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江苏省高三数学综合训练(七)

高三数学综合训练(七)
参考公式: (1)样本数据 x1 , x2 ,?, xn 的方差 s 2 ? (2)椎体的体积公式 V ?

1 n 1 n ( xi ? x )2 ,其中 x ? ? xi ? n i ?1 n i ?1

1 Sh ,其中 S 为椎体底面积, h 为高 3
▲ .

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. ........
2 1.已知集合 A ? 0 , 2 , a , B ? ?1, a? ,若 A ? B ? ?0 ,1, 2 , 4? ,则实数 a 的值为

?

?

2.已知复数 z ? (2 ? i)i ( i 是虚数单位) ,则 z ?

▲ . ▲ .

3.已知向量 a ? (6 , 2) , b ? (?3 , k ) ,若 a ∥ b ,则实数 k 等于 4.一个算法的流程图如图所示,则输出的 S 值为
开始



.
D1 C1 B1

i←1 , S←0

A1

i <10

N

Y
S←S+ i 输出 S

i←i +1

结束

7 9 8 4 4 4 6 7 9 3
第5题

D
O

C

A

B

第6题

第4题 5.如图是某市歌手大奖赛七位评委为某位选手打出分数的茎叶图,若去掉一个最高分和一个最低 分,则所剩余分数的方差为 ▲ . (茎表示十位数字,叶表示个位数字) 6.如图,已知正方体 ABCD ? A B1C1D1 的棱长为 2 , O 为底面正方形 ABCD 的中心,则三棱锥 1

B1 ? BCO 的体积为
7. 已知函数 f ( x ) ? x ? 实数 p 的值为



.

p ( p 为常数且 p ? 0 ) ,若 f ( x ) 在区间 (1, ? ?) 的最小值为 4 ,则 x ?1
.



8. 已知数列 ?an ? 的各项均为正数,若对于任意的正整数 p , q 总有 a p ?q ? a p ? aq ,且 a8 ? 16 , 则 a10 ? ▲ .
1

9. 将函数 f ( x) ? 2sin(? x ?

? 若 y ? g ( x) 在 [0, ] 上为增函数,则 ? 的最大值为 4

? ? ) (? ? 0) 的图象向左平移 个单位, 得到函数 y ? g ( x) 的图象. 3 3?
▲ .

10.已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ?1 ,其中 a? ? 0 , 2? , b? ? 0 , 2? ,则此函数在区间 ?1, ? ?? 上为 增函数的概率为
2



. ▲ . ▲ .

11.若 a, b, c ? 0 ,且 a ? ab ? ac ? bc ? 4 ,则 2a ? b ? c 的最小值为

12.如图, 在平面四边形 ABCD 中, AC ? 3 , BD ? 2 , 则 ( AB ? DC) ? ( AC ? BD) ? 若 D

??? ???? ?

??? ??? ? ?

y

Q

P
A C

O B

F

x

B

第 13 题 第 12 题 x2 y 2 13.如图,已知椭圆 C 的方程为: 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,B 是它的下顶点,F 是其右焦点,BF

a

b

的延长线与椭圆及其右准线分别交于 P 、 Q 两点,若点 P 恰好是 BQ 的中点,则此椭圆的离心率 是 ▲ .

14.设 a ? 0 , 函数 f ( x) ? x ? 成立,则实数 a 的取值范围为

a2 , g ( x) ? x ? ln x , 若对任意的 x1 , x2 ?[1, e] , 都有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) x
▲ .

二、解答题: 本大题共 6 小题, 15-17 每题 14 分,18-20 每题 16 分,共计 90 分.请在答题卡 ... 指定的区域内作答, 解答时应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. ........ 1 15.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P ( , cos2 ? ) 在角 ? 的终边上,点 Q (sin 2 ? , ? 1) 在角 ? 的终边 2 上,且 OP ? OQ ? ? . (1)求 cos 2? 的值; (2)求 sin(? ? ? ) 的值.

??? ???? ?

1 2

2

16.如图,在正三棱柱 ABC? A1 B1C1 中,点 D 是棱 BC 的中点.求证: (1) AD ? C1 D ; (2) A B // 平面 ADC1 . 1 A A1

B D C

B1

C1

17. 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn, a5 ? a13 ? 34,S3 ? 9 . 且 (1)求数列 {an } 的通项公式及前 n 项和公式; (2)设数列 {bn } 的通项公式为 bn ?
an ,问: 是否存在正整数 t,使得 b1,b2,bm an ? t

(m ? 3,m ? N) 成等差数列?若存在,求出 t 和 m 的值;若不存在,请说明理由.

