当前位置:首页 >> 高考 >>

2019年高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第5节两角和与差及二倍角的三角函数学案理北师大版20

内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯

第五节

两角和与差及二倍角的三角函数

[考纲传真] (教师用书独具)1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差 的余弦公式推导出两角差的正弦、 正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、 余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.4.能运用上述公 式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但不要求记忆).

(对应学生用书第 57 页) [基础知识填充] 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α ±β )=sin α cos β ±cos α sin β ; (2)cos(α ±β )=cos α cos β ?sin α sin β ; tan α ±tan β (3)tan(α ±β )= . 1?tan α tan β 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α =2sin α cos α ; (2)cos 2α =cos α -sin α =2cos α -1=1-2sin α ; 2tan α (3)tan 2α = . 2 1-tan α 3.有关公式的变形、逆用 (1)tan α ±tan β =tan(α ±β )(1?tan α tan β ); 1+cos 2α 1-cos 2α sin 2α 2 2 (2)cos α = ,sin α = ,sin α cos α = ; 2 2 2 (3)1+sin 2α =(sin α +cos α ) 1-sin 2α =(sin α -cos α ) , π? ? sin α ±cos α = 2sin?α ± ?. 4? ? [知识拓展] 1.辅助角公式
2, 2 2 2 2 2

b? ? asin α +bcos α = a2+b2sin(α +φ )?其中tan φ = ?. a? ?
2.sin 15°= 6- 2 6+ 2 ,cos 15°= ,tan 15°=2- 3. 4 4

1

3.tan

α sin α 1-cos α = = . 2 1+cos α sin α
2

2tan α 1-tan α 4.sin 2α = ,cos 2α = . 2 2 1+tan α 1+tan α [基本能力自测] 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)存在实数 α ,β ,使等式 sin(α +β )=sin α +sin β 成立.( (2)在锐角△ABC 中,sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定.( (3)公式 tan(α +β )= ) )

tan α +tan β 可以变形为 tan α + tan β = tan(α + 1-tan α tan β )

β )(1-tan α tan β ),且对任意角 α ,β 都成立.( (4)y=3sin x+4cos x 的最大值是 7.( [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× 2.(教材改编)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=( A.- 3 2 B. 3 2 ) )

1 C.- 2 D

1 D. 2

[sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°

1 =sin(20°+10°)=sin 30°= ,故选 D.] 2 4 3.(2017·全国卷Ⅲ)已知 sin α -cos α = ,则 sin 2α =( 3 7 A.- 9 2 C. 9 A 4 [∵sin α -cos α = , 3 2 B.- 9 7 D. 9 )

16 2 ∴(sin α -cos α ) =1-2sin α cos α =1-sin 2α = , 9 7 ∴sin 2α =- .故选 A.] 9 4.函数 f(x)= 3sin x+cos x 的最小值为________. -2

? π? [函数 f(x)=2sin?x+ ?的最小值是-2.] 6? ?

5.若锐角 α ,β 满足 tan α +tan β = 3- 3tan α tan β ,则 α +β =________.

2

π 3

tan α +tan β [由已知可得 = 3,即 tan(α +β )= 3.又 α +β ∈(0,π ), 1-tan α tan β

π 所以 α +β = .] 3

(对应学生用书第 58 页)

三角公式的基本应用

2 (1)(2017·山西长治二中等五校第四次联考)若 cos θ = ,θ 为第四象限角,则 3 π? ? cos?θ + ?的值为( 4? ? A. C. 2+ 10 6 2- 10 6 ) 2 2+ 10 B. 6 2 2- 10 D. 6

4 (2)(2018·南宁、钦州第二次适应性考试)若锐角 α ,β 满足 sin α = ,tan(α 5 2 -β )= ,则 tan β =________. 3 (1)B = π? 6 2 5 ? (2) [(1)因为 cos θ = , θ 为第四象限角, 则 sin θ =- , 故 cos?θ + ? 4? 17 3 3 ?

