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解圆锥曲线知识点+习题---教师版


解圆锥曲线问题常用方法
例 1、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,4 2 )与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________ (2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标为 。

分析: (1)A 在抛物线外,如图,连 PF,则 PH ? PF ,因而易发现,当 A、P、F 三点共线时,距离和最小。 (2)B 在抛物线内,如图,作 QR⊥l 交于 R,则当 B、Q、R 三点共线时,距离和最小。 解: (1) (2, 2 ) 连 PF,当 A、P、 F 三点共线时, AP ? PH ? AP ? PF 最小,此时 AF 的方程为
H P F A Q B

y?

1 4 2 ?0 (注:另一交点为( ,? 2 ),它为直线 AF 与抛物线 ( x ? 1) 即 y=2 2 (x-1),代入 y2=4x 得 P(2,2 2 ), 2 3 ?1

的另一交点,舍去)

1 ,1 )过 Q 作 QR⊥l 交于 R,当 B、Q、R 三点共线时, BQ ? QF ? BQ ? QR 最小,此时 Q 点的纵坐标 4 1 1 为 1,代入 y2=4x 得 x= ,∴Q( ,1 ) 4 4
(2) ( 点评:这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题,请仔细体会。 例 2、F 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,A(1,1)为椭圆内一定点,P 为椭圆上一动点。 4 3

y A F 0 ′ F P H x

(1) PA ? PF 的最小值为 (2) PA ? 2 PF 的最小值为 分析:PF 为椭圆的一个焦半径,常需将另一焦半径 PF ? 或准线作出来考虑问题。 解: (1)4- 5 设另一焦点为 F ? ,则 F ? (-1,0)连 A F ? ,P F ?

PA ? PF ? PA ? 2a ? PF ? ? 2a ? ( PF ? ? PA ) ? 2a ? AF ? ? 4 ? 5 当 P 是 F ? A 的延长线与椭圆的交点时,
PA ? PF 取得最小值为 4- 5 。
(2)作出右准线 l,作 PH⊥l 交于 H,因 a2=4,b2=3,c2=1, a=2,c=1,e= ∴ PF ?

1 , 2

1 PH ,即2 PF ? PH 2

∴ PA ? 2 PF ? PA ? PH

当 A、P、H 三点共线时,其和最小,最小值为

a2 ? xA ? 4 ?1 ? 3 c

y M D C 5 x

例 3、 动圆 M 与圆 C1:(x+1)2+y2=36 内切,与圆 C2:(x-1)2+y2=4 外切,求圆心 M 的轨迹方程。 分析:作图时,要注意相切时的“图形特征” :两个圆心与切点这三点共线(如图中的 A、
1

A

0B

M、C 共线,B、D、M 共线) 。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径” (如图中的 MC ? MD ) 。 解:如图, MC ? MD ,∴ AC ? MA ? MB ? DB即6 ? MA ? MB ? 2 ∴ MA ? MB ? 8 (*)

∴点 M 的轨迹为椭圆,2a=8,a=4,c=1,b2=15 轨迹方程为

x2 y2 ? ?1 16 15

点评:得到方程(*)后,应直接利用椭圆的定义写出方程,而无需再用距离公式列式求解,即列出

( x ? 1) 2 ? y 2 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 ,再移项,平方,?相当于将椭圆标准方程推导了一遍,较繁琐!
例 4、△ABC 中,B(-5,0),C(5,0),且 sinC-sinB=

3 sinA,求点 A 的轨迹方程。 5

分析:由于 sinA、sinB、sinC 的关系为一次齐次式,两边乘以 2R(R 为外接圆半径) ,可转化为边长的关系。

3 3 sinA 2RsinC-2RsinB= ·2RsinA 5 5 3 ∴ AB ? AC ? BC 即 AB ? AC ? 6 (*)∴点 A 的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点) 5
解:sinC-sinB= ∵2a=6,2c=10∴a=3, c=5, b=4 所求轨迹方程为