18.已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,准线 l 的方程为 x ? ?2 ,点 P 在准线 l 上,纵坐标为

1 (t ? R , t ? 0) ,点 Q 在 y 轴上,纵坐标为 2t . t (1)求抛物线 C 的方程; (2)求证:直线 PQ 恒与一个圆心在 x 轴上的定圆 M 相切,并求出圆 M 的方程。 3t ?

3

19. 如图所示,一条直角走廊宽为 2 米。现有一转动灵活的平板车,其平板面为矩形 ABEF,它的 宽为 1 米。直线 EF 分别交直线 AC、BC 于 M、N,过墙角 D 作 DP⊥AC 于 P,DQ⊥BC 于 Q; ⑴若平板车卡在直角走廊内,且∠ CAB ? ? ,试求平板面的长 (用表示); ⑵若平板车要想顺利通过直角走廊,其长度不能超过多少米? 2m N E D 2m M F AP l C Q B

20.已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? (b ? a) x ( a , b 不同时为零的常数) ,导函数为 f ?( x ) . 1 b (1)当 a ? 时,若存在 x ? [?3 , ? 1] 使得 f ?( x) ? 0 成立,求 的取值范围; 3 (2)求证:函数 y ? f ?( x) 在 (?1 , 0) 内至少有一个零点; (3)若函数 f ( x ) 为奇函数,且在 x ? 1 处的切线垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 ,关于 x 的方程

1 f ( x) ? ? t 在 [?1, t ] (t ? ?1) 上有且只有一个实数根,求实数 t 的取值范围. 4

4

2010 年苏北四市高三年级第二次模拟考试 数 学 (Ⅱ)

(考试时间 30 分钟,试卷满分 40 分)
21. 【选做题】在 A,B,C,D 四个小题中只能选做 2 个小题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答 题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. B.选修 4-2:矩阵与变换 已知矩阵 M = ?

?2 ?1

0? ,求矩阵 M 的特征值及其相应的特征向量. 1? ?

C.选修 4—4:坐标系与参数方程

? ? ? R ? ,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半 3 ? x ? 2cos ? , 轴建立平面直角坐标系, 曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数) 求直线 l 与曲线 C 的 , y ? 1 ? cos 2? ?
在极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 ? ? 交点 P 的直角坐标.

?

22. 【必做题】某电视台综艺频道组织的闯关游戏,游戏规定前两关至少过一关才有资格闯第三 关,闯关者闯第一关成功得 3 分,闯第二关成功得 3 分,闯第三关成功得 4 分.现有一位参加游 戏者单独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为

1 1 1 、 、 ,记该参加者闯三关所得总分 2 3 4

为? . (1)求该参加者有资格闯第三关的概率; (2)求 ? 的分布列和数学期望. 23. 【必做题】 如图, 已知抛物线 M : x2 ? 4 py ( p ? 0) 的准线为 l ,N 为 l 上的一个动点, 过点 N 作抛物线 M 的两条切线,切点分别为 A , B ,再分别过 A , B 两点作 l 的垂线,垂足分别为 C , D. (1)求证:直线 AB 必经过 y 轴上的一个定点 Q ,并写出点 Q 的坐标; (2)若 ?ACN , ?BDN , ?ANB 的面积依次构成等差数列,求此时点 N 的坐标. y

B

A C

x O N D
5

2010 年苏北四市高三年级第二次模拟考试 数学参考答案与评分标准
一、填空题: 1. 2 ; 2. 5 ; 3. ?1 ; 4. 45 ; 5.

8 ; 5

6.

2 ; 3

7.

9 ; 8. 32 ; 4
13.

9.2;

10.

3 ; 11. 4 , (a ? b)(a ? c) ? 4 基本不等式 ; 12. 5 ; 4

3 ; 3

14. a ? e ? 2 ,等价于 f ( x)min ? g ( x)max , g ( x)max ? g (e) , f ( x)min 分三种情况讨论求解。 . 二、解答题:

??? ???? ? 1 1 1 15.(1)因为 OP ? OQ ? ? ,所以 sin 2 ? ? cos2 ? ? ? , 2 2 2 1 1 2 即 (1 ? cos2 ? ) ? cos2 ? ? ? ,所以 cos2 ? ? , 2 2 3

