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浙江省绍兴县杨汛桥镇中学2012-2013学年八年级(上)数学竞赛模拟试题(含答案)

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杨汛桥镇中学初二数学竞赛模拟试题
一、选择题: (每题 5 分,共 30 分) 1.a、b、c 是正整数,a>b,且 a 2 ? ab ? ac ? bc ? 7 ,则 a ? c 等于( A. ?1 B. ?1 或 ?7 C.1 D.1 或 7 )

2.学科整合是新课程的重要理念之一,仔细观察会发现各门学科都与数学有着密切的联系, 彬彬同学把 26 个英语字母按图形的变换分为 5 类:①HX;②NSZ;③BCDK;④MTVWY; ⑤FGJLPQR.你能把剩下的 5 个元音字母:AEIOU 依次归类吗?( A.①③④③④ B.④③①①④ C.⑤③①③④ )

D.④③⑤①④
2

2 3.已知 a 为整数,关于 x 的方程 a x ? 20 ? 0 的根是质数,且满足 ax ? 7 ? a ,则 a 等于

( A.2

) B.2 或 5 C.± 2 D.-2

4.将一张四边形纸片沿两组对边的中点连线剪开,得到四张小纸片,如图所示.用这四张 小纸片一定可以拼成( (A)梯形 5.若不等式组 ? (A) m ? (B)矩形 ) (C)菱形 (D)平行四边形 ) (D) m ? 5

?? x ? 4m ? x ? 10 的解集是 x ? 4 ,则( ?x ? 1 ? m
(B) m ? 5 (C) m ?

9 2

9 2

6.将 x 的整数部分记为[ x ], x 的小数部分记为{ x },易知 x ? [ x ]+{ x }( 0 ? ?x? ? 1 ) .若

x ? 3 ? 5 ? 3 ? 5 ,那么[ x ]等于(
(A) ? 2 (B) ? 1

) (D)1

(C) 0

二、填空题: (每题 5 分,共 30 分) 7.、已知一个凸 n 边形的 n 个内角与某一个外角之和为 1350° ,则 n 为 8. 将一个大正方体切割成 27 个大小相同的小正方体, 并将大正方体各面上的某些小方格涂

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上黑色,而且上与下、前与后、左与右相对两个面上的涂色方式相同,如图所示.这时, 至少有一个面上涂有黑色的小正方体的个数是_____________. 9、 , 设a b是方程 x 2 ? 68x ? 1 ? 0 的两个根, , c d是方程 x 2 ? 86 x ? 1 ? 0 的两个根, 则(a+ c)( b + c)( a ? d)( b ? d)的值 。

10.如图 6,长为 2 的三条线段 AA' 、 BB' 、 CC' 交于 O 点,并且 ,则这三个三角形的面积的和 ?B' OA ? ?C' OB ? ?A' OC ? 60°

S1 ? S 2 ? S 3

3. (填“<”、“=”、“>”)

11.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,等腰梯形 ABCD 的顶点坐标分别为 A(1,1) ,B(2, -1) ,C(-2,-1) ,D(-1,1) 轴上一点 P(0,2)绕 .y 点 A 旋转 180° 得点 P1,点 P1 绕点 B 旋转 180° 得点 P2,点 P2 绕点 C 旋转 180° 得点 P3, P3 绕点 D 旋转 180° 点 得点 P4, ……, 重复操作依次得到点 P1 ,P2 ,…, 则点 P2010 的坐标是 ______________. 12.一个自行车轮胎,若把它安装在前轮,则自行车行驶 5000 km 后报废;若把它安装在后 轮,则自行车行驶 3000 km 后报废,行驶一定路程后可以交换前、后轮胎.如果交换 前、后轮胎,要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废,那么这辆车将能行驶 ____________km . 三、解答题(本题有 4 小题,共 60 分) 19、 (本题满分 15 分) 如图,在正方形 ABCD 中,E 是 AB 边上任意一点,BG⊥CE,垂足为点 O,交 AC 于 点 F,交 AD 于点 G. (1)证明:BE=AG; (2)点 E 位于什么位置时,∠AEF=∠CEB,说明理由. G F O A E B D C

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20、 (本题满分 15 分) “六一”前夕,某玩具经销商用去 2350 元购进 A、B、C 三种新型的电动玩具共 50 套, 并且购进的三种玩具都不少于 10 套,设购进 A 种玩具 x 套,B 种玩具 y 套,三种电动玩具 的进价和售价如右表所示. 型 号


40 50


55 80

C 50 65

进价(元/套) 售价(元/套)

⑴ 用含 x 、 y 的代数式表示购进 C 种玩具的套数; ⑵ 求 y 与 x 之间的函数关系式; ⑶ 假设所购进的这三种玩具能全部卖出, 且在购销这种玩具的过程中需要另外支出各种 费用 200 元. ①求出利润 P(元)与 x (套)之间的函数关系式; ②求出利润的最大值,并写出此时三种玩具各多少套.

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21、 (本题满分 15 分) 在平面直角坐标系内有两点 A(-2,0) ,B(4,0)和直线 l : y ?

1 5 x ? .在直线 l 上 2 2

是否存在点 P,使 ?ABP 为直角三角形,若存在,请求出 P 点的坐标;若不存在,请说明 理由.