2 2 2 ?2 5? 2 2+ 10 cos θ - sin θ = ×? + ?= ,故选 B. 2 2 2 ?3 3 ? 6 4 3 sin α 2 (2)因为锐角 α 满足 sin α = ,所以 cos α = 1-sin α = ,则 tan α = 5 5 cos α 4 2 - 4 tan α -tan(α -β ) 3 3 6 = ,tan β =tan[α -(α -β )]= = = .] 3 1+tan α tan(α -β ) 8 17 1+ 9

[规律方法] 三角函数公式的应用策略 使用两角和与差的三角函数公式,首先要记住公式的结构特征. 使用公式求值,应先求出相关角的三角函数值,再代入公式求值. [跟踪训练] 已知 α ∈?

?π ,π ?,sin α = 5,则 cos?5π -2α ?的值为________. ? ? 6 ? 5 ?2 ? ? ?
【导学号:79140121】

3



4+3 3 10

5 ?π ? [因为 α ∈? ,π ?,sin α = , 5 ?2 ?

2 5 2 所以 cos α =- 1-sin α =- . 5 sin 2α =2sin α cos α =2× cos 2α =1-2sin α =1-2×?
2

5 ? 2 5? 4 ×?- ?=-5, 5 ? 5 ?

? 5? 2 3 ?= , ?5? 5

所以 cos? =?-

?5π -2α ?=cos5π cos 2α +sin5π sin 2α ? 6 6 ? 6 ?

? ?

3? 3 1 ? 4? ?× + ×?- ? 2 ? 5 2 ? 5?

4+3 3 =- .] 10

三角公式的逆用与变形应用

sin 110°sin 20° (1)计算 2 的值为( 2 cos 155°-sin 155° 1 A.- 2 C. 3 2 1 B. 2

)

D.-

3 2

14 ? π? (2)(2017·河北名师俱乐部模拟)已知 θ ∈?0, ?,且 sin θ -cos θ =- , 4? 4 ? 则 2cos θ -1 =( π ? ? + θ cos? ? ?4 ?
2

)

2 A. 3 3 C. 4 (1)B

4 B. 3 3 D. 2 sin 110°sin 20° sin 70°sin 20° (2)D [(1) 2 = 2 cos 155°-sin 155° cos 310°

1 sin 40° cos 20°sin 20° 2 1 = = = . cos 50° sin 40° 2

4

(2)由 sin θ -cos θ =- 得 sin?

14 , 4

?π -θ ?= 7,∵θ ∈?0,π ?, ? 4 ? 4? ?4 ? ? ?

π π ?π ? 3 ∴0< -θ < ,∴cos? -θ ?= . 4 4 ?4 ? 4 ∴ 2cos θ -1 cos 2θ = ?π ? ?π ? cos? +θ ? sin? -θ ? 4 ? ? ?4 ?
2

?π ? ? ?π ?? sin? -2θ ? sin?2? -θ ?? 2 4 ? ? ? ? ?? = = π π ? ? ? ? sin? -θ ? sin? -θ ? ?4 ? ?4 ?
=2cos?

?π -θ ?=3.] ? 2 ?4 ?

[规律方法] 1.三角函数公式的活用方法 逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,创造条件逆用公式. α tan β ,tan α +tan β -β 或 tan α -tan β , α +β 或 α

三者中可以知二求一,注意公式的正用、逆用和变形使用.

2.三角函数公式逆用和变形应用应注意的问题 公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系. 1 3 注意特殊角的应用,当式子中出现 ,1, , 3等这些数值时,一定要考虑引入特 2 2 殊角,把“值变角”构造适合公式的形式. cos 15°-sin 15° [跟踪训练] (1) =________. cos 15°+sin 15° π? 7π ? 4 3 ? ? (2)已知 cos?α - ?+sin α = ,则 sin?α + ?的值是________. 6? 6 ? 5 ? ? (1) 3 3 4 (2)- 5 1-tan 15° [法一:原式= 1+tan 15°



tan 45°-tan 15° 3 =tan 30°= . 1+tan 45°tan 15° 3 2(sin 45°cos 15°-cos 45°sin 15°) 2(sin 45°cos 15°+cos 45°sin 15°)

法二:原式=

1 sin 30° 2 3 = = = . sin 60° 3 3 2

5

?cos 15°-sin 15°?2=1-sin 30°=1. 法三:∵? ? ?cos 15°+sin 15°? 1+sin 30° 3
又 ∴ cos 15°-sin 15° >0, cos 15°+sin 15° cos 15°-sin 15° 3 = . cos 15°+sin 15° 3 π? 4 3 3 1 4 3 3 ? (2)由 cos?α - ?+sin α = , 可得 cos α + sin α +sin α = , 即 sin 6? 5 2 2 5 2 ? α + π? 4 3 π? 4 3 4 3 ? ? cos α = ,所以 3sin?α + ?= ,sin?α + ?= , 6? 6? 5 2 5 5 ? ?