x2 y2 ? ? 1 (x>3) 9 16

点评:要注意利用定义直接解题,这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支) 例 5、定长为 3 的线段 AB 的两个端点在 y=x2 上移动,AB 中点为 M,求点 M 到 x 轴的最短距离。 分析: (1)可直接利用抛物线设点,如设 A(x1,x12),B(x2,X22),又设 AB 中点为 M(x0y0)用弦长公式及中点公式 得出 y0 关于 x0 的函数表达式,再用函数思想求出最短距离。 (2)M 到 x 轴的距离是一种“点线距离” ,可先考虑 M 到准线的距离,想到用定义法。 解法一:设 A(x1,x12),B(x2,x22),AB 中点 M(x0,y0)
2 2 ?( x1 ? x 2 ) 2 ? ( x12 ? x 2 ) ?9 ? 则 ?x ? x ? 2x 1 2 0 ? 2 2 x ? x ? 2 y 2 0 ? 1

① ② ③

由①得(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=9 即[(x1+x2)2-4x1x2]·[1+(x1+x2)2]=9 ④由②、③得 2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0

代入④得 [(2x0)2-(8x02-4y0)]·[1+(2x0)2]=9∴ 4 y 0 ? 4 x0 ?
2

9 9 9 2 2 , 4 y 0 ? 4 x0 ? ? ( 4 x0 ? 1) ? 2 ?1 2 2 4 x0 4 x0 ? 1 1 ? 4 x0

≥ 2 9 ? 1 ? 5,

y0 ?

5 5 2 2 5 当 4x02+1=3 即 x 0 ? ? 时, ( y 0 ) min ? 此时 M (? , ) 4 4 2 2 4
2

法二:如图, 2 MM 2 ? AA2 ? BB2 ? AF ? BF ? AB ? 3

y M A A1 A2 0 M1 M2

B

∴ MM 2

3 1 3 ? , 即 MM 1 ? ? , 2 4 2

B1 B2

x

∴ MM 1 ?

5 5 , 当 AB 经过焦点 F 时取得最小值。∴M 到 x 轴的最短距离为 4 4

例 6、已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(2 ? m ? 5) 过其左焦点且斜率为 1 的直线与椭圆及准线从左到右依次变于 A、B、 m m ?1

C、D、设 f(m)= AB ? CD ,(1)求 f(m),(2)求 f(m)的最值。 分析:此题初看很复杂,对 f(m)的结构不知如何运算,因 A、B 来源于“不同系统” ,A 在准线上,B 在椭圆上, 同样 C 在椭圆上,D 在准线上,可见直接求解较繁,将这些线段“投影”到 x 轴上,立即可得防

f (m) ? ( x B ? x A ) 2 ? ( x D ? xC ) 2 ? 2 ( x B ? x A ) ? ( x D ? X C )

y C F1 0 F2

D

? 2 ( x B ? xC ) ? ( x A ? x D ) ? 2 ( x B ? X C )

A

B

x

解: (1)椭圆

x2 y2 ? ? 1 中 , a2=m , b2=m-1 , c2=1 , 左 焦 点 F1(-1,0) 则 BC:y=x+1, 代 入 椭 圆 方 程 即 m m ?1

(m-1)x2+my2-m(m-1)=0 得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0∴(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0

设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 x1+x2=-

2m (2 ? m ? 5) 2m ? 1

f (m) ? AB ? CD ? 2 ( x B ? x A ) ? ( x D ? xC ) ? 2 ( x1 ? x2 ) ? ( x A ? xC ) ? 2 x1 ? x2 ? 2 ? 2m 2m ? 1

(2) f (m) ?

2

2m ? 1 ? 1 1 10 2 4 2 ? 2 (1 ? ) ∴当 m=5 时, f (m) min ? 当 m=2 时, f (m) max ? 2m ? 1 2m ? 1 9 3

点评:此题因最终需求 xB ? xC ,而 BC 斜率已知为 1,故可也用“点差法”设 BC 中点为 M(x0,y0),通过将 B、C 坐标代入作差,得

x0 y x x ?1 m ? 0 ? k ? 0 , 将 y0=x0+1 , k=1 代 入 得 0 ? 0 ? 0 , ∴ x0 ? ? ,可见 m m ?1 m m ?1 2m ? 1

x B ? xC ? ?

