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2014届高三高考数学解题方法专题复习学案:不等式的“合作意识”_图文

不等式的“合作意识” 不等式是高中数学的重点知识, 它是一种重要的解题工具. 预测今后高考在考查不等式 的基本概念、性质和运算的同时,会更加注重在知识的交汇点处命题,与其它知识的融合与 渗透,将成为高考的热点.通过分析近两年的考题,我们发现不等式与下列知识点的“合作 意识”很强. 一、不等式与集合“合作” 例 1 设集合 M ? {x x 2 ? x ? 0} ,N ? {x x ? 2} ,则( (A) M (C) M ) . N ?? N ?M (B) M (D) M N ?M N ?R [] 解 析 : 由 题 意 , 得 M ? {x 0 ? x ? 1},N ? {x ?2 ? x ? 2} , 则 N ? { x ?2 ? x ? 2} ? N . M N ? { x 0 ? x ? 1} ? M, M 故应选(B) . 点评: 本题考查了解一元二次不等式、 集合的运算等, 比较简单, 我们平时在练习这类题时, 也可以适当加深难度. 二、不等式与函数“合作” 例 2 设 f ( x) ? ? ?2e x ?1, x ? 2, ? .则不等式 f ( x) ? 2 的解集为( 2 log ( x ? 1) , x ≥ 2. ? ? 3 (B) ( 10 ,+∞) (D) (1,2) [来源:] ) (A) (1,2)∪(3,+∞) (C) (1,2)∪( 10 ,+∞) 解析:要求出满足题意的不等式的解集, 需有 ? ?2e x ?1 ? 2, ? x ? 2. .或 ? ?log 3 ( x 2 ? 1) ? 2, ? x ≥ 2. . 分别解这两个不等式组,得 1 ? x ? 2 ,或 x ? 10 . 故选(C) . 点评:融指数、对数、分类讨论于“简单”的不等式中,实为难得一练的好题. 三、不等式与数列“合作” 例 3 已知二次函数 y ? f ( x) 的图象经过坐标原点, 其导函数为 f ?( x) ? 6 x ? 2 , 数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,点 (n,S n )(n ? N? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图象上. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? m 3 对所有 n ? N? 都成立的 ,Tn 是数列 {an } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 20 an an ?1 第 1 页 共 3 页 最小正整数 m; 解: (1)依题意可设 f ( x) ? ax ? bx(a ? 0) , 2 则 f ?( x) ? 2ax ? b ,由 f ?( x) ? 6 x ? 2 ,得 所以 f ( x) ? 3 x ? 2 x . 2 a ? 3,b ? ?2 , [来源:] 又由点 (n,S n )(n ? N? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图象上, 得 S n ? 3n 2 ? 2n . 当 n ≥ 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? (3n 2 ? 2n) ? [3(n ? 1) 2 ? 2(n ? 1)] ? 6n ? 5 ; 又当 n=1 时, a1 ? S1 ? 3 ? 12 ? 2 ? 1 ? 1 ? 6 ? 1 ? 5 . 所以 an ? 6n ? 5(n ? N? ) . (2)由(1) ,得 bn ? 3 3 1? 1 1 ? ? ? ? ? ?, an an ?1 (6n ? 5)[6(n ? 1) ? 5] 2 ? 6n ? 5 6n ? 1 ? 1 ?? 1 ? 1 ? ? 1 ?? ? ? ? ? ?1 ? ?. ? 6n ? 5 6n ? 1 ? ? 2 ? 6n ? 1 ? 故 Tn ? 1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? 2? ?? 7 ? ? 7 13 ? 因此,使得 1 m 1? 1 ? m , (n ? N? ) 成立的 m 必须且仅需满足 ≤ ?1 ? ?? 2 20 2 ? 6n ? 1 ? 20 即 m ≥ 10 ,故满足要求的最小正整数 m 为 10. 点评:本题把二次函数、导数、等差数列求和、不等式等知识交汇在一起,对推理能力的要 求较高,特别是从 m 1? 1 ? m 1 到 ≤ ,这一步推理的思维跨度较大. ?1 ? ?? 2 ? 6n ? 1 ? 20 2 20 四、不等式与向量“合作” 例 4 已知向量 a ? (?2,, 2) b ? (5,k ) .若 a + b 不超过 5,则 k 的取值范围是( (A) [-4,6] (C) [-6,2] 2 ) . (B) [-6,4] (D) [-2,6] 解析:∵ a + b ? (5 ? 2) 2 ? (2 ? k ) 2 ? 13 ? k 2 ? 4k ≤ 25 , ∴ k 2 ? 4k ? 12 ≤ 0 ,解得 ?6 ≤ k ≤ 2 . [] 即 k 的取值范围为 [?6, . 2] .故选(C) 点评:向量的数量积 a b = a b cos ? a,b ? 自身与不等式联系就非常密切. 第 2 页 共 3 页 五、不等式与新定义“合作” 例 5 在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y ) .若不等式 ( x ? a ) ? ( x ? a ) ? 1 对任意实数 x 成 立,则( ) . (A) ?1 ? a ? 1 (C) ? (B) 0 ? a ? 2 (D) ? 1 3 ?a? 2 2 3 1 ?a? 2 2 解析:∵ ( x ? a ) ? ( x ? a ) ? ( x ? a )(1 ? x ? a ) , ∴不等式 ( x ? a ) ? ( x ? a ) ? 1 对任意实数 x 成立, 即 ( x ? a )(1 ? x ? a ) ? 1 对任意实数 x 成立, 即 x 2 ? x ? a 2 ? a ? 1 ? 0 对任