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2019年高考数学(文)一轮复习第3章三角函数、解三角形第5节两角和与差及二倍角的三角函数学案新版

第五节 两角和与差及二倍角的三角函数 [ 考纲传真 ] 1. 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式 .2. 会用两角差的余弦公式推导 出两角差的正弦、正切公式 .3. 会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公 式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系 .4. 能运用上述公式进行简单的 三角恒等变换 ( 包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但不要求记忆 ). ( 对应学生用书第 48页 ) [ 基础知识填充 ] 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin( α ± β ) = sin_ αcos_ β ±cos _α sin_ β ; (2)cos( α ± β ) = cos_ αcos_ β ?sin_ α sin_ β ; tan α±tan β (3)tan( α ± β ) = 1?tan α tan β. 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2 α = 2sin α cos α ; (2)cos 2 α = cos 2α- sin 2α= 2cos 2α -1= 1- 2sin 2α ; (3)tan 2 α = 2tan α 1- tan2 α . [ 知识拓展 ] 1.有关公式的变形和逆用 (1) 公式 T( α±β) 的变形: ① tan α + tan β = tan( α + β )(1 - tan α tan β ) ; ② tan α - tan β = tan( α - β )(1 + tan α tan β ) . (2) 公式 C2α 的变形: ① sin 2 α 1 =2(1 - cos 2 α) ; ② cos 2 α = 1 (1 + cos 2 α) . 2 (3) 公式的逆用: ①1±sin 2 α =(sin α ±cos α ) 2 ; π ② sin α ±cos α = 2sin α ± 4 . 2.辅助角公式 b asin α+ bcos α = a2+ b2sin( α + φ ) 其中 tan φ= a . [ 基本能力自测 ] 1. ( 思考辨析 ) 判断下列结论的正误. ( 正确的打“√”,错误的打“×” ) (1) 存在实数 α, β ,使等式 sin( α + β ) =sin α + sin β 成立. ( ) (2) 在锐角△ ABC中, sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定. ( ) tan α + tan β (3) 公式 tan( α + β) = 1- tan α tan β 可以变形为 tan α + tan β = tan( α+ β )(1 - tan α tan β) ,且对任意角 α ,β 都成立. ( ) (4) 公式 asin x+ bcos x= a2+b2sin( x+φ ) 中 φ 的取值与 a, b 的值无关. ( ) [ 答案 ] (1) √ (2) × (3) × (4) × 2. ( 教材改编 )sin 20 °cos 10 °- cos 160 °sin 10 °= ( ) 3 A.- 2 3 B. 2 1 C.- 2 1 D. 2 D [sin 20 °cos 10 °- cos 160 °sin 10 °= sin 20 °cos 10 °+ cos 20 °sin 10 °= 1 sin(20 °+ 10° ) =sin 30 °= ,故选 D. ] 2 4 3. (2017 ·全国卷Ⅲ ) 已知 sin α - cos α = 3,则 sin 2 α = ( ) 7 A.- 9 2 B.- 9 2 C. 9 7 D. 9 4 A [ ∵ sin α - cos α = 3, ∴ (sin α - cos α ) 2= 1- 2sin α cos α = 1-sin 2 16 α= , 9 7 ∴ sin 2 α =- . 9 故选 A. ] 4. (2017 ·云南二次统一检测 ) 函数 f ( x) = 3sin x+ cos x 的最小值为 ________. 【导学号: 00090103】 π - 2 [ 函数 f ( x) = 2sin x+ 6 的最小值是- 2.] 5.若锐角 α , β 满足 (1 + 3tan α )(1 + 3tan β ) = 4,则 α+ β = ________. π 3 [ 由 (1 + 3tan α )(1 + 3tan β ) =4, 可得 tan α 1- tan + tan α tan β β = 3,即 tan( α + β) = 3. π 又 α +β ∈ (0 ,π ) ,∴ α+ β = 3 .] ( 对应学生用书第 49 页 ) 三角函数式的化简 sin 2 α - 2cos2 α (1) 化简: π = ________. sin α- 4 1 2cos4x - 2cos2x + 2 (2) 化简: . π π 2tan 4 - x sin2 4 + x (1) 2 2cos α 2sin [ 原式= 2 2 α cos α - 2cos2 α =2 α - cos α 2cos α .] 1 -2sin2xcos2x + 2 (2) 原式= π π 2sin 4 - x cos2 4 - x cos π - x 4 1 1 2 - sin22 cos22x 2 1 = 2sin = π 4 - x cos π 4 - x sin π 2 - 2x = cos 2 2 x. [ 规律方法 ] 1. 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 一看“角”,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而

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