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2016


阶 段 一

阶 段 三

3.1 3.1.1
阶 段 二

数系的扩充和复数的概念 数系的扩充和复数的概念
学 业 分 层 测 评

1.了解数系的完整体系.(重点) 2.理解复数的概念、表示法及相关概念.(重点) 3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件.(重点、易混点)

[ 基础· 初探] 教材整理 1 复数的概念及代数表示

阅读教材 P102~P103“第 8 行”以上内容,完成下列问题. 1.复数的定义
a+bi(a,b∈R) 的数叫做复 把集合 C={a+bi|a,b∈R}中的数,即形如_________________ -1 数.其中 i 叫做虚数单位,满足 i2=______.

2.复数的代数形式

a+bi(a,b∈R) ,这一表示形式叫做复 复数通常用字母 z 表示,即 z=__________________
代数形式 ,a 与 b 分别叫做复数 z 的______ 实部 与______ 虚部 . 数的____________

3.复数集
{a+bi|a,b∈R} . 全体复数所构成的集合叫做复数集.记作 C=________________

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若 a,b 为实数,则 z=a+bi 为虚数.( (2)若 a 为实数,则 z=a 一定不是虚数.( (3)bi 是纯虚数.( ) ) )

(4) 如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0 ,那么这两个复数相 等.( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√

教材整理 2

两个复数相等的充要条件

阅读教材 P103“第 9 行”以下~P103“第 11 行”以上内容,完成下列问题. 在复数集 C={a+bi|a,b∈R}中,任取两个复数 a+bi,c+di(a,b,c,d

a=c 且 b=d ∈R),规定 a+bi 与 c+di 相等的充要条件是_______________.

如果(x+y)i=x-1,则实数 x,y 的值分别为( A.x=1,y=-1 C.x=1,y=0

)

B.x=0,y=-1 D.x=0,y=0

【解析】 ∵(x+y)i=x-1,
? ?x+y=0, ∴? ? ?x-1=0,

∴x=1,y=-1.

【答案】 A

教材整理 3

复数的分类

阅读教材 P103“思考”以下内容,完成下列问题. 1.复数 a+bi(a,b∈R)

b=0 ?实数???????????? , ? ? , ? a=0 ?纯虚数???????????? b≠0 ? ?虚数???????????? ? . a≠0 ?非纯虚数???????????? ?
2.集合表示

下列命题: ①若 a∈R,则(a+1)i 是纯虚数; ②若(x2-1)+(x2+3x+2)i(x∈R)是纯虚数,则 x=± 1; ③两个虚数不能比较大小. 其中正确命题的序号是__________.
【解析】 当 a=-1 时,(a+1)i=0,故①错误;两个虚数不能比较大小,
2 ? ?x -1=0, 是纯虚数,则? 2 ? ?x +3x+2≠0,

故③对;若(x2-1)+(x2+3x+2)i 错.

即 x=1,故②

【答案】 ③

[ 质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 2:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 3:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________

[ 小组合作型]
复数的概念

(1)给出下列三个命题:①若 z∈C,则 z2≥0;②2i-1 的虚部是 2i; ③2i 的实部是 0.其中真命题的个数为( A.0 C.2 ) 【导学号:60030069】 B.1 D.3

(2)已知复数 z=a2-(2-b)i 的实部和虚部分别是 2 和 3,则实数 a,b 的值 分别是__________.

(3)下列命题正确的是__________(填序号). ①若 x,y∈C,则 x+yi=1+2i 的充要条件是 x=1,y=2; ②若实数 a 与 ai 对应,则实数集与纯虚数集一一对应; ③实数集的补集是虚数集.

【自主解答】

(1)复数的平方不一定大于 0,故①错;2i-1 的虚部为 2,

故②错;2i 的实部是 0,③正确,故选 B. (2)由题意,得 a2=2,-(2-b)=3,所以 a=± 2,b=5. (3)①由于 x,y 都是复数,故 x+yi 不一定是代数形式,因此不符合两个复 数相等的充要条件,故①是假命题. ②当 a=0 时,ai=0 为实数,故②为假命题. ③由复数集的分类知,③正确,是真命题.

【答案】 (1)B (2)± 2,5 (3)③

判断与复数有关的命题是否正确的方法 1.举反例:判断一个命题为假命题,只要举一个反例即可, 所以解答这类题型时,可按照“先特殊,后一般,先否定,后 肯定”的方法进行解答. 2.化代数式:对于复数实部、虚部的确定,不但要把复数 化为 a+bi 的形式,更要注意这里 a,b 均为实数时,才能确定 复数的实、虚部.

[ 再练一题] 1.下列命题中是假命题的是( A.自然数集是非负整数集 B.实数集与复数集的交集为实数集 C.实数集与虚数集的交集是{0} D.纯虚数集与实数集的交集为空集 【解析】 复数可分为实数和虚数两大部分,虚数中含有纯虚数,因此, )

实数集与虚数集没有公共元素,C 是假命题.

【答案】 C

复数的分类

(1)复数 z=a2-b2+(a+|a|)i(a,b∈R)为纯虚数的充要条件是( A.|a|=|b| C.a>0 且 a≠b B.a<0 且 a=-b D.a>0 且 a=± b

)

m?m+2? (2)已知 m∈R,复数 z= +(m2+2m-3)i,当 m 为何值时, m-1 ①z 为实数? ②z 为虚数? ③z 为纯虚数?