7π ? π? 4 ? ? 所以 sin?α + ?=-sin?α + ?=- .] 6 ? 6? 5 ? ?

角的变换

(1)(2017·深圳一模)若 α ,β 都是锐角,且 cos α = 则 cos β =( A. 2 2 2 2 或- 2 10 ) B. 2 10 2 2 或 2 10

5 10 ,sin(α -β )= , 5 10

C.

D.

?π ? 1 ?3π +2α ?的值为( (2)(2018·海口调研)若 cos? -α ?= ,则 cos? ? ?8 ? 5 ? 4 ?
23 A. 25 (1)A 23 B.- 25 7 C. 8 7 D.- 8

)

(2)A [(1)因为 α ,β 都是锐角,且 cos α =

5 10 ,sin(α -β )= ,所以 5 10

2 5 3 10 sin α = ,cos(α -β )= ,从而 cos β =cos[α -(α -β )]=cos α cos(α 5 10 -β )+sin α sin(α -β )= (2) 因 为 cos ? 2 ,故选 A. 2

?π -α ? = 1 , 则 cos ?3π +2α ? = cos ?π -?π -2α ?? = - ? 5 ? 4 ? ? ?4 ?? ?8 ? ? ? ? ? ??

?π ? ? 23 2?π cos? -2α ?=1-2cos ? -α ?= ,故选 A.] 4 8 ? ? ? ? 25
[规律方法] 利用角的变换求三角函数值的策略

6

当“已知角”有两个时:一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式. 当“已知角”有一个时:此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然 后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. π? 1 π? ? ? [跟踪训练] (1)已知 tan(α +β )=1,tan?α - ?= ,则 tan?β + ?的值为( 3? 3 3? ? ? )

【导学号:79140122】 2 A. 3 1 B. 2 3 C. 4 4 D. 5

π? 1 ? (2)(2017·山西太原五中 4 月模拟)已知角 α 为锐角,若 sin?α - ?= ,则 6? 3 ? π? ? cos?α - ?=( 3? ? 2 6+1 A. 6 3+ 2 C. 8 (1)B (2)A [(1)tan ) 3- 2 B. 8 2 3-1 D. 6

?β +π ? ? 3? ? ?



tan

?(α +β )-?α -π ?? ? ? ? 3? ? ? ??



π? 1 ? 1- tan(α +β )-tan?α - ? 3 3 1 ? ? = = . π? 1 2 ? 1+tan(α +β )tan?α - ? 1+1× 3 3 ? ? π? 1 π? 2 2 π? ? ? ? (2)由于角 α 是锐角,且 sin?α - ?= ,则 cos?α - ?= ,则 cos?α - ?= 6? 3 6? 3? 3 ? ? ? π? π? π? π? π π 2 2 3 1 1 ?? ? ? cos ??α - ?- ? = cos ?α - ? cos + sin ?α - ? sin = × + × = 6? 6? 6? 6? 6 6 3 2 3 2 ? ? ?? 2 6+1 ,故选 A.] 6