1 .??????????????????6 分 3 2 1 1 2 1 2 2 (2)因为 cos ? ? ,所以 sin ? ? ,所以 点P ( , ) , 点Q( ,?1) , 3 3 2 3 3 4 3 1 2 又点 P( , ) 在角 ? 的终边上,所以 sin ? ? , cos ? ? . 2 3 5 5 3 10 10 同理 sin ? ? ? , cos ? ? , 10 10
所以 cos 2? ? 2 cos ? ? 1 ?
2

4 10 3 3 10 10 ? ? ? (? ) ?? .?14 分 5 10 5 10 10 16.(1)因为三棱柱 ABC? A1 B1C1 是正三棱柱,所以 C1C ? 平面 ABC ,
所以 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? 又 AD ? 平面 ABC ,所以 C1C ? AD ,??????????????? 2 分 又点 D 是棱 BC 的中点,且 ?ABC 为正三角形,所以 AD ? BC , 因为 BC ? C1C ? C ,所以 AD ? 平面 BCC1 B1 ,????????????4 分 又因为 DC1 ? 平面 BCC1 B1 ,所以 AD ? C1 D .????????????6 分 A (2)连接 A1C 交 AC1 于点 E ,再连接 DE . 因为四边形 A1 ACC1 为矩形, 所以 E 为 A1C 的中点, 又因为 D 为 BC 的中点, 所以 ED / / A1B . 又 A1B ? 平面 ADC1 , ED ? 平面 ADC1 , 所以 A1 B // 平面 ADC1 .??????14 分 E B D C C1
6

A1

B1

? a ? a13 ? 34, 17. 【解】 (1)设等差数列 {an } 的公差为 d. 由已知得 ? 5 ????????2 分 ?3a2 ? 9, ?a ? 8d ? 17, ? a ? 1, 即? 1 解得 ? 1 ????????4 分.故 an ? 2n ? 1,Sn ? n2 . ? d ? 2. ? a1 ? d ? 3,

???6 分

( 2 ) 由 ( 1 ) 知 bn ?

2n ? 1 . 要 使 b1 ,b2,bm 成 等 差 数 列 , 必 须 2b2 ? b1 ? bm , 即 2n ? 1 ? t
?? 11 分

2?

3 1 2 ? 1 m 4 ,??8 分.整理得 m ? 3 ? , ? ? 3 ? t 1 ? t 2m ? 1 ? t t ?1

因为 m,t 为正整数,所以 t 只能取 2,3,5.当 t ? 2 时, m ? 7 ;当 t ? 3 时, m ? 5 ;当 t ? 5 时, m ? 4 . 故存在正整数 t,使得 b1 ,b2,bm 成等差数列. 18.(1)设抛物线 C 的方程为 y 2 ? 2 px ( p ? 0) , 因为准线 l 的方程为 x ? ?2 ,所以 ?
2

??????? 15 分

p ? ?2 ,即 p ? 4 , 2

因此抛物线 C 的方程为 y ? 8x . ????????????????4 分

1 (2)由题意可知, P (?2 , 3t ? ) , Q(0 , 2t ) ,则直线 PQ 方程为: y ? 2t ? t

1 2t ? (3t ? ) t x, 2

即 (t 2 ? 1) x ? 2ty ? 4t 2 ? 0 ,????????????????????8 分 设圆心在 x 轴上,且与直线 PQ 相切的圆 M 的方程为 ( x ? x0 )2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) , 则圆心 M ( x0 , 0) 到直线 PQ 的距离

(t 2 ? 1) x0 ? 4t 2 (t 2 ? 1) 2 ? 4t 2

? r , ???????10 分

即 (t 2 ? 1) x0 ? 4t 2 ? r ? rt 2 ①或 (t 2 ? 1) x0 ? 4t 2 ? ?r ? rt 2 ② 由①可得 ( x0 ? r ? 4)t 2 ? x0 ? r ? 0 对任意 t ? R , t ? 0 恒成立,则有

? x0 ? r ? 4 ? 0, ? x0 ? 2, ,解得 ? (舍去)??????????????14 分 ? ?r ? ?2, ?? x0 ? r ? 0, 由②可得 ( x0 ? r ? 4)t 2 ? x0 ? r ? 0 对任意 t ? R , t ? 0 恒成立,则有
? x0 ? r ? 4 ? 0, ? x0 ? 2, ,可解得 ? ? ?r ? 2, ?? x0 ? r ? 0, 因 此 直 线 PQ 恒 与 一 个 圆 心 在 x 轴 上 的 定 圆 M 相 切 , 圆 M 的 方 程 为
( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 .???16 分

7

19. (1)EF=DM+DN-MF-EN==

2(sin ? ? cos ? ) ? 1 ? (0 ? ? ? ) 7 分 sin ? cos ? 2

(2)“平板车要想顺利通过直角走廊”即对任意角( 0 ? ? ? 平板车的长度 ? l min ;记 sin ? ? cos? ? t , 1 ? t ?