2m 2m ? 1

3

当然,解本题的关键在于对 f ( m) ? AB ? CD 的认识,通过线段在 x 轴的“投影”发现 f (m) ? xB ? xC 是解 此题的要点。 【典型例题】 例 1:已知 P(a,b)是直线 x+2y-1=0 上任一点,求 S= a 2 ? b 2 ? 4a ? 6b ? 13 的最小值。 分析:由此根式结构联想到距离公式,
2 2 解:S= (a ? 2) ? (b ? 3) 设 Q(-2,3),则 S=|PQ|,它的最小值即 Q 到此直线的距离

∴Smin

| ?2 ? 2 ? 3 ? 1 | 5

?

3 5 5

点评:此题也可用代入消元的方法转化为二次函数的最小值问题(注:可令根式内为 t 消元后,它是一个一元二次函 数) 例 2:已知点 P(x,y)是圆 x +y -6x-4y+12=0 上一动点,求 解:设 O(0,0) ,则 线:y=kx,即 kx-y=0 圆(x-3) +(y-2) =1,由圆心(3,2)到直线 kx-y=0 的距离为 1 得
2 2 2 2

y 的最值。 x

y y 表示直线 OP 的斜率,由图可知,当直线 OP 与圆相切时, 取得最值,设最值为 k,则切 x x

| 3k ? 2 | k 2 ?1

? 1,

∴k ?

3? 3 ? y ? 3? 3 ? y ? 3? 3 ∴? ? ? ,? ? ? 4 4 4 ? x ? min ? x ? max
x2 y2 ? ? 1 的斜率为 1 的弦,求 a 的取值范围. 16 9

例 3:直线 l:ax+y+2=0 平分双曲线

分析:由题意,直线 l 恒过定点 P(0,-2),平分弦即过弦中点,可先求出弦中点的轨迹,再求轨迹上的点 M 与点 P 的连线的斜率即-a 的范围。 解:设 A(x1,y1),B(x2,y2)是双曲线上的点,且 AB 的斜率为 1,AB 的中点为 M(x0,y0)则:

? x12 ? ? ? 16 ? 2 ? x2 ? ? ? 16

y12 ?1 9 2 y2 ?1 9

① ②

x y x 21 ? x 2 2 y 21 ? y 2 2 ? ? 0,即 0 ? 0 ? 1 ? 0 ①-②得 16 9 16 9
即 M(X0,y0)在直线 9x-16y=0 上。 由 9x-16y=0 得 C? ??

? ?

16 7

,?

9 ? ? 16 9 ? ? , ? ? ,D ? ? ? 7? ? 7 7?
4

x2 y2 ? ?1 16 9
∴点 M 的轨迹方程为 9x-16y=0(x<-

16 7 16 7 或 x> ) 7 7
9

?2?
kPD=

9

7 9?2 7 7 9?2 7 ? , k PD ? ? 16 16 16 16 0? 0? 7 7
?9?2 7 9 ? ? 9 9?2 7 ? ? ? ? ? 16 , 16 ? ? ? 16 , 16 ? 时,l 过斜率为 1 的弦 AB 的中点 M,而 k=-a ? ? ? ?

?2?

由图知,当动直线 l 的斜率 k∈ ?

∴a 的取值范围为: ? ?

? 9?2 7 9 ? ? 9 2 7 ?9? ? ??? , ? , ? ? ? ? 16 ? 16 16 16 ? ? ? ?