7


相关文章:
...解三角形 第5节 两角和与差及二倍角的三角函数课件 ....ppt
2019年高考数学一轮复习 第3章 三角函数解三角形 第5节 两角和与差及二倍角的三角函数课件 文 北师大版_高考_高中教育_教育专区。第章 三角函数、解三角形...
...解三角形 第5节 两角和与差及二倍角的三角函数学案 ....doc
2019年高考数学一轮复习 第3章 三角函数解三角形 第5节 两角和与差及二倍角的三角函数学案 文_高考_高中教育_教育专区。第五节 两角和与差及二倍角的三角...
...解三角形第5节两角和与差及二倍角的三角函数学案文....doc
2019年高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第5节两角和与差及二倍角的三角函数学案文北师大版 - 第五节 两角和与差及二倍角的三角函数 [考纲传真] 1....
...解三角形第5节两角和与差及二倍角的三角函数课件理....ppt
2019年高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第5节两角和与差及二倍角的三角函数课件理北师大版_高考_高中教育_教育专区。第章 三角函数、解三角形 第五节...
...解三角形 第5节 两角和与差及二倍角的三角函数学案 ....doc
2019年高考数学一轮复习 第3章 三角函数解三角形 第5节 两角和与差及二倍角的三角函数学案 理_高考_高中教育_教育专区。第五节 两角和与差及二倍角的三角...
2019年高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第5节两....doc
2019年高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第5节两角和与差及二倍角的三角函数学案理北师大版20_高考_高中教育_教育专区。内部文件,版权追溯 内部文件,版权...
...解三角形第5节两角和与差及二倍角的三角函数学案编....doc
2019年高考数学(理)一轮复习第3章三角函数解三角形第5节两角和与差及二倍角的三角函数学案编辑版.doc_工程科技_专业资料。第五节 两角和与差及二倍角的...
...解三角形 第5节 两角和与差及二倍角的三角函数学案 ....doc
2019年高考数学一轮复习: 第3章 三角函数解三角形 第5节 两角和与差及二倍角的三角函数学案 理 北师大版_高考_高中教育_教育专区。第五节 两角和与差及...
...解三角形 第5节 两角和与差及二倍角的三角函数学案 ....doc
2019年高考数学一轮复习: 第3章 三角函数解三角形 第5节 两角和与差及二倍角的三角函数学案 文 北师大版_高考_高中教育_教育专区。第五节 两角和与差及...
...解三角形 第5节 两角和与差及二倍角的三角函数课件 ....ppt
2019年高考数学一轮复习: 第3章 三角函数解三角形 第5节 两角和与差及二倍角的三角函数课件 理 北师大版_高考_高中教育_教育专区。第章 三角函数、解三角...
2019年高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第5节两....doc
2019年高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第5节两角和与差及二倍角的三角函数学案文北师大版20_高考_高中教育_教育专区。。。 内部文件,版权追溯 内部文件,...
2019年高考数学一轮第3章三角函数解三角形第5节两角和....ppt
2019年高考数学一轮第3章三角函数解三角形第5节两角和与差及二倍角的三角函数_35_高考_高中教育_教育专区。第章 三角函数、解三角形第五节 两角和与差及二倍...
...解三角形第5节两角和与差及二倍角的三角函数学案新....doc
2019年高考数学(文)一轮复习第3章三角函数解三角形第5节两角和与差及二倍角的三角函数学案新版.doc_工程科技_专业资料。第五节 两角和与差及二倍角的三角...
...解三角形第5节两角和与差及二倍角的三角函数学案理.doc
2019年高考数学一轮复习北师大版理科:第3章三角函数解三角形第5节两角和与差及二倍角的三角函数学案理_高考_高中教育_教育专区。第五节 两角和与差及二倍角...
2019-2020年高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第5....ppt
2019-2020年高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第5节两角和与差及二倍角的三角函数课件文北师大版_高考_高中教育_教育专区。抓基础 自 主 学习 第五...
...解三角形 第5节 两角和与差及二倍角的三角函数学案 ....doc
[配套K12]2019年高考数学一轮复习 第3章 三角函数解三角形 第5节 两角和与差及二倍角的三角函数学案 理 _其它课程_高中教育_教育专区。教育配套资料 K12 ...
...解三角形第5节两角和与差及二倍角的三角函数学案理.doc
19年高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第5节两角和与差及二倍角的三角函数学案理 - 。。。 内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯 ...
...解三角形 第5节 两角和与差及二倍角的三角函数课时....doc
2018高考数学一轮复习 第3章 三角函数解三角形 第5节 两角和与差及二倍角的三角函数课时分层训_高考_高中教育_教育专区。课时分层训练(二十) 两角和与差及...
2019版高考数学一轮复习 第三章 三角函数与解三角形 第....ppt
2019高考数学一轮复习 第三章 三角函数解三角形 第5两角和与差及二倍角的三角函数公式配套课件 理_其它课程_高中教育_教育专区。第5讲 两角和与差及...
2019-2020年高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第5....ppt
2019-2020年高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第5节两角和与差的正弦余弦...2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α=2sin αcos α; (2)cos ...