?

2

) ,平板车的长度不能超过,即

2 ,有 sin ? cos ? =

t 2 ?1 , 2
10 分

=

2(sin ? ? cos ? ) ? 1 4t ? 2 = 2 =, sin ? cos ? t ?1

此后研究函数的最小值,方法很多;如换元(记 4t ? 2 ? m ,则 t ? 定函数在 [1, 2 ] 上的单调性;当 t ?

m?2 )或直接求导,以确 4
15 分

2 时取得最小值 4 2 ? 2 。

1 1 1 2 2 2 20.(1)当 a ? 时, f ?( x ) = x ? 2bx ? b ? = ( x ? b) ? b ? b ? ,其对称轴为直线 x ? ?b , 3 3 3
当?

??b ? ?2, ??b ? ?2, 26 ,解得 b ? ,当 ? , b 无解, 15 ? f ?(?3) ? 0 ? f ?(?1) ? 0

26 ) .??????????????????4 分 15 (2)因为 f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? (b ? a) ,
所以 b 的的取值范围为 (?? , 法一:当 a ? 0 时, x ? ?

1 适合题意???????????????6 分 2 b b b 2 2 当 a ? 0 时, 3 x ? 2 x ? ( ? 1) ? 0 ,令 t ? ,则 3x ? 2tx ? (t ? 1) ? 0 , a a a 1 1 令 h( x) ? 3x2 ? 2tx ? (t ?1) ,因为 h( ? ) ? ? ? 0 , 2 4
1 当 t ? 1 时, h(0) ? t ? 1 ? 0 ,所以 y ? h( x) 在 (? ,0) 内有零点. 2
当 t ? 1 时, h(?1) ? 2 ? t ? 1 ? 0 ,所以 y ? h( x) 在( ? 1,? ) 内有零点. 因此,当 a ? 0 时, y ? h( x) 在 (?1 , 0) 内至少有一个零点. 综上可知,函数 y ? f ?( x) 在 (?1 , 0) 内至少有一个零点.????????10 分 法二: f ?(0) ? b ? a , f ?(?1) ? 2a ? b , f ?(? 1 ) ? b ? 2a . 3 3

1 2

1 3 3 3 2 (3)因为 f ( x ) = ax ? bx ? (b ? a) x 为奇函数,所以 b ? 0 , 所以 f ( x) ? ax ? ax , 3 又 f ( x ) 在 x ? 1 处的切线垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 ,所以 a ? 1 ,即 f ( x) ? x ? x .
由于 a , b 不同时为零,所以 f ?(? ) ? f ?( ?1) ? 0 ,故结论成立.
8

因 为 f ?( x) ? 3( x ?

3 3 )( x ? ) 3 3

所 以 f ( x ) 在 (??, ?

3 3 ) , ( , ??) 上 是 増 函 数 , 在 3 3

3 3 , ] 上是减函数,由 f ( x) ? 0 解得 x ? ?1, x ? 0 ,如图所示, 3 3 1 t 3 3 3 3 当 ?1 ? t ? ? 时, f (t ) ? ? t ? 0 ,即 t ? t ? ? ,解得 ? ; ?t ?? 4 4 2 3 3 1 3 3 当? ? t ? 0 时, f (t ) ? ? t ? 0 ,解得 ? ?t ?0; 4 3 3 当 t ? 0 时,显然不成立; 1 t 3 3 3 当0 ? t ? 时, f (t ) ? ? t ? 0 ,即 t ? t ? ? ,解得 0 ? t ? ; 4 4 3 3 y 1 3 3 3 当t ? 时, f (t ) ? ? t ? 0 ,故 . ?t ? 4 3 3 2 3 3 所以所求 t 的取值范围是 ? . ? t ? 0 或0 ? t ? 2 2 [?
-1 O 1 x

数学附加题部分参考答案与评分标准
21. 【选做题】在 A,B,C,D 四个小题中只能选做 2 个小题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答 题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4-1:几何证明选讲 B.选修 4-2:矩阵与变换 矩阵 M 的特征多项式为 f (? ) ?