22、 (本题满分 15 分) 已知 a,b 是实数,若关于 x,y 的方程组 ? 满足的关系式.

? y ? x 3 ? ax 2 ? bx, ? y ? ax ? b

有整数解 ( x, y ) ,求 a,b

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参考答案与评分标准
一、选择题(本题有 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 题号 答案 1 D 2 B 3 D 4 D 5 C 6 A

二、填空题(本题有 8 小题,每小题 3 分,共 24 分) 7.9 8. 18 9. 2772 10. < 11. (2010, ?2 ) .12.3750

三、解答题(本题有 4 小题,共 60 分) 19、 (本题满分 15 分) 解(1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴∠ABC=∠BAD=90° ,∴∠1+∠3=90° , ∵BG⊥CE,∴∠BOC=90° ∴∠2+∠3=90° , ∴∠1=∠2. ……………………… G A F O E 1 3 B 2 D C

在△GAB 和△EBC 中, ∵∠GAB=∠EBC=90° ,AB=BC,∠1=∠2; ∴△GAB≌△EBC (ASA) ∴AG=BE. ………

………………………… ……………………

(2)解:当点 E 位于线段 AB 中点时,∠AEF=∠CEB. 理由如下:若当点 E 位于线段 AB 中点时,则 AE=BE, 由(1)可知,AG=BE ∴AG=AE.

∵四边形 ABCD 是正方形,∴∠GAF=∠EAF=45°.………………………… 又∵AF=AF,∴△GAF≌△EAF (SAS),∴∠AGF=∠AEF. ………………… 由(1)知,△ GAB≌△EBC ∴∠AGF=∠CEB,∴∠AEF=∠CEB. 20、 (本题满分 15 分) 解:解: (1)购进 C 种玩具套数为:50-x-y(或 47- (2)由题意得 40 x ? 55 y ? 50( x ? y) ? 2350 , (3)①利润=销售收入-进价-其它费用 …

4 11 x- y)……… 5 10
……

整理得 y ? 2 x ? 30

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p ? (50 ? 40) x ? (80 ? 55) y ? (65 ? 50)(50 ? x ? y) ? 200 ……………
又∵ y ? 2 x ? 30 ∴整理得 p ? 15 x ? 250 …………………………………………………

②购进 C 种电动玩具的套数为: 50 ? x ? y ? 50 ? x ? (2 x ? 30) ? 80 ? 3x

? x ? 10 70 ? 据题意列不等式组 ? 2 x ? 30 ? 10 ,解得 20 ? x ? ………………… 3 ?80 ? 3 x ? 10 ?
∴x 的范围为 20 ? x ?

70 ,且 x 为整数 3

x 的最大值是 23

………

∵在 p ? 15 x ? 250 中, k ? 15 >0

∴P 随 x 的增大而增大

∴当 x 取最大值 23 时,P 有最大值,最大值为 595 元.此时购进 A、B、C 种玩具 分别为 23 套、16 套、11 套. …………………………………

21、 (本题满分 15 分) 解: (1)如果点 A 或点 B 为直角顶点,则点P的横坐标为-2 或 4.易得

3 9 P (?2, ) , P2 (4, ) . ……………………………………………… 1 2 2
(2)如果点 P 为直角顶点,则线段 AB 为斜边,AB=6, AB 的中点为 C (1,0) ,连结 PC,则 PC=3. …………………………

1 5 x ? ) ,作 PD ? AB 于点 D, 2 2 1 5 2 2 2 2 2 2 则 CD ? PD ? PC ,即 (1 ? x) ? ( x ? ) ? 3 , …………… 2 2 7 2 整理得 5x ? 2 x ? 7 ? 0 . 解得 x1 ? ? , x2 ? 1 . 5 9 7 9 相应地 y1 ? , y2 ? 3 . ? P3 (? , ) , P4 (1,3) .……………… 5 5 5 3 9 7 9 综上, 在直线 l 上存在四个点 P:P (?2, ) ,P2 (4, ) ,P3 ( ? , ) ,P4 (1,3) , ?AP 使 B 1 2 2 5 5
设 P 点的坐标为 P ( x, 为直角三角形. ………………………………………………………

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22、 (本题满分 15 分) 解:将 y ? ax ? b 代入 y ? x ? ax ? bx ,消去 a、b,得 y ? x ? xy ,
3 2 3

即 ( x ? 1) y ? x .
3

…………………………………………………………

若 x+1=0,即 x ? ?1 ,则上式左边为 0,右边为 ? 1不可能,所以 x+1≠0.于是

y?

x3 1 .因为 x、y 都是整数,所以 x ? 1 ? ?1, ? x2 ? x ?1? x ?1 x ?1
即 x ? ?2 或 x ? 0,进而 y=8 或 y ? 0. 故 ?

? x ? ?2 ?y ? 8

或?

?x ? 0 ……… ?y ? 0

当?

? x ? ?2 时,代入 y ? ax ? b 得, 2a ? b ? 8 ? 0 ; ?y ? 8

当?

?x ? 0 时,代入 y ? ax ? b 得, b ? 0 . ?y ? 0

综上所述,a、b 满足关系式是 2a ? b ? 8 ? 0 ,或者 b ? 0 ,a 是任意实数.…

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