)] 4 1 = (4a+8b-20a+8b) 4 1 = (-16a+16b) 4 =-4a+4b. (2)已知向量为 a,b,未知向量为 x,y,向量 a,b,x,y 满足关系式 3x-2y=a,-4x+3y =b,求向量 x,y. ? ① ?3x-2y=a, 解 ? ?-4x+3y=b, ② ? 由①×3+②×2,得 x=3a+2b,代入①得 3×(3a+2b)-2y=a, 所以 x=3a+2b,y=4a+3b. 反思与感悟 (1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算,例如实数运算中的去括号、移 项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是这里的“同类 项”、“公因式”是指向量,实数

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