? ?2

0 ? ? 2 ? 3? ? 2 ,????2分 ?1 ? ?1
???????????????4分

令 f (? ) ? 0 ,解得 ?1 ? 1, ?2 ? 2 , 将 ?1 ? 1 代入二元一次方程组 ?

(? - 2)x ? 0 ? y ? 0, ? ? 解得 x ? 0 ,??6分 ?? x ? (? ? 1) y ? 0, ?0? 所以矩阵 M 属于特征值 1 的一个特征向量为 ? ? ;?????????8分 ?1 ? ?1? 同理,矩阵 M 属于特征值 2 的一个特征向量为 ? ? .????????10 分 ?1?
9

C.选修 4 - 4:坐标系与参数方程

?? ? R? 3 所以直线 l 的普通方程为 y ? 3x ,?????????????????3分 ? x ? 2cos ? , 又因为曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ? y ? 1 ? cos 2? 1 2 所以曲线 C 的直角坐标方程为 y ? x ? x ? ? ?2, 2?? , ?????????6分 2 ? ? x ? 0, ? x ? 2 3, 联立解方程组得 ? 或? ,????????????????8分 ? y ? 0, ? y ? 6 ?
因为直线 l 的极坐标方程为 ? ? 根据 x 的范围应舍去 ?

?

? x ? 2 3, ? ,故 P 点的直角坐标为 (0, 0) .?????10 分 ?y ? 6 ?
1 1 1 、 p 2 ? 、 p3 ? , 2 3 4

22.⑴设该参加者单独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为 p1 ? 该参加者有资格闯第三关为事件 A . 则 P( A) ? p1 (1 ? p2 ) ? (1 ? p1 ) p2 ? p1 p2 ?

(2)由题意可知, ? 的可能取值为 0 、 3 、 6 、 7 、 10 ,

2 ;????????????4 分 3

P(? ? 0) ? (1 ? p1 )(1 ? p 2 ) ?

1 , 3
1 1 3 ? ? , 4 8 8

P(? ? 3) ? p1 (1 ? p2 )(1 ? p3 ) ? (1 ? p1 ) p2 (1 ? p3 ) ?
1 P(? ? 6) ? p1 p2 (1 ? p3 ) ? , 8 P(? ? 7) ? p1 (1 ? p2 ) p3 ? (1 ? p1 ) p2 p3 ?
所以 ? 的分布列为

1 1 1 ? ? , 12 24 8
3 6

P(? ? 10) ? p1 p2 p3 ?

1 , 24

?
p

0

7

10

1 3
1 3 3 8

3 8

1 8

1 8

1 24

??????????????????8 分

1 1 1 ? 3 ???????10 分 8 24 6 23.解法一: (1)因为抛物线的准线 l 的方程为 y ? ? p ,所以可设点 N , A , B 的坐标分别为
所以 ? 的数学期望 E? ? 0 ? ? 3 ? ? 6 ? ? 7 ? ? 10 ?
2 (m, p) ( x1,1 ) , ( x2,2 ) ,则 x12 ? 4 py1 , x2 ? 4 py2 , 由 x2 ? 4 py ,得 y ? ? , y y

1 8

x2 ,求导数 4p

10

x12 ?p y1 ? p x1 x x 4p 得 y? ? ,于是 ,即 ? ? 1 , 2p x1 ? m 2 p x1 ? m 2 p
2 化简得 x1 ? 2mx1 ? 4 p2 ? 0 ,
2 同理可得 x2 ? 2mx2 ? 4 p2 ? 0 ,

y

B E Q A C x O N D

所以 x1 和 x2 是关于 x 的方程 x2 ? 2mx ? 4 p2 ? 0 两个实数根,所以 x1,2 ? m ? m ? 4 p ,且 x1 x2 ? ?4 p2 .
2 2

