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广东省肇庆市高中数学第一章计数原理132杨辉三角与二项式系数的性质教案新人教A版选修2 3(数学教案)

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 ●三维目标 1.知识与技能 (1)能认识杨辉三角,并能利用它解决实际问题. (2)记住二项式系数的性质,并能解决相关问题. 2.过程与方法 通过观察、分析杨辉三角数表的特点,掌握二项式系数的性质. 3.情感、态度与价值观 通过“杨辉三角”的学习,了解中华民族的历史,增强爱国主义意识. ●重点、难点 重点:二项式系数的性质. 难点:杨辉三角的结构. 【问题导思】 (1)观察“杨辉三角”发现规律 第一课时 ①第一行中各数之和为多少? 第二、三、四、五行呢?由此你能得出怎样的结论? ②观察第 3 行中 2 与第 2 行各数之间什么关系? 第 4 行中 3 与第 2 行各数之间什么关系? 第 5 行中的 4、6 与第 4 行各数之间有什么关系? 由此你能得出怎样的结论? 【提示】 (1)①20,21,22,23,24,第 n 行各数之和为 2n-1. ②2=1+1,3=2+1,4=1+3,6=3+3,相邻两行中,除 1 外的每一个数都等于它“肩上” 两个数的和,设 Crn+1表示任一不为 1 的数,则它“肩上”两数分别为 Crn-1,Crn,所以 C =C r r-1 n+1 n +Crn. 1.杨辉三角的特点 -1- (1)在同一行中,每行两端都是 1,与这两个 1 等距离的项的系数相等. (2)在相邻的两行中,除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和,即 Crn+1=Crn-1+ Crn. 2.二项式系数的性质 (1)对称性:在(a+b)n 的展开式中,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即 C0n=Cnn,C1n=Cnn-1,…,Crn=Cnn-r. n+1 (2)增减性与最大值:当 k< 2 时,二项式系数是逐渐增大的.由对称性知它的后半部 n 分是逐渐减小的,且在中间取得最大值.当 n 是偶数时,中间一项的二项式系数 C2n 取得最大 n-1 n+1 值;当 n 是奇数时,中间两项的二项式系数 C 2 n,C 2 n 相等,且同时取得最大值. 3.二项式系数的和 (1)C0n+C1n+C2n+…+Cnn=2n. (2)C0n+C2n+C4n+…=C1n+C3n+C5n+…=2n-1. 图 1-3-1 例 1 如图 1-3-1 所示,在“杨辉三角”中,从 1 开始箭头所指的数组成一个锯齿形数 列:1,2,3,3,6,4,10,5,…,记其前 n 项和为 Sn,求 S16 的值. 【思路探究】 观察数列的特点、它在杨辉三角中的位置,或者联系二项式系数的性质, 直接对数列求和即可. 【自主解答】 由题意及杨辉三角的特点可得: S16=(1+2)+(3+3)+(6+4)+(10+5)+…+(36+9) =(C22+C12)+(C23+C13)+(C24+C14)+…+(C29+C19) =(C22+C23+C24+…+C29)+(2+3+…+9) 8× 2+9 =C310+ 2 =164. 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路: (1)观察:对题目进行多角度观察,找出每一行的数与数之间,行与行之间的数的规律. (2)表达:将发现的规律用数学式子表达. (3)结论:由数学表达式得出结论. -2- 本例条件不变,若改为求 S21,则结果如何? 【解】 S21=(1+2)+(3+3)+(6+4)+…+(55+11)+66 =(C22+C12)+(C23+C13)+(C24+C14)+…+(C211+C111)+C212 =(C22+C23+C24+……C212)+(2+3+…+11) 2+11 ×10 =C313+ 2 =286+65 =351. 第二课时 例 1:设(1-2x)2 012=a0+a1x+a2x2+…+a2 x · 2 012 012(x∈R). (1)求 a0+a1+a2+…+a2 012 的值. (2)求 a1+a3+a5+…+a2 011 的值. (3)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2 012|的值. 【思路探究】 先观察所要求的式子与展开式各项的特点,用赋值法求解. 【自主解答】 (1)令 x=1,得 a0+a1+a2+…+a2 012=(-1)2 012=1.① (2)令 x=-1,得 a0-a1+a2-…+a2 012=32 012.② ①-②得 2(a1+a3+…+a2 011)=1-32 , 012 1-32 012 ∴a1+a3+a5+…+a2 = 011 2 . (3)∵Tr+1=Cr2012(-2x)r=(-1)r·Cr2 012·(2x)r, ∴a2k-1<0(k∈N*),a2k>0(k∈N). ∴|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2 | 012 =a0-a1+a2-a3+…+a2 012=32 . 012 1.本题根据问题恒等式的特点采用“特殊值”法即“赋值法”,这是一种重要的方法, 适用于恒等式. 2.“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法,根据题目要求,灵活赋给字母 不同值.一般地,要使展开式中项的关系变为系数的关系,令 x=0 可得常数项,令 x=1 可 得所有项系数之和,令 x=-1 可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差. 例 2:已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,求 (1)a1+a2+…+a7; -3- (2)a1+a3+a5+a7,a0+a2+a4+a6. 【解】 (1)∵(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7, 令 x=1,得 a0+a1+a2+…+a7=-1,① 令 x=0,得 a0=1, ∴a1+a2+…+a7=-2. (2)令 x=-1,得 a0-a1+a2-a3+…+a6-a7=37=2187,② 由①、②得 a1+a3+a5+a7=-1 094, a0+a2+a4+a6=