当前位置:首页 >> >>

[K12学习]2018版高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.3 第2课时 直线与平面垂直学业分层测评 苏教版必修2

K12 学习教育资源 1.2.3 第 2 课时 直线与平面垂直 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、填空题 1.下列语句中正确的是________.(填序号) ①l⊥α ? l 与 α 相交; ②m? α ,n? α ,l⊥m,l⊥n? l⊥α ; ③l∥m,m∥n,l⊥α ? n⊥α . 【解析】 ①正确,由线面垂直的定义可知;②不正确,没有明确直线 m,n 的情况; ③正确,∵l∥m,m∥n,∴l∥n,又 l⊥α ,∴n⊥α . 【答案】 ①③ 2.已知 PA 垂直平行四边形 ABCD 所在平面,若 PC⊥BD,则平行四边形 ABCD 一定是 ________. 【解析】 如图,∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥BD. ∵PC⊥BD,且 PA∩PC=P,∴BD⊥平面 PAC, ∴AC⊥BD. 【答案】 菱形 3.已知△ABC 在平面 α 内,∠A=90°,DA⊥平面 α ,则 AC 与 BD 的位置关系是________. 【解析】 ∵DA⊥α ,∴DA⊥AC. 又 AC⊥AB,AB∩DA=A, ∴AC⊥平面 ABD,∴AC⊥BD. 【答案】 垂直 4.如图 1-2-66,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱长为 2,底面三角形的边长为 1, 则 BC1 与侧面 ACC1A1 所成的角的大小是________. 图 1-2-66 【解析】 取 AC 的中点 D,连结 DB,C1D,则可证得∠BC1D 即为 BC1 与侧面 ACC1A1 所成 K12 学习教育资源 K12 学习教育资源 的角,在△ABC 中,易得 BD= 23. 在△DCC1 中,易得 DC1=32, 在 Rt△BC1D 中,tan∠BC1D=DBCD1= 33, 即∠BC1D=30°. 【答案】 30° 5.对于四面体 A-BCD,给出下列四个命题: ①若 AB=AC,BD=CD,则 BC⊥AD; ②若 AB=CD,AC=BD,则 BC⊥AD; ③若 AB⊥AC,BD⊥CD,则 BC⊥AD; ④若 AB⊥CD,BD⊥AC,则 BC⊥AD. 其中真命题的序号是________. 【解析】 对于命题①,取 BC 的中点 E,连结 AE,DE, 则 BC⊥AE,BC⊥DE,且 AE∩DE=E, ∴BC⊥平面 ADE.∵AD? 平面 ADE, ∴BC⊥AD. 【导学号:41292033】 对于④,过 A 向平面 BCD 作垂线 AO,如图所示. 连结 BO 与 CD 交于 E,则 CD⊥BE,同理 CF⊥BD,∴O 为△BCD 的垂心,连结 DO,则 BC ⊥DO,BC⊥AO,且 AO∩DO=O, ∴BC⊥平面 AOD,∴BC⊥AD. 【答案】 ①④ 6.在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面 ABC,PA=8,则 P 到 BC 的距离是__________. K12 学习教育资源 K12 学习教育资源 【解析】 如图所示,作 PD⊥BC 于 D,连结 AD. ∵PA⊥△ABC,∴PA⊥BC,且 PA∩PD=P, ∴BC⊥平面 PAD,∴AD⊥BC. 在△ACD 中,AC=5,CD=3,∴AD=4, 在 Rt△PAD 中,PA=8,AD=4,∴PD= 82+42=4 5. 【答案】 4 5 7.如图 1-2-67,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ABC=90°,M 为线段 BB1 上的一动点, 则直线 AM 与直线 BC 的位置关系为__________. 图 1-2-67 【解析】 ∵AA1⊥平面 ABC,∴BC⊥AA1, ∵∠ABC=90°,∴BC⊥AB,又 AB∩AA1=A, ∴BC⊥平面 AA1B1B,又 AM? 平面 AA1B1B, ∴AM⊥BC. 【答案】 垂直 8.如图 1-2-68 所示,已知矩形 ABCD 中,AB=1,BC=a,PA⊥平面 ABCD,若在 BC 上只有一个点 Q 满足 PQ⊥QD,则 a 的值等于________. 图 1-2-68 【解析】 ∵PA⊥平面 ABCD, ∴PA⊥QD. 又∵PQ⊥QD,且 PA∩PQ=P,∴QD⊥平面 PAQ, ∴AQ⊥QD,即 Q 在以 AD 为直径的圆上,当圆与 BC 相切时,点 Q 只有一个,故 BC=2AB =2. 【答案】 2 二、解答题 K12 学习教育资源 K12 学习教育资源 9.如图 1-2-69,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,AD⊥CD,DB 平分∠ADC,E 为 PC 的中点,AD=CD. (1)证明:PA∥平面 BDE; (2)证明:AC⊥平面 PBD. 图 1-2-69 【证明】 (1)设 AC∩BD=H,连结 EH, 在△ADC 中, 因为 AD=CD,且 DB 平分∠ADC, 所以 H 为 AC 的中点, 又由题设,E 为 PC 的中点, 【导学号:41292034】 故 EH∥PA,又 EH? 平面 BDE, 且 PA?平面 BDE, 所以 PA∥平面 BDE. (2)因为 PD⊥平面 ABCD, AC? 平面 ABCD, 所以 PD⊥AC. 由(1)可得,DB⊥AC,又 PD∩DB=D, 故 AC⊥平面 PBD. 10.如图 1-2-70,已知矩形 ABCD,SA⊥平面 AC,AE⊥SB 于点 E,EF⊥SC 于点 F. 图 1-2-70 (1)求证:AF⊥SC; (2)若平面 AEF 交 SD 于点 G,求证:AG⊥SD. K12 学习教育资源 K12 学习教育资源 【证明】 (1)∵SA⊥平面 AC,BC? 平面 AC,∴SA⊥BC. ∵四边形 ABCD 为矩形,∴AB⊥BC. 又 AB∩SA=A, ∴BC⊥平面 SAB,∴BC⊥AE, 又 SB⊥AE,SB∩BC=B, ∴AE⊥平面 SBC,∴AE⊥SC. 又 EF⊥SC,EF∩AE=E, ∴SC⊥平面 AEF. 又 AF? 平面 AEF,∴AF⊥SC. (2)∵SA⊥平面 AC,∴SA⊥DC. 又 AD