点评:此题是利用代数运算与几何特征相结合的方法而解得的,由图得知,弦 AB 中点轨迹并不是一条直线(9x-16y=0) , 而是这条直线上的两条射线(无端点) 。再利用图形中的特殊点(射线的端点 C、D)的属性(斜率)说明所求变量 a 的取值 范围。 例 4:过 y =x 上一点 A(4,2)作倾斜角互补的两条直线 AB、AC 交抛物线于 B、C 两点。求证:直线 BC 的斜率是定 值。 分析: (1)点 A 为定点,点 B、C 为动点,因直线 AB、AC 的倾斜角互补,所以 kAB 与 kAC 相反,故可用“k 参数”法, 设 AB 的斜率为 k,写出直线 AB 的方程,将 AB 的方程与抛物线方程联立,因 A 为已知交点,则方程有一根已知故用韦 达定理容易解出点 B 坐标,同理可得点 C 坐标,再求 BC 斜率。 (2) 因点 B、 C 在抛物线上移动, 也可用 “点参数” 法, 设B (x1,y1) ,C(x2,y2),因 x1=y1 ,x2=y2 ,即可设 B (y1 ,y1) ,C(y2 ,y2)。 再考虑 kAB=-kAC 得参数 y1,y2 的关系。 解法 1:设 AB 的斜率为 k,则 AC 的斜率为-k AB:y-2=k(x-4),与 y =x 联立得: y-2=k(y -4),即 ky -y-4k+2=0∵y=2 是此方程的 一解,
2 2 2 2 2 2 2 2

? 4k ? 2 1 ? 2k ∴2yB= , yB ? k k

? 1 ? 4k ? 4 k 2 1 ? 2k ? 1 ? 4k ? 4k 2 ? , ∴B ? xB=y = , 2 ? ? k2 k k ? ?
2 B

∵kAC=-k,以-k 代替 k 代入 B 点坐标得 C ? ?

? 1 ? 4 k ? 4k 2 1 ? 2 k ? ? , ?k ? k2 ? ?

1 ? 2k 1 ? 2k ? 1 k k ∴kBC= ? ? 为定值 2 2 4 1 ? 4k ? 4k 1 ? 4k ? 4k ? 2 k k ?
5

解法 2:设 B(y1 ,y1),C(y2 ,y2),则 kBC=

2

2

y 2 ? y1 y 2 ? y1
2 2

?

y1 ? 2 y ?2 1 1 1 ∵kAB= 2 ? , k AB ? 22 ? y 2 ? y1 y 1 ? 4 y1 ? 2 y2 ? 4 y2 ? 2
1 1 1 ?? , 则y1 ? y 2 ? ?4 则:kBC= ? 为定值。 4 y1 ? 2 y2 ? 2

由题意,kAB=-kAC,∴

点评:解法 1 运算量较大,但其方法是一种基本方法,因 k 的变化而造成了一系列的变化,最终求出 BC 的斜率为 定值;解法 2 利用点 B,C 在抛物线上设点,形成含两个参数 y1,y2 的问题,用整体思想解题,运算量较小。 例 5:在圆 x +y =4 上,有一定点 A(2,0)和两动点 B,C(A,B,C 按逆时针排列) ,当 B,C 两点保持∠BAC=
y
2 2

? 3

时,求△ABC 的重心的轨迹。

? 2? 分析:圆周角∠BAC= 可转化为圆心角∠BOC= ,选用“角参数” , 3 3 2? 2? 令 B(2cosθ ,2sinθ )则 C(2cos(θ + ),2sin(θ + )) 3 3
则重心可用θ 表示出来。 解:连 OB,OC,∵∠BAC=

B
0

A x C

? 2? ,∴∠BOC= 3 3 4? 2? 2? 设 B(2cosθ ,2sinθ )(0<θ < ),则 C(2cos(θ + ),2sin(θ + )) 3 3 3
设重心 G(x,y) ,则: x= [2 ? 2 cos ? ? 2 cos(? ?

1 2? )] 3 3 1 2? )] y= [0 ? 2 sin ? ? 2 sin(? ? 3 3 2 ? 3 ? x ? 1 ? cos(? ? ) 即: x= [1 ? cos(? ? )] 3 3 2 3 2 ? 3 ? ? ? 5? y ? sin(? ? ) ) y= sin(? ? ) θ + ?( , 3 3 2 3 3 3 3 3 3 2 1 2 2 4 1 2 2 ∴ ( x ? 1) ? ( y ) ? 1 。 (x< )即 ( x ? ) ? y ? ( x ? ) 2 2 2 3 9 2 ? ? 5? 点评:要注意参数θ 的范围,θ + ∈( , )它是一个旋转角,因此最终的轨迹是一 段圆弧,而不是一个圆。 3 3 3
例 6、求直线 3x-4y+10=0 与椭圆