【精彩点拨】 依据复数的分类列出方程(不等式)组求解.

【自主解答】 故选 D.

(1)要使复数 z

2 2 ? a - b =0, ? 为纯虚数,则? ? ?a+|a|≠0,

∴a>0,a=± b.

【答案】 D

m?m+2? (2)①要使 z 为实数, 需满足 m +2m-3=0, 且 有意义, 即 m-1≠0, m-1
2

解得 m=-3. m?m+2? ②要使 z 为虚数,需满足 m +2m-3≠0,且 有意义,即 m-1≠0, m-1
2

解得 m≠1 且 m≠-3. m?m+2? ③要使 z 为纯虚数,需满足 =0,且 m2+2m-3≠0,解得 m=0 或 m-1 m=-2.

利用复数的分类求参数时,要先确定构成实部、虚部的式 子有意义的条件,再结合实部与虚部的取值求解.要特别注意复 数 z=a+bi?a,b∈R?为纯虚数的充要条件是 a=0 且 b≠0.

[ 再练一题] 2.若把上例(1)中的“纯虚数”改为“实数”,则结果如何?

【解】 复数 z 为实数的充要条件是 a+|a|=0,即|a|=-a,所以 a≤0.

[ 探究共研型]
复数相等的充要条件

探究 1 a=0 是复数 z=a+bi 为纯虚数的充分条件吗?
【提示】 因为当 a=0 且 b≠0 时,z=a+bi 才是纯虚数,所以 a=0 是复 数 z=a+bi 为纯虚数的必要不充分条件.

探究 2 3+2i>3+i 正确吗? 【提示】 不正确,如果两个复数不全是实数,那么它们就不能比较大小.

(1)若(x+y)+yi=(x+1)i,求实数 x,y 的值; a (2)关于 x 的方程 3x - x-1=(10-x-2x2)i 有实根,求实数 a 的值. 2
2

【精彩点拨】 根据复数相等的充要条件求解.
【自主解答】 (1)由复数相等的充要条件,
? ?x+y=0, 得? ? ?y=x+1,

1 ? ?x=-2, 解得? ?y=1. ? 2

(2)设方程的实根为 x=m, a 则原方程可变为 3m - m-1=(10-m-2m2)i, 2
2

a ? ?3m2- m-1=0, 2 所以? 2 ? ?10-m-2m =0, 71 解得 a=11 或 a=- . 5

1.复数 z1=a+bi,z2=c+di,其中 a,b,c,d∈R,则 z1 =z2?a=c 且 b=d. 2.复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重 要的思想方法.转化过程主要依据复数相等的充要条件.基本 思路是: (1)等式两边整理为 a+bi(a,b∈R)的形式; (2)由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成 的方程组; (3)解方程组,求出相应的参数.

[ 再练一题] 3.已知 x2+y2-6+(x-y-2)i=0,求实数 x,y 的值. 【导学号:60030070】
【解】
2 2 ? ?x +y -6=0,① 由复数相等的条件得方程组? ? ?x-y-2=0,②

由②得 x=y+2,代入①得 y2+2y-1=0. 解得 y1=-1+ 2,y2=-1- 2. 所以 x1=y1+2=1+ 2,x2=y2+2=1- 2.
? ?x=1+ 2, 即? ? ?y=-1+ 2 ? ?x=1- 2, 或? ? ?y=-1- 2.

[ 构建· 体系]

1.设集合 A={实数},B={纯虚数},C={复数},若全集 S=C,则下列结 论正确的是( ) B.A=B

A.A∪B=C

C.A∩(?SB)=? D.(?SA)∪(?SB)=C 【解析】 集合 A,B,C 的关系如图,可知只有(?SA)∪(?SB)=C 正确.

【答案】 D

2.若复数 4-3a-a2i 与复数 a2+4ai 相等,则实数 a 的值为( A.1 C.-4 B.1 或-4 D.0 或-4

)

【解析】 由复数相等的条件得
2 ? ?4-3a=a , ? 2 ? - a =4a, ?

∴a=-4.

【答案】 C

3.复数(1- 2)i 的实部为________. 【导学号:60030071】 【解析】 ∵复数(1- 2)i=0+(1- 2)i,∴实部为 0.

【答案】 0

4.已知 z1=m2-3m+mi,z2=4+(5m+4)i,其中 m∈R,i 为虚数单位,若 z1=z2,则 m 的值为________.
【解析】 由题意得 m=-1.
2 ? m -3m=4, ? 2 m -3m+mi=4+(5m+4)i,从而? ? ?m=5m+4,

解得

【答案】 -1

5.(2016· 佛山高二检测)已知集合 M={(a+3)+(b2-1)i,8},集合 N={3i, (a2-1)+(b+2)i}满足 M∩N≠?,求整数 a,b.
【解】 依题意得(a+3)+(b2-1)i=3i,① 或 8=(a2-1)+(b+2)i,② 或(a+3)+(b2-1)i=(a2-1)+(b+2)i.③ 由①得 a=-3,b=± 2, 由②得 a=± 3,b=-2. ③中,a,b 无整数解不符合题意. 综上所述得 a=-3,b=2 或 a=3, b=-2 或 a=-3,b=-2.

我还有这些不足: (1) __________________________________________________ (2) _________________________________________________ 我的课下提升方案: (1) (2) _________________________________________________ _________________________________________________


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