在直线 AB 的方程 y ? y1 ? 令x ? 0,

y2 ? y1 ( x ? x1 ) 中, x2 ? x1

y2 ? y1 x y ?x y x x (x ? x ) xx x1 ? 2 1 1 2 = ? 1 2 1 2 ? ? 1 2 ? p 为定值, x2 ? x1 x2 ? x1 4 p( x2 ? x1 ) 4p 所以直线 AB 必经过 y 轴上的一个定点 Q(0,p) ,即抛物线的焦点.?????5 分 (2)由(1)知 x1 ? x2 ? 2m ,所以 N 为线段 CD 的中点,取线段 AB 的中点 E , 因为 Q 是抛物线的焦点,所以 AQ ? AC,BQ ? BD ,所以 AC ? BD ? AB , 1 1 1 所以 S?ANB ? S?ANE ? S?BNE ? EN ? CN ? EN ? DN ? EN ? (CN ? DN ) 2 2 2 AC ? BD AB ? CN ? EN ? CN ? ? CN ? , 2 2 AC ? CN AQ ? CN BD ? DN BQ ? CN ? ? 又因为 S ?ACN ? , S ?BDN ? , 2 2 2 2 AQ ? CN BQ ? CN AB ? CN 所以 , , 成等差数列,即 AQ,BQ,AB 成等差数列, 2 2 2 即 0 ? x1,x2 ? 0,x2 ? x1 成等差数列,所以 x2 ? 2 x1 ? 2 x2 , x2 ? ?2x1 ,
得 y ? y1 ?
2 2 2 2 2 2 所以 x1 x2 ? ?2 x1 ? (m ? m ? 4 p )(m ? m ? 4 p ) ? ?4 p , x1 ? ? 2 p ,

x1 ? x2 2 ?? p, 2 2 x ?x 2 2 p ,所以所求点 N 的坐标为 (? . p,? p) x1 ? ? 2 p 时, x2 ? 2 2 p , m ? 1 2 ? 2 2 2 解法二: (1)因为已知抛物线的准线 l 的方程为 y ? ? p ,所以可设点 N,A, B 的坐标分别为

x1 ? 2 p 时, x2 ? ?2 2 p , m ?

2 (m, p) ( x1,1 ) , ( x2,2 ) ,则 x12 ? 4 py1 , x2 ? 4 py2 , ? , y y

设过 N 点与抛物线相切的直线方程为 y ? p ? k ( x ? m) , 与抛物线方程 x ? 4 py 联立, 消去 y 得
2

x2 ? 4 pkx ? 4 pmk ? 4 p2 ? 0 ,
因为直线与抛物线相切,所以 ? ? 16 p k ?16( pmk ? p ) ? 0 ,即 pk ? mk ? p ? 0 ,解得
2 2 2 2

k1, ? 2

m ? m2 ? 4 p 2 2 2 ,此时两切点横坐标分别为 x1, ? 2 pk ? m ? m ? 4 p , 2 2p
11

y2 ? y1 ( x ? x1 ) 中,令 x ? 0 得 x2 ? x1 y ?y x y ?x y x x (x ? x ) xx y ? y1 ? 2 1 x1 ? 2 1 1 2 = ? 1 2 1 2 ? ? 1 2 ? p 为定值, x2 ? x1 x2 ? x1 4 p( x2 ? x1 ) 4p 所以直线 AB 必经过 y 轴上的一个定点 Q(0,p) ,即抛物线的焦点.?????5 分
在直线 AB 的方程 y ? y1 ?

m ? m2 ? 4 p 2 (2)由(1)知两切线的斜率分别为 k1, ? ,则 k1 ? k2 ? ?1 ,所以 AN ? BN , 2 2p 2p 连 接 QN , 则 直 线 QN 斜 率 为 kQN ? ? , 又 因 为 直 线 AB 的 斜 率 m 2 2p m y ?y x2 ? x12 x ? x 2m m ,所以 kQN ? k AB ? ? ? ? ?1 , k AB ? 2 1 ? ? 2 1? ? m 2p x2 ? x1 4 p( x2 ? x1 ) 4p 4p 2p 所以 QN ? AB ,又因为 AQ ? AC,BQ ? BD ,所以 ?ACN≌?AQN,?BDN≌?BQN , 所以 ?AQN,?BQN 和 ?ANB 的面积成等差数列,所以 AQ,BQ,AB 成等差数列, 所以 0 ? x1,x2 ? 0,x2 ? x1 成等差数列,所以 x2 ? 2 x1 ? 2 x2 , x2 ? ?2x1 ,
2 2 2 2 2 2 所以 x1 x2 ? ?2 x1 ? (m ? m ? 4 p )(m ? m ? 4 p ) ? ?4 p , x1 ? ? 2 p ,

x1 ? x2 2 ?? p, 2 2 x ?x 2 p, x1 ? ? 2 p 时, x2 ? 2 2 p , m ? 1 2 ? 2 2 2 所以所求点 N 的坐标为 (? . p,? p) ????????????10 分 2

x1 ? 2 p 时, x2 ? ?2 2 p , m ?

12