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2-5从力做的功到向量的数量积


从力做的功到向量的数量积 一、教学目标: 1.知识与技能 (1)通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义. (2)体会平面向量的数量积与向量投影的关系. (3)掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用. (4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 2.过程与方法 教材利用同学们熟悉的物理知识( “做功” )得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何 意义.为了帮助学生理解和巩固相应的知识,教材设置了 4 个例题;通过讲解例题,培养学生 逻辑思维能力. 3.情感态度价值观 通过本节内容的学习, 使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系; 让学生进一步领悟数形结合的思想; 同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积, 有助于激 发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神. 二.教学重、难点 重点: 向量数量积的含义及其物理意义、几何意义;运算律. 难点: 运算律的理解 三.学法与教学用具 学法:(1)自主性学习+探究式学习法: (2)反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【探究新知】 (学生阅读教材 P107—108,师生共同讨论) 思考:请同学们回忆物理学中做功的含义,问对 一般的向量 a 和 b,如何定义这种运算? 1.力做的功:W = |F|?|s|cos? ?是 F 与 s 的夹角 2.定义:平面向量数量积(内积)的定义,a?b = |a||b|cos?, 并规定 0 与任何向量的数量积为 0。? 3.向量夹角的概念:范围 0?≤?≤180? A ? = 0? A [来源:Z。xx。k.Com] O A B O ? ? = 180? O B B O A [展示投影] C A B ? O C ? B O A B F
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s

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由于两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别;因此强调注意的几个问题: ①两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由 cos?的符号所决定。 ②两个向量的数量积称为内积,写成 a?b;今后要学到两个向量的外积 a×b,而 ab 是两 个数量的积,书写时要 严格区分。 ③在实数中,若 a?0,且 a?b=0,则 b=0;但是在数量积中,若 a?0,且 a?b=0,不能推 出 b=0。因为其中 cos?有可能为 0.这就得性质 2. ④已知实数 a、b、c(b?0),则 ab=bc ? a=c.但是 a?b = b?c ? a = c 如右图:a?b = |a||b|cos? = |b||OA|

b?c = |b||c|cos? = |b||OA| c ? ?a?b=b?c 但 a ? c[来源:学*科*网] ? O b A ⑤在实数中,有(a?b)c = a(b?c),但是(a?b)c ? a(b?c) 显然,这是因为左端是与 c 共线的向量,而右端是与 a 共线的向量,而一般 a 与 c 不共线.
[展示投影]思考与交流:[来源:Zxxk.Com] 思考与交流 1.射影的概念是如何定义的, 举例 (或画图) 说明; 并指出应注意哪些问题.[来 源:学科网 ZXXK] B O b O ? A B O b ? a B1 B1 O a A B O b ? O (B ) 1 OO a A

a

O O O O 定义:|b|cos?叫做向量 b 在 a 方向上 的射影。 注意:①射影也是一个数量,不是向量。 ②当?为锐角时射影为正值; 当?为钝角时射影为负值; 当?为直角时射影为 0; 当? = 0?时射影为 |b|; 当? = 180?时射影为 ?|b|.

思考与交流 2.如何定义向量数量积的几何意义?由向量数量积的几何意义你能得到两 个向量的数量积哪些的性质(学生讨论完成,教师作必要的补充). 几何意义:数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos?的乘积。 性质:设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量。 ①e?a = a?e =|a|cos? ②a?b ? a?b = 0 ③当 a 与 b 同向时,a?b = |a||b|;当 a 与 b 反向时,a?b = ?|a||b|。

特别的 a?a = |a| 或 | a |? a ? a
2

④cos? =

a?b (|a||b|≠0) | a || b |

⑤ |a?b|≤|a||b| 【巩固深化,发展思维】 判断下列各题正确与否: ①若 a = 0,则对任一向量 b,有 a?b = 0. ②若 a ? 0,则对任一非零向量 b,有 a?b ? 0. ③若 a ? 0,a?b = 0,则 b = 0. ④若 a?b = 0,则 a 、b 至少有一个为零. ⑤ 若 a ? 0,a?b = a?c,则 b = c. ⑥若 a?b = a?c,则 b = c 当且仅当 a ? 0 时成立. ⑦对任意向量 a、b、c,有(a?b) ?c ? a? (b?c). ⑧对任意向量 a,有 a = |a| . [展示 投影]思考与交流: 思考:根据向量数量积的定义、物理意义及几何意义,你能否验证下列向量的数量积是否 满足下列运算定律(证明的过程可根据学生的实际水平决定) ................... 1.交换律:a?b = b?a 证:设 a,b 夹角为?,则 a?b = |a||b|cos?,b?a = |b||a|cos? ∴a?b = b?a 2.数乘结合律:( ? a) ?b = ? (a?b) = a? ( ? b) 证:若 ? = 0, 此式 显然成立. 若 ? > 0, ( ? a) ?b = ? |a||b|cos?,
2 2