x2 ? y 2 ? 1 (a>0)有公共点时 a 的取值范围 2 a

分析:将直线方程代入椭圆方程消元得一元二次方程应有解,用判别式△≥0 可求得 a 的取值范围。也可考虑另一 代入顺序,从椭圆方程出发设公共点 P(用参数形式) ,代入直线方程,转化为三角问题:asinx+bcosx=c 何时有解。 解 法 一 : 由 直 线 方 程 3x-4y+10=0 得 y?

3 5 1 3 5 代 入 椭 圆 方 程 得 2 x2 ? ( x ? )2 ? 1 ∴ x? 4 2 4 2 a

(

1 9 15 21 ? )x 2 ? x ? ?0 2 16 4 4 a
6

△≥0,得 (

15 2 21 1 9 28 2 7 ) ? 4 ? ? ( 2 ? ) ? 0 解得 a 2 ? ,又 a>0,∴ a ? 4 4 a 16 3 3

解法二:设有公共点为 P ,因公共点 P 在椭圆上,利用椭圆方程设 P ( acos ? , sin ? )再代入直线方程得 3acos ? -4sin ? +10=0 4sin ? -3acos ? =10。
4 9a ? 16
2

sin ? ?

3a 9a ? 16
2

cos? ?

10 9a 2 ? 16

令 sinα =

3a 9a 2 ? 16

,cosα =

4 9a 2 ? 16

,则 sin( ? -α )=

10 9a 2 ? 16



100 28 2 ? 1 ∴9a2≥84,a2≥ 由 sin(? ? ? ) ? 1 即 sin ( ? -α )≤1 得 (a>0)∴a≥ 2 3 9a ? 16

2 21 3

点评:解法 1,2 给出了两种不同的条件代入顺序,其解法 1 的思路清晰,是常用方法,但运算量较大,对运算能 力提出较高的要求,解法 2 先考虑椭圆,设公共点再代入直线,技巧性强,但运算较易,考虑一般关系: “设直线 l:
2 2 Ax+By+C=0 与椭圆 x ? y ? 1 有公共点,求应满足的条件”此时,若用解法一则难于运算,而用解法二,设有公共点 P, a2 b2

利用椭圆,设 P(acos ? ,bsin ? )代入直线方程得 Aacos ? +Bbsin ? =-C。 ∴

?C ? 1 时上式有解。 ∴C2≤A2a2+B2b2 2 2 A a ?B b
2 2

因此,从此题我们可以体会到条件的代入顺序的重要性。

高中数学高考总复习圆锥曲线的综合问题习题及详解
一、选择题 x2 y2 1.(2010· 聊城模考)已知双曲线 2- 2=1 的一个焦点与抛物线 y2=4x 的焦点重合,且双曲线的离心率等于 5,则 a b 该双曲线的方程为( 4 A.5x2- y2=1 5 ) x2 y2 B. - =1 5 4 y2 x2 C. - =1 5 4 5 D.5x2- y2=1 4

c 5 1 4 [答案] D[解析] 抛物线 y2=4x 焦点为(1,0), ∴双曲线中 c=1, 又 e=a= 5, ∴a= , ∴b2=c2-a2=1- = , 5 5 5 x2 y2 ∴双曲线方程为 - =1. 1 4 5 5 x2 y2 2.(2010· 山东郓城)已知对 k∈R,直线 y-kx-1=0 与椭圆 +m=1 恒有公共点,则实数 m 的取值范围是( 5 A.(0,1) B.(0,5) C.[1,5)∪(5,+∞) D.[1,5) )

x2 y2 [答案] C[解析] 直线 y=kx+1 过定点(0,1),只要(0,1)在椭圆 +m=1 上或共内部即可,从而 m≥1. 5 x2 y2 又因为椭圆 +m=1 中 m≠5,∴m∈[1,5)∪(5,+∞). 5 [点评] 含参数的直线与曲线位置关系的命题方式常常是直线过定点,考虑定点与曲线位置,以确定直线与曲线
7