( √ ) ( × ) ( × ) ( × ) ( × ) ( × ) ( × ) ( √ )

? (a?b) = ? |a||b|cos?, a? ( ? b) = ? |a||b|cos?, 所以( ? a) ?b = ? (a?b) = a? ( ? b). 若 ? < 0, ( ? a) ?b =| ? a||b|cos(???) = ? ? |a||b|(?cos?) = ? | a||b|cos?, ? (a?b) = ? |a||b|cos?, a ? ( ? b) =|a|| ? b|cos(???) = ? ? |a||b|(?cos?) = ? |a||b|cos?。 所以( ? a) ?b = ? (a?b) = a? ( ? b). 综上可知( ? a) ?b = ? (a?b) = a? ( ? b)成立. 3.分配律:(a + b) ?c = a?c + b ?c
A 证:在平面内取一点 O,作 OA = a, AB = b, OC = c,
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?2 b

B

a ?1 O ?

A
1

c

B
1

C

∵a + b (即 OB )在 c 方向 上的投影 等于 a、b 在 c 方向上 的投影和, 即:|a + b| cos? = |a| cos?1 + |b| cos?2 ∴| c | |a + b| cos? =|c| |a| cos?1 + |c| |b| cos?2 ∴c? (a + b) = c?a + c?b 即:(a + b) ?c = a?c + b?c.
2 2

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[展示投影]例题讲评(学生先做,学生讲,教师提示或适当补充) 例 1.已知: a ? 2, b ? 3, a与b 的夹角为 120 , 求(1)a ? b .(2) a ? b .
0

解: (1) a ? b ? a ? b ( 2) a ? b ? 网 Z.X.X.K]

2

2

2

2

? 4 ? 9 ? ?5
2 2

(a ? b) 2 ? a ? 2ab ? b ?

a ? 2 a b cos? ? b ? 7
[ 来源: 学.科 .

2

2

例 2.已知 a、 b 都是非零向量,且 a ? 3b与7a ? 5b 垂直,

b 的夹角。 a ? 4b与7a ? 2b 垂直,求 a、
解:由(a + 3b)(7a ? 5b) = 0 ? 7a + 16a?b ?15b = 0
2 2

① ②

(a ? 4b)(7a ? 2b) = 0 ? 7a ? 30a?b + 8b = 0
2 2

两式相减:2a?b = b 则 cos? =

2

代入①或②得:a = b 设 a、b 的夹角为?,
2 2

a?b b2 1 ? ? 2 | a || b | 2 | b | 2

∴? = 60 D

例 3.用向量方法证明:菱形对角线互相垂直。 证:设 AB = DC = a , AD = BC = b ∵ABCD 为菱形
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A a B
2 2 2 2

C b

∴|a| = |b|

∴ AC ? BD = (b + a)(b ? a) = b ? a = |b| ? |a| = 0 ∴ AC ? BD
? ??
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即菱形对角线互相垂直。

【巩固深化,发展思维】 [学习小结] (学生总结,其它学生补充) ①有关概念:向量的夹角、射影、向量的数量积. ②向量数量积的几何意义和物理意义. ③向量数量积的五条性质. ④向量数量积的运算律. 五、评价设计 1.作业: 2. (备选题) : ① 在 Δ ABC 中 , 设 边 BC , CA , AB 的 长 度 分 别 为 a , b , c , 用 向 量 方 法 证 明 :

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A
②求证:平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。 解:如图: ABCD 中: AB ? DC , AD ? BC , AC = AB + AD D ∴| AC | =| AB + AD | = AB + AD +2 AB ? AD
2 2 2 2

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C

而 BD = AB - AD
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2

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A
2

B

∴| BD | =| AB - AD | = AB + AD -2 AB ? AD
2 2

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∴| AC | + | BD | = 2 AB +2 AD = | AB | +| AD | +| BC | +| DC |
2 2 2 2 2 2 2

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2

六、课后反思:


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