的位 3.图中的椭圆 C1、C2 与双曲线 C3、C4 的离心率分别为 e1、e2、e3、e4,则它们的大小关系是( )

A.e1<e2<e3<e4

B.e2<e1<e3<e4 C.e1<e2<e4<e3

D.e2<e1<e4<e3

[答案] B[解析] ∵C1、C2 为椭圆,∴e∈(0,1) ∵C3、C4 为双曲线,∴e∈(1,+∞)比较 C1、C2∵a 相等而 C1 比 C2 的短轴小, ∴C1 的焦距比 C2 的焦距大,从而 e1>e2 同理 C4 的虚轴长>C3 的虚轴长,而实轴长相同 ∴C4 的焦距>C3 的焦距 ∴e4>e3 综上可得:e2<e1<e3<e4,选 B. c [点评] 对于椭圆 e= = a b?2 c 1-? ?a? ,e 越大越扁,对于双曲线 e=a= b?2 1+? ?a? ,e 越大开口越宽阔. )

4.已知以 F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线 x+ 3y+4=0 有且仅有一个公共点,则椭圆的长轴长为( A.3 2 B.2 6 C.2 7
2

D.4 2

x y2 [答案] C[解析] 根据题意设椭圆方程为 2 + 2=1(b>0),则将 x=- 3y-4 代入椭圆方程得, b +4 b 4(b2+1)y2+8 3b2y-b4+12b2=0,∵椭圆与直线 x+ 3y+4=0 有且仅有一个公共点, ∴Δ=(8 3b2)2-4×4(b2+1)(-b4+12b2)=0,即(b2+4)(b2-3)=0,∴b2=3, 长轴长为 2 b2+4=2 7,故选 C. x2 y2 → → 5.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0),过椭圆的右焦点作 x 轴的垂线交椭圆于 A、B 两点,若OA· OB=0,则椭圆的离心 a b 率 e 等于( ) -1+ 3 1 B. C. 2 2 D. 3 2

-1+ 5 A. 2

x2 y2 b2 [答案] A[解析] 如图,F2(c,0)把 x=c 代入椭圆 2+ 2=1 得 A(c, a ). a a

b2 → → 由OA· OB=0 结合图形分析得|OF2|=|AF2|,即 c= ?b2=ac?a2-c2=ac a 5-1 c c ?( )2+ -1=0?e2+e-1=0?e= . a a 2 x2 6. (2010· 重庆南开中学)双曲线 n -y2=1(n>1)的两焦点为 F1, F2, 点 P 在双曲线上, 且满足: |PF1|+|PF2|=2 n+2, 则△PF1F2 的面积是( A.1 ) 1 B. 2 C.2 D.4

?|PF1|-|PF2|=2 n [答案] A[解析] 由条件知? , ?|PF1|+|PF2|=2 n+2
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∴|PF1|= n+2+ n,|PF2|= n+2- n又∵|F1F2|=2 n+1,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2, 1 1 ∴S△PF1F2= |PF1|· |PF2|= ( n+2+ n)( n+2- n)=1. 2 2 7.在同一坐标系中方程 a2x2+b2y2=1 与 ax+by2=0(a>b>0)的曲线大致是( )

x2 y2 1 1 [答案] D[解析] 方程 a2x2+b2y2=1,即 + =1,因为 2< 2,所以是焦点在 y 轴上的椭圆.方程 ax+by2=0 1 1 a b a2 b2 a 化为 y2=-bx,为焦点在 x 轴的负半轴的抛物线. 8.(2010· 长沙一中、雅礼中学联考)若椭圆 mx2+ny2=1(m>0,n>0)与直线 y=1-x 交于 A,B 两点,过原点与线 1 段 AB 中点的连线的斜率为 ,则椭圆的离心率为( 2 1 A. 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 6 2 )

x1+x2 y1+y2? 2 2 2 2 [答案] B[解析] 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB 中点为? ? 2 , 2 ?,mx1 +ny1 =1,mx2 +ny2 =1,两式 y1+y2 m x1-x2 m m 1 1 =- × ,∴ =- ×(-1),即 = ,离心率 e= n y1-y2 n n 2 2 x1+x2 1 1 - m n = 1 m m 2 1- = ,故选 B. n 2

相减得

9.(2010· 福建福州市质检)已知 P 为抛物线 y2=4x 上一个动点,Q 为圆 x2+(y-4)2=1 上一个动点,那么点 P 到 点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( A.5 B.8 C. 17-1 D. 5+2 )

[答案] C[解析] 抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),圆 x2+(y-4)2=1 的圆心为 C(0,4),设点 P 到抛物线的准线距 离为 d,根据抛物线的定义有 d=|PF|,∴|PQ|+d=|PQ|+|PF|,由圆的几何性质及三角形两边之和大于第三边可知, 当 P、Q、F、C 四点共线时取最小值,故最小值为|FC|-1= 17-1.

p ? → 10.(2010· 北方四校联考)已知抛物线 C:y2=2px(p>0),过点 A? ?2,0?的直线与抛物线 C 交于 M、N 两点,且MA= p → 2AN,过点 M、N 向直线 x=- 作垂线,垂足分别为 P、Q,△MAP、△NAQ 的面积分别为记为 S1 与 S2,那么( 2 A.S1∶S2=2∶1 B.S1∶S2=5∶2C.S1∶S2=4∶1 D.S1∶S2=7∶1 )

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p [答案] C[解析] 依题意,点 A 为抛物线的焦点,直线 x=- 为抛物线的准线,则|MP|=|MA|,|NA|=|NQ|,∠ 2 PMA=π-∠QNA,故 S1=|MP||MA|sin∠PMA=4|AN|2sin∠QNA=4S2,故选 C. 二、填空题 x2 y2 11.(2010· 吉林省调研)已知过双曲线 2- 2=1 右焦点且倾斜角为 45° 的直线与双曲线右支有两个交点,则双曲线的离 a b 心率 e 的取值范围是________. c2-a2 b c2 [答案] (1, 2)[解析] 由条件知,渐近线的倾斜角小于 45° ,即a<1,∴ 2 <1,∴ 2<2, a a 即 e2<2,∵e>1,∴1<e< 2. 12.已知点 M(-3,0),N(3,0),B(1,0),动圆 C 与直线 MN 切于点 B,过 M、N 与圆 C 相切的两直线相交于点 P, 则 P 点的轨迹方程为________. y2 [答案] x2- =1(x>1)[解析] 设另两个切点为 E、F,如图所示,则|PE|=|PF|,|ME|=|MB|,|NF|=|NB|. 8

从而|PM|-|PN|=|ME|-|NF|=|MB|-|NB|=4-2=2<|MN|,所以点 P 的轨迹是以 M、N 为焦点,实轴长为 2 的 y2 双曲线的右支.∴a=1,c=3,∴b2=8.故方程为 x2- =1(x>1). 8 13.(2010· 平顶山市调研)在下列命题中: ①方程|x|+|y|=1 表示的曲线所围成区域面积为 2; ②与两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为 y=± x; ③与两定点(-1,0)、(1,0)距离之和等于 1 的点的轨迹为椭圆; ④与两定点(-1,0)、(1,0)距离之差的绝对值等于 1 的点的轨迹为双曲线. 正确的命题的序号是________.(注:把你认为正确的命题序号都填上) 1 [答案] ①②④[解析] 方程|x|+|y|=1 与两轴交点 A(-1,0),B(0,-1),C(1,0),D(0,1)组成正方形的面积 S= 2 1 |AC|· |BD|= ×2×2=2,故①真;设与两坐标轴距离相等的点为 P(x,y),则|x|=|y|,∴y=± x,故②真;∵两点 E(- 2 1,0),F(1,0)的距离|EF|=2>1, ∴到两点 E、F 距离之和等于 1 的点不存在,∴③错误;与两点 E、F 距离之差的绝对值等于 1 的点的轨迹为双 曲线